Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Realni deo kompleksnog broja – probni prijemni MATF 2020.

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]

Realni deo kompleksnog broja – probni prijemni MATF 2020.

Postod Marijameme » Petak, 26. Jun 2020, 22:38

Probni prijemni ispit MATF – 17. jun 2020.
20. zadatak


Pozdrav!
Imam problem sa jednim zadatkom:
Realni deo kompleksnog broja [inlmath]\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{2020}{2020\choose k}\left(-i\sqrt3\right)^k[/inlmath] jednak je:

[inlmath]\text{A) }-2^{2020}\quad[/inlmath] [inlmath]\text{B) }2^{2020}\quad[/inlmath] [inlmath]\text{C) }-2^{2019}\quad[/inlmath] [inlmath]\text{D) }2^{2019}\quad[/inlmath] [inlmath]\text{E) }0[/inlmath]

Palo mi je na pamet da broj napišem kao geometrijski niz kome će prvi član, kao i količnik niza biti [inlmath]\left(-i\sqrt3\right)[/inlmath], pa da nađem njihov zbir, ali mi ostaje [inlmath]2020\choose k[/inlmath] s kojim ne znam šta da radim, a nisam ni sigurna da mogu da počnem ovako kako sam počela da rešavam zadatak.
Hvala na pomoći unapred!
 
Postovi: 5
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Realni deo kompleksnog broja – probni prijemni MATF 2020.

Postod primus » Subota, 27. Jun 2020, 10:39

Realni deo može da se zapiše u obliku:
[dispmath]\sum_{k=0}^{505}{2020\choose4k}\cdot9^k-\sum_{k=0}^{504}{2020\choose4k+2}\cdot3^{2k+1}[/dispmath]
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 94
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 110 puta

  • +1

Re: Realni deo kompleksnog broja – probni prijemni MATF 2020.

Postod Daniel » Subota, 27. Jun 2020, 12:50

@primus, meni baš i nije očigledno kako bismo mogli izračunati te dve sume? Ja bih to na drugi način, početnu sumu bih zapisao kao
[dispmath]\sum\limits_{k=0}^{2020}{2020\choose k}1^{2020-k}\left(-i\sqrt3\right)^k[/dispmath] a to je onda zapravo razvoj binoma [inlmath]\left(1-i\sqrt3\right)^{2020}[/inlmath]. Pretpostavljam da dalje nije problem.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8311
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4423 puta
Pohvaljen: 4429 puta

Re: Realni deo kompleksnog broja – probni prijemni MATF 2020.

Postod primus » Subota, 27. Jun 2020, 13:26

@Daniel, brži i elegantniji način.
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 94
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 110 puta

Re: Realni deo kompleksnog broja – probni prijemni MATF 2020.

Postod Tetsuo » Subota, 27. Jun 2020, 14:35

Daniel je napisao:[inlmath]\left(1-i\sqrt3\right)^{2020}[/inlmath]. Pretpostavljam da dalje nije problem.

Lajk kome je problem :D
Probao sam preko trigonometrijskog zapisa kompleksnog broja ali mi je resenje suprotnog znaka. Ne vidim gresku. Moduo mi je pozitivan i kosinus mi je pozitivan (a njihov proizvod cini realni deo kompleksnog broja).
Tetsuo  OFFLINE
 
Postovi: 7
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 2 puta

  • +1

Re: Realni deo kompleksnog broja – probni prijemni MATF 2020.

Postod miletrans » Subota, 27. Jun 2020, 15:05

Pogledaj ovde.
Globalni moderator
 
Postovi: 402
Zahvalio se: 38 puta
Pohvaljen: 469 puta

Re: Realni deo kompleksnog broja – probni prijemni MATF 2020.

Postod Daniel » Subota, 27. Jun 2020, 15:11

@Tetsuo
I inače, kad pitaš za neku grešku u svom postupku, mi na grešku možemo da ti ukažemo tek ako vidimo tvoj postupak, što znači da svoj postupak treba ovde da napišeš.
Logično, zar ne?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8311
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4423 puta
Pohvaljen: 4429 puta

Re: Realni deo kompleksnog broja – probni prijemni MATF 2020.

Postod Tetsuo » Subota, 27. Jun 2020, 15:34

Izvinjavam se, shvatio sam gde sam pogresio ipak. U pitanju je bilo svodjenje na prvi kvadrant.
Tetsuo  OFFLINE
 
Postovi: 7
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 2 puta

  • +1

Re: Realni deo kompleksnog broja – probni prijemni MATF 2020.

Postod drmm » Ponedeljak, 29. Jun 2020, 13:23

Postoji još jedan, način (sličan Danielovom) da se zadatak uradi. Naime, možemo zapisati dati izraz na sledeći način
[dispmath]\sum_{k=0}^{2020}{2020\choose k}(-i)^k\left(\sqrt3\right)^k.[/dispmath] Primetimo da važi [inlmath]-i=i^{-1}[/inlmath], kao i [inlmath]i^{2020}=1[/inlmath], pa izraz možemo zapisati i kao
[dispmath]\sum_{k=0}^{2020}{2020\choose k}i^{2020-k}\left(\sqrt3\right)^k[/dispmath] što predstavlja razvoj izraza
[dispmath]\left(\sqrt3+i\right)^{2020}.[/dispmath] Sada se zadatak svodi na svodjenje kompleksnog broja na trigonometrijski oblik i upotrebu Moavrovove formule.
drmm   ONLINE
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Realni deo kompleksnog broja – probni prijemni MATF 2020.

Postod Daniel » Sreda, 01. Jul 2020, 01:13

Fina ideja. :thumbup:
Za izraz koji si ti dobio, [inlmath]\left(\sqrt3+i\right)^{2020}[/inlmath], i izraz koji sam ja dobio, [inlmath]\left(1-i\sqrt3\right)^{2020}[/inlmath] može se odmah videti da su međusobno identični – ako se neki od njih pomnoži sa [inlmath]i^{2020}[/inlmath] (koji je jednak [inlmath]1[/inlmath]) dobija se taj drugi izraz.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8311
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4423 puta
Pohvaljen: 4429 puta


Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 13. Jul 2020, 21:49 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs