Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Kompleksne jednadžbe

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]
  • +2

Re: Srediti izraz

Postod Milovan » Nedelja, 25. Avgust 2013, 12:40

Ako je [inlmath]z=x+iy[/inlmath]
Onda:
[dispmath]xy = \sqrt{3}[/dispmath]
[dispmath]\sqrt{(x-1)^2 + y^2 } + \sqrt{(x+1)^2 + y^2} = 4[/dispmath]
Resis sistem po [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]...
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 704 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Srediti izraz

Postod Daniel » Nedelja, 25. Avgust 2013, 13:35

eseper je napisao:Drugu jednadžbu sam rješio, i, ako je točno, ispalo mi je [inlmath]x^2+y^2=1[/inlmath]

:techie-error: Treba da se dobije [inlmath]3x^2+4y^2=12[/inlmath]. A onda u kombinaciji sa [inlmath]xy=\sqrt 3[/inlmath], tj. [inlmath]y=\frac{\sqrt 3}{x}[/inlmath], nije teško odrediti [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Srediti izraz

Postod eseper » Ponedeljak, 26. Avgust 2013, 15:22

[dispmath]\left(\frac{i-1}{i+1}\right)^{200}\left(z^4-\sqrt{-1}\right)^2-\frac{11+i}{6-5i}\left(z^4-\sqrt{-1}\right)-i^{83}=0[/dispmath]
Zanima me samo rješenje ovog zadatka u trigonometrijskom zapisu. Nakon što sam sve sredio, dobio sam:
[dispmath]\left(z^4-\sqrt{-1}\right)^2 -(1+i)\left(z^4-\sqrt{-1}\right)+i=0[/dispmath]
[dispmath]\left(z^4-\sqrt{-1}\right)^2 -(1+i)\left(z^4-\sqrt{-1}\right)=-i[/dispmath]
I. [dispmath]z^4=\sqrt{-1}-i\quad\Rightarrow\quad z=\sqrt[4]{\sqrt{-1}- i}[/dispmath]
II. [dispmath]z^4=\sqrt{-1}+1\quad\Rightarrow\quad z=\sqrt[4]{\sqrt{-1}+1}[/dispmath]
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +1

Re: Srediti izraz

Postod Daniel » Ponedeljak, 26. Avgust 2013, 19:50

Kako si došao do [inlmath]I[/inlmath] i [inlmath]II[/inlmath]? Jesi li radio tako što si uveo smenu [inlmath]z^4-\sqrt{-1}=t[/inlmath] pa [inlmath]t[/inlmath] napisao kao [inlmath]x+iy[/inlmath] i onda računao sistem od dve nepoznate po [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]? Pitam čisto iz znatiželje, jer bih ja išao na taj način...

U [inlmath]I[/inlmath] imaš grešku u znaku:
eseper je napisao:I. [dispmath]z^4=\sqrt{-1}-i\quad\Rightarrow\quad z=\sqrt[4]{\sqrt{-1}-i}[/dispmath]

Treba
[dispmath]z^4=\sqrt{-1}{\color{red}+}i\quad\Rightarrow\quad z=\sqrt[4]{\sqrt{-1}{\color{red}+}i}[/dispmath]
Sad, u ovom zadatku je dvosmisleno to što u izrazu figuriše [inlmath]\sqrt{-1}[/inlmath], koje može imati dve vrednosti, [inlmath]\pm i[/inlmath]. Pretpostavimo da je [inlmath]\sqrt{-1}=i[/inlmath], a sličan postupak bi bio i za [inlmath]\sqrt{-1}=-i[/inlmath].
[dispmath]z=\sqrt[4]{i+i}=\sqrt[4]{2i}=\sqrt[4]{2e^{i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)}}=\sqrt[4]2\sqrt[4]{e^{i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)}}=\sqrt[4]2 e^{i\left(\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\right)}[/dispmath]
[inlmath]II[/inlmath]
[dispmath]z=\sqrt[4]{\sqrt{-1}+1}=\sqrt[4]{i+1}=\sqrt[4]{\sqrt 2e^{i\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)}}=\sqrt[4]{\sqrt 2e^{i\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)}}=\sqrt[8]2\sqrt[4]{e^{i\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)}}\sqrt[8]2e^{i\left(\frac{\pi}{16}+\frac{k\pi}{4}\right)}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Srediti izraz

Postod eseper » Ponedeljak, 26. Avgust 2013, 20:25

[dispmath]\left(z^4-\sqrt{-1}\right)^2 -(1+i)\left(z^4-\sqrt{-1}\right)=-i[/dispmath]
Odavde sam izlučio [inlmath]\left(z^4-\sqrt{-1}\right)[/inlmath] ;)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Srediti izraz

Postod Daniel » Ponedeljak, 26. Avgust 2013, 20:39

OK, i dobiješ ovo:
[dispmath](z^4-\sqrt{-1})\left(z^4-\sqrt{-1}-1-i\right)=-i[/dispmath]
Ali i dalje ne vidim šta posle toga primeniš.
Možda će se naći i još neko koga bi ovo interesovalo, pa ako možeš da daš još neka uputstva... ;)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Srediti izraz

Postod eseper » Ponedeljak, 26. Avgust 2013, 20:43

I onda sam to unutar I. i II. zagrade izjednačio sa [inlmath]-i[/inlmath] :mrgreen: Obzirom da je ovaj zadatak iz jednog kolokvija u kojem su svi drugi zadaci bili jako komplicirani, možda je moguće da jednostavno treba ostaviti onako kako si ti napisao... sumnjam da su i tražili više :)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Srediti izraz

Postod blake » Ponedeljak, 14. Oktobar 2013, 15:32

[dispmath]\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^6-2\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^3+2=0,\quad Re\left(\frac{z+1}{z-1}\right)>0[/dispmath]
Vidia sam da je skoro indentičan zadatak riješen na drugoj stranici, ali ja ne razumin onaj broj [inlmath]e[/inlmath] i onda neke potencije na njega i to
:insane:

Mi smo samo u bilježnici zapisali
[inlmath]z=r(\cos\phi+i\sin\phi)=r\cdot e^{i\phi}[/inlmath]

Šta se tiče zadatka, nakon supstitucije
[inlmath]t_1=1+i[/inlmath]
[inlmath]t_2=1-i[/inlmath]

[inlmath]I)[/inlmath]

[inlmath]\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^3=1+i[/inlmath]
[inlmath]\frac{z+1}{z-1}=\sqrt[3]{1+i}[/inlmath]

E sad...
blake  OFFLINE
 
Postovi: 371
Lokacija: Split, Croatia
Zahvalio se: 127 puta
Pohvaljen: 96 puta

  • +2

Re: Srediti izraz

Postod Daniel » Ponedeljak, 14. Oktobar 2013, 21:39

[dispmath]1+i=\sqrt 2\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)\right][/dispmath]
[dispmath]\sqrt[3]{1+i}=\sqrt[6]2\left[\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3}\right)\right][/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{lll}
k=3m,m\in\mathbb{Z} & \Rightarrow & \sqrt[3]{1+i}=\sqrt[6]2\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right) \\
k=3m+1,m\in\mathbb{Z} & \Rightarrow & \sqrt[3]{1+i}=\sqrt[6]2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right) \\
k=3m+2,m\in\mathbb{Z} & \Rightarrow & \sqrt[3]{1+i}=\sqrt[6]2\left(\cos\frac{17\pi}{12}+i\sin\frac{17\pi}{12}\right)
\end{array}[/dispmath]
Pošto je zadat uslov [inlmath]\Re\left(\frac{z+1}{z-1}\right)>0[/inlmath], otpadaju slučajevi [inlmath]k=3m+1[/inlmath] i [inlmath]k=3m+2[/inlmath], jer je tada kosinus (koji predstavlja realan deo) negativan; ostaje samo slučaj [inlmath]k=3m[/inlmath]:
[dispmath]\frac{z+1}{z-1}=\sqrt[6]2\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right)[/dispmath]
[inlmath]\cos\frac{\pi}{12}[/inlmath] i [inlmath]\sin\frac{\pi}{12}[/inlmath] računamo preko formule za polovinu ugla, pri čemu ispred korena uzimamo znak plus, budući da [inlmath]\frac{\pi}{12}\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath], pa su i kosinus i sinus tog ugla pozitivni:
[dispmath]\cos\frac{\pi}{12}=\sqrt{\frac{1+\cos\frac{\pi}{6}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt 3}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt 3}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt 3}}{2}=\frac{\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}\right)^2}}{2}=\frac{\frac{1+\sqrt 3}{\sqrt 2}}{2}=\frac{1+\sqrt 3}{2\sqrt 2}[/dispmath]
[dispmath]\sin\frac{\pi}{12}=\sqrt{\frac{1-\cos\frac{\pi}{6}}{2}}=\cdots =\frac{\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt 2}-\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}\right)^2}}{2}=\frac{\left|\frac{1}{\sqrt 2}-\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}\right|}{2}=\frac{\frac{\sqrt 3-1}{\sqrt 2}}{2}=\frac{\sqrt 3-1}{2\sqrt 2}[/dispmath]
[dispmath]\frac{z+1}{z-1}=\sqrt[6]2\left(\frac{1+\sqrt 3}{2\sqrt 2}+i\frac{\sqrt 3-1}{2\sqrt 2}\right)[/dispmath]
[dispmath]z+1=\frac{\sqrt[6]2}{2\sqrt 2}\left[\left(1+\sqrt 3\right)+i\left(\sqrt 3-1\right)\right]\left(z-1\right)[/dispmath]
[dispmath]z+1=\frac{1}{\sqrt[3]{16}}\left[\left(1+\sqrt 3\right)+i\left(\sqrt 3-1\right)\right]\left(z-1\right)[/dispmath]
[dispmath]\sqrt[3]{16}z+\sqrt[3]{16}=\left[\left(1+\sqrt 3\right)+i\left(\sqrt 3-1\right)\right]z-\left[\left(1+\sqrt 3\right)+i\left(\sqrt 3-1\right)\right][/dispmath]
[dispmath]\left[\left(1+\sqrt 3-\sqrt[3]{16}\right)+i\left(\sqrt 3-1\right)\right]z=\left(1+\sqrt 3+\sqrt[3]{16}\right)+i\left(\sqrt 3-1\right)[/dispmath]
[dispmath]z=\frac{\left(1+\sqrt 3+\sqrt[3]{16}\right)+i\left(\sqrt 3-1\right)}{\left(1+\sqrt 3-\sqrt[3]{16}\right)+i\left(\sqrt 3-1\right)}\quad /\cdot\frac{\left(1+\sqrt 3-\sqrt[3]{16}\right)-i\left(\sqrt 3-1\right)}{\left(1+\sqrt 3-\sqrt[3]{16}\right)-i\left(\sqrt 3-1\right)}[/dispmath]
[dispmath]z=\frac{\left(1+\sqrt 3+\sqrt[3]{16}\right)\left(1+\sqrt 3-\sqrt[3]{16}\right)+i\left(\sqrt 3-1\right)\left(1+\sqrt 3-\sqrt[3]{16}\right)-i\left(\sqrt 3-1\right)\left(1+\sqrt 3+\sqrt[3]{16}\right)+\left(\sqrt 3-1\right)^2}{\left(1+\sqrt 3-\sqrt[3]{16}\right)^2+\left(\sqrt 3-1\right)^2}[/dispmath]
[dispmath]z=\frac{\left(1+\sqrt 3\right)^2-\sqrt[3]{256}+i\left(\sqrt 3-1\right)\left(1+\sqrt 3-\sqrt[3]{16}-1-\sqrt 3-\sqrt[3]{16}\right)+4-2\sqrt 3}{\left(1+\sqrt 3-\sqrt[3]{16}\right)^2+\left(\sqrt 3-1\right)^2}[/dispmath]
[dispmath]\cdots[/dispmath]
Ako imaš živaca, možeš dalje da nastaviš da sređuješ ovo čudovište... U svakom slučaju, ne dobije se nimalo lep rezultat.

Naravno, posle još i za slučaj [inlmath]t_2=1-i[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Srediti izraz

Postod blake » Ponedeljak, 14. Oktobar 2013, 22:34

Jebenica.
Tenks a lot!

Ja ću stat na trećem redu od iza, i malo zapinjem u svaćanju ovoga >>>
Minus je radi toga šta [inlmath]\sqrt 3-1[/inlmath] ipak daje pozitivno, pa radi toga ne treba biti plus?

Daniel je napisao:[dispmath]\frac{\left|\frac{1}{\sqrt 2}-\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}\right|}{2}=\frac{\frac{\sqrt 3-1}{\sqrt 2}}{2}[/dispmath]

Isto tako mi nije jasno u tim linijama kad računamo poluvični kut kad se u nazivniku doda [inlmath]\sqrt2[/inlmath]
blake  OFFLINE
 
Postovi: 371
Lokacija: Split, Croatia
Zahvalio se: 127 puta
Pohvaljen: 96 puta

PrethodnaSledeća

Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 45 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 14:04 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs