Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Modul kompleksnog broja – prijemni ETF 2017.

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]
  • +1

Modul kompleksnog broja – prijemni ETF 2017.

Postod Srdjan01 » Utorak, 22. Septembar 2020, 18:41

Prijemni ispit ETF – 26. jun 2017.
4. zadatak


Dati su kompleksni brojevi [inlmath]z_1=2017+2018i[/inlmath], [inlmath]z_2=2018+2019i[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle w=(z_2-z_1)^{-2020}\cdot\left(\frac{\overline{z_1}+1}{2018}\right)^{2021}[/inlmath] (gde je [inlmath]\overline{z_1}[/inlmath] konjugovano kompleksni broj broja [inlmath]z_1[/inlmath] i [inlmath]i^2=-1[/inlmath]). Tada je [inlmath]|w|[/inlmath] jednak:
[inlmath]\text{(A)}\;\sqrt5\hspace{1cm}\text{(B)}\;\sqrt[4]5\hspace{1cm}\text{(C)}\;\sqrt3\hspace{1cm}\enclose{circle}{\text{(D)}\;\sqrt2}\hspace{1cm}\text{(E)}\sqrt{1+\sqrt3}\hspace{1cm}\text{(N)}\;[/inlmath]Ne znam

[inlmath]z_1=2017+2018i\\
z_2=2018+2019i\\
\displaystyle w=(z_2-z_1)^{-2020}\cdot\left(\frac{\overline{z_1}+1}{2018}\right)^{2021}[/inlmath]
[dispmath](z_2-z_1)^{-2020}=(2018+2019i-(2017+2018i))=\\
=(2018+2019i-2017-2018i)=\\
=\enclose{box}{(1+i)^{-2020}}\\
\left(\frac{\overline{z_1}+1}{2018}\right)^{2021}=\left(\frac{2018-2018i}{2018}\right)^{2021}=\left(\frac{\cancel{2018}(1-i)}{\cancel{2018}}\right)^{2021}=\\
=\enclose{box}{(1-i)^{2021}}\\
(1+i)^{-2020}\cdot(1-i)^{2021}=\frac{1}{(1+i)^{2020}}\cdot(1-i)^{2021}=\frac{(1-i)^{2021}}{(1+i)^{2020}}=\\
=\enclose{box}{1-i}\\
|w|=\sqrt{1^2+1^2}=\enclose{box}{\sqrt2}[/dispmath]
Korisnikov avatar
 
Postovi: 74
Zahvalio se: 23 puta
Pohvaljen: 49 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Modul kompleksnog broja – prijemni ETF 2017.

Postod Daniel » Sreda, 23. Septembar 2020, 14:45

Malo bih prokomentarisao...

Srdjan01 je napisao:[dispmath](z_2-z_1)^{-2020}=(2018+2019i-(2017+2018i))=\\
=(2018+2019i-2017-2018i)=\\
=\enclose{box}{(1+i)^{-2020}}[/dispmath]

OK, ovde je u dva unutrašnja koraka izostavljen eksponent. Propust pri kucanju, al' valja napomenuti.

Srdjan01 je napisao:[dispmath]\cdots=\frac{(1-i)^{2021}}{(1+i)^{2020}}=\\
=\enclose{box}{1-i}[/dispmath]

Jednakost jeste tačna, mada bih rekao da je ovde preskočeno nekoliko koraka (da u imeniocu umesto plusa imamo minus, jednakost bi bila očigledna).



Moglo bi i jednostavnije, korišćenjem osobina modula [inlmath]|z_1z_2|=|z_1||z_2|[/inlmath] i [inlmath]\left|z^n\right|=|z|^n[/inlmath].
Tada je
[dispmath]|w|=\left|(z_2-z_1)^{-2020}\right|\cdot\left|\left(\frac{\overline{z_1}+1}{2018}\right)^{2021}\right|\\
|w|=|z_2-z_1|^{-2020}\cdot\left|\frac{\overline{z_1}+1}{2018}\right|^{2021}[/dispmath] Kako si već izračunao, to je
[dispmath]|w|=|1+i|^{-2020}\cdot|1-i|^{2021}[/dispmath] Pošto znamo da je [inlmath]|1+i|=|1-i|=\sqrt2[/inlmath], to se zadatak dalje vrlo elegantno privodi kraju.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8421
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4491 puta
Pohvaljen: 4477 puta


Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 25. Oktobar 2020, 07:49 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs