Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Broj kompleksnih brojeva – prijemni GRF 2013.

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]

Broj kompleksnih brojeva – prijemni GRF 2013.

Postod Gosha » Ponedeljak, 19. Januar 2015, 20:36

Radi se o 9. zadatku sa prijemnog ispita za Gradjevinski fakultet u Beogradu iz 2013-e godine, i zadatak nosi 5 bodova, a on glasi:

Broj komplesnih brojeva [inlmath]z=x+iy[/inlmath] ([inlmath]x,y\in\mathbb{R}[/inlmath]), za koje vazi jednakost [inlmath]|z+3|-\overline z=2-i[/inlmath], jednak je:
Odgovor kaze [inlmath]0[/inlmath]

Znam da je [inlmath]\overline z[/inlmath] konjugovani broj (bar mislim da jeste), ali nismo nikada radili sa njime, pa nemam pojma kako bi dosao do rjesenja.
Gosha  OFFLINE
 
Postovi: 64
Lokacija: Doboj
Zahvalio se: 44 puta
Pohvaljen: 5 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Broj kompleksnih brojeva – prijemni GRF 2013.

Postod Gamma » Ponedeljak, 19. Januar 2015, 22:32

Ovo [inlmath]|z+3|[/inlmath] rastaviš kao modul kompleksnog broja. Sve središ i izjednačiš realnu i imaginarnu komponentu. I [inlmath]\overline z[/inlmath] jeste konjugovano kompleksan broj samo staviš [inlmath]-[/inlmath] umjesto plusa.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

Re: Broj kompleksnih brojeva – prijemni GRF 2013.

Postod Miladin Jovic » Ponedeljak, 19. Januar 2015, 22:39

Malo sam zaboravio ovu oblast, tako da nemoj uzimati ovo kao tačno.
Zamenom [inlmath]z=x+yi[/inlmath] u polaznu jednačinu dobijam:
[dispmath]\sqrt{(x+3)^2+y^2}=x+2-(1+y)i[/dispmath] Valjda je do sada ok. Kako nam je sa leve strane neki realan pozitivan broj, zaključujemo da onda i desna strana mora biti realan broj, a to je moguće samo ako je imaginarni deo kompleksnog broja sa desne strane jednak [inlmath]0[/inlmath], tj. [inlmath]y=-1[/inlmath]. Zamenom [inlmath]y[/inlmath] sa [inlmath]-1[/inlmath] dobijamo:
[dispmath]\sqrt{(x+3)^2+1}=x+2[/dispmath] Ja sam dalje to rešavao i dobio da je [inlmath]x=-3[/inlmath]. Kada sam zamenio kompleksan broj [inlmath]-3-i[/inlmath] u početni izraz, vidimo da ni ovaj broj ne ispunjava uslove zadatka.
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 378
Zahvalio se: 243 puta
Pohvaljen: 138 puta

Re: Broj kompleksnih brojeva – prijemni GRF 2013.

Postod Gamma » Ponedeljak, 19. Januar 2015, 22:51

Mislim da si dobro uradio zadatak. Zapravo to se svodi na onu gore priču što sam ja spominjo.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

Re: Broj kompleksnih brojeva – prijemni GRF 2013.

Postod Daniel » Utorak, 20. Januar 2015, 02:18

Zapravo, Miladine, ako ćemo baš precizno, kao rešenje jednačine [inlmath]\sqrt{(x+3)^2+1}=x+2[/inlmath] se, kako si i sam zaključio, ne može dobiti [inlmath]x=-3[/inlmath], jer bismo uvrštavanjem [inlmath]x=-3[/inlmath] nazad u tu jednačinu dobili [inlmath]\sqrt{(-3+3)^2+1}=-3+2[/inlmath], to jest [inlmath]1=-1[/inlmath], što, naravno, nije tačno. :) Gde je greška?

Greška je u tome što nisi pre kvadriranja obe strane postavio uslov koji se tada mora postaviti, a koji glasi: pošto je leva strana jednačine [inlmath]\ge0[/inlmath] (kvadratni koren), znači da mora biti [inlmath]\ge0[/inlmath] i desna strana jednačine, [inlmath]x+2[/inlmath]. Dakle, uslov koji postavljamo pre kvadriranja glasi [inlmath]x+2\ge0[/inlmath], tj. [inlmath]x\ge-2[/inlmath].
E, onda to kvadriramo,
[dispmath](x+3)^2+1=(x+2)^2\\
\cancel{x^2}+6x+10=\cancel{x^2}+4x+4\\
2x=-6\\
x=-3[/dispmath] što ne zadovoljava prethodno postavljeni uslov [inlmath]x\ge-2[/inlmath], iz čega zaključujemo da jednačina nema rešenja.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 44 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 14:38 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs