Frank je napisao:[dispmath]\cdots=\cos\left(\frac{2016\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{2016\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)=[/dispmath] Mislim da ti dalje neće biti problem. Primeniš adicione formule i to je to. Imaj u vidu periodičnost trigonometrijskih funkcija.
Čak i nema potrebe za adicionim, upravo zbog periodičnosti:
[dispmath]\cos\left(\frac{2016\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{2016\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)=\cos\left(504\pi+\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(504\pi+\frac{3\pi}{4}\right)=\\
=\cos\left(\frac{3\pi}{4}+252\cdot2\pi\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{4}+252\cdot2\pi\right)=\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\cdots[/dispmath]
Još jedan način je da broj [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}\cdot(i+1)[/inlmath] napišemo i u eksponencijalnom obliku, pri čemu vidimo da mu je moduo jednak [inlmath]1[/inlmath] (jer je moduo broja [inlmath]i+1[/inlmath] jednak [inlmath]\sqrt2[/inlmath], pa to pomoženo sa [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] daje [inlmath]1[/inlmath]) – to dosta pojednostavljuje stepenovanje. Argument je, naravno, [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath]:
[dispmath]\left(\frac{\sqrt2}{2}\cdot(i+1)\right)^{2019}=\left(e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^{2019}=\cdots[/dispmath] Ako celobrojne stepene broja [inlmath]z=\frac{\sqrt2}{2}\cdot(i+1)[/inlmath] predstavimo u kompleksnoj ravni,
- kompleksni broj.png (3.09 KiB) Pogledano 1746 puta
videćemo da se svi oni nalaze na jediničnoj kružnici (jediničnoj jer im je svima moduo [inlmath]1[/inlmath]), a ugaono su razmaknuti za po [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath]. Na svaki porast eksponenta za [inlmath]8[/inlmath], opiše se pun krug, pa to predstavlja i period.
Samim tim je jasno da i traženi [inlmath]z^{2019}[/inlmath] mora imati neku od ovih osam vrednosti (a koju tačno od njih, određuje se prethodno prikazanim postupcima).