Kako si došao do [inlmath]I[/inlmath] i [inlmath]II[/inlmath]? Jesi li radio tako što si uveo smenu [inlmath]z^4-\sqrt{-1}=t[/inlmath] pa [inlmath]t[/inlmath] napisao kao [inlmath]x+iy[/inlmath] i onda računao sistem od dve nepoznate po [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]? Pitam čisto iz znatiželje, jer bih ja išao na taj način...
U [inlmath]I[/inlmath] imaš grešku u znaku:
eseper je napisao:I. [dispmath]z^4=\sqrt{-1}-i\quad\Rightarrow\quad z=\sqrt[4]{\sqrt{-1}-i}[/dispmath]
Treba
[dispmath]z^4=\sqrt{-1}{\color{red}+}i\quad\Rightarrow\quad z=\sqrt[4]{\sqrt{-1}{\color{red}+}i}[/dispmath]
Sad, u ovom zadatku je dvosmisleno to što u izrazu figuriše [inlmath]\sqrt{-1}[/inlmath], koje može imati dve vrednosti, [inlmath]\pm i[/inlmath]. Pretpostavimo da je [inlmath]\sqrt{-1}=i[/inlmath], a sličan postupak bi bio i za [inlmath]\sqrt{-1}=-i[/inlmath].
[dispmath]z=\sqrt[4]{i+i}=\sqrt[4]{2i}=\sqrt[4]{2e^{i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)}}=\sqrt[4]2\sqrt[4]{e^{i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)}}=\sqrt[4]2 e^{i\left(\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\right)}[/dispmath]
[inlmath]II[/inlmath]
[dispmath]z=\sqrt[4]{\sqrt{-1}+1}=\sqrt[4]{i+1}=\sqrt[4]{\sqrt 2e^{i\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)}}=\sqrt[4]{\sqrt 2e^{i\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)}}=\sqrt[8]2\sqrt[4]{e^{i\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)}}\sqrt[8]2e^{i\left(\frac{\pi}{16}+\frac{k\pi}{4}\right)}[/dispmath]