Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Kompleksne jednadžbe

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]

Re: Srediti izraz

Postod Daniel » Ponedeljak, 14. Oktobar 2013, 23:22

blake je napisao:Minus je radi toga šta [inlmath]\sqrt 3-1[/inlmath] ipak daje pozitivno, pa radi toga ne treba biti plus?

Nisam siguran da sam dobro razumeo tvoje pitanje, ali pokušaću...
Minus je radi toga što u formuli za sinus polovine ugla imamo minus (kao što u formuli za kosinus polovine ugla imamo plus):
[dispmath]\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1{\color{red}-}\cos\alpha}{2}},\quad\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1{\color{red}+}\cos\alpha}{2}}[/dispmath]
Međutim, pošto je u našem konkretnom primeru [inlmath]\frac{\alpha}{2}=\frac{\pi}{12}[/inlmath], a znamo da su i [inlmath]\sin\frac{\pi}{12}[/inlmath] i [inlmath]\cos\frac{\pi}{12}[/inlmath] veći od nule, u oba slučaja umesto onog [inlmath]\pm[/inlmath] ispred korena uzimamo samo plus.
Možda te zbunjuje apsolutna vrednost?
[dispmath]\sin\frac{\pi}{12}=\sqrt{\frac{1-\cos\frac{\pi}{6}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt 3}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{\frac{2-\sqrt 3}{2}}{2}}=[/dispmath]
[dispmath]=\sqrt{\frac{2-\sqrt 3}{4}}=\sqrt{\frac{\left(\frac{1}{\sqrt 2}-\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}\right)^2}{4}}=\frac{\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt 2}-\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}\right)^2}}{\sqrt 4}=[/dispmath]
pa onda, koristeći jednakost [inlmath]\sqrt{x^2}\mathop=^{\mathrm{def}}\left|x\right|[/inlmath]
[dispmath]=\frac{\left|\frac{1}{\sqrt 2}-\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}\right|}{2}=\frac{\left|1-\sqrt 3\right|}{2\sqrt 2}=[/dispmath]
i, pošto je [inlmath]1-\sqrt 3[/inlmath] manje od nule, radi oslobađanja od apsolutne vrednosti stavimo minus ispred njega:
[dispmath]=\frac{-\left(1-\sqrt 3\right)}{2\sqrt 2}=\frac{\sqrt 3-1}{2\sqrt 2}[/dispmath]

blake je napisao:Isto tako mi nije jasno u tim linijama kad računamo poluvični kut kad se u nazivniku doda [inlmath]\sqrt2[/inlmath]

Ni ovo pitanje baš ne shvatam... Potrudi se, :please: , da postavljaš pitanja malo jasnije... Dvojka u imeniocu, i to pod korenom, sastavni je deo formule za sinus ili kosinus polovine ugla:
[dispmath]\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{\color{red}2}},\quad\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{\color{red}2}}[/dispmath]
ako je to bilo to što si pitao...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Srediti izraz

Postod blake » Ponedeljak, 14. Oktobar 2013, 23:47

Pa citira sam samo dio sa apsolutnim zagradama, kako se ne skuži :insane:

Šta se tiče dodavanja [inlmath]\sqrt2[/inlmath]
To je ovaj korak >>>

Daniel je napisao:...[dispmath]=\sqrt{\frac{2-\sqrt 3}{4}}=\sqrt{\frac{\left(\frac{1}{\sqrt 2}-\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}\right)^2}{4}}=...[/dispmath]

Možda bolje da mi ne kažeš još, sutra možda skužin :ghh:
blake  OFFLINE
 
Postovi: 371
Lokacija: Split, Croatia
Zahvalio se: 127 puta
Pohvaljen: 96 puta

  • +1

Re: Srediti izraz

Postod Daniel » Utorak, 15. Oktobar 2013, 00:14

A, to... Ma reći ću ti odma'... :P
Pretpostavimo da se [inlmath]2-\sqrt 3[/inlmath] može napisati kao kvadrat nekog binoma. To bi nam bilo pogodno, kako bi se taj kvadrat kratio s korenom. Neka je taj binom [inlmath]\left(a-b\right)[/inlmath]. Cilj nam je, naravno, da odredimo [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath].
[dispmath]\left(a-b\right)^2=2-\sqrt 3[/dispmath]
[dispmath]a^2+b^2-2ab=2-\sqrt 3[/dispmath]
Celobrojni deo grupišemo sa [inlmath]a^2+b^2[/inlmath], a iracionalni deo, tj. [inlmath]\sqrt 3[/inlmath], grupišemo sa [inlmath]2ab[/inlmath]:
[dispmath]a^2+b^2=2[/dispmath]
[dispmath]2ab=\sqrt 3[/dispmath]
Iz druge jednačine:
[dispmath]b=\frac{\sqrt 3}{2a}[/dispmath]
pa to uvrstimo u prvu:
[dispmath]a^2+\left(\frac{\sqrt 3}{2a}\right)^2=2[/dispmath]
[dispmath]a^2+\frac{3}{4a^2}=2\quad /\cdot 4a^2[/dispmath]
[dispmath]4\left(a^2\right)^2-8a^2+3=0[/dispmath]
[dispmath]\left(a^2\right)_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{64-48}}{8}=\frac{2\pm\sqrt{4-3}}{2}=\frac{2\pm 1}{2}[/dispmath]
[dispmath]\left(a^2\right)_1=\frac{1}{2},\quad\left(a^2\right)_2=\frac{3}{2}[/dispmath]
[dispmath]a_1=\pm\frac{1}{\sqrt 2},\quad a_2=\pm\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}[/dispmath]
Potpuno je svejedno koju ćemo od ove dve vrednosti uzeti za [inlmath]a[/inlmath], jer ako za [inlmath]a[/inlmath] uzmemo npr. [inlmath]\frac{1}{\sqrt 2}[/inlmath], za [inlmath]b[/inlmath] ćemo dobiti [inlmath]\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}[/inlmath] i obratno; ako za [inlmath]a[/inlmath] uzmemo jedan predznak, za [inlmath]b[/inlmath] ćemo dobiti da ima isti taj predznak, tj. proizvod će im biti pozitivan.
Znači, traženi kvadrat binoma je
[dispmath]2-\sqrt 3=\left(\frac{1}{\sqrt 2}-\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}\right)^2[/dispmath]


Pošto smo ovde imali minus u izrazu [inlmath]2-\sqrt 3[/inlmath], logično je da smo tražili kvadrat binoma oblika [inlmath]\left(a-b\right)^2[/inlmath], dakle, isto s minusom. Da smo imali [inlmath]2+\sqrt 3[/inlmath], tražili bismo kvadrat binoma oblika [inlmath]\left(a+b\right)^2[/inlmath].
Ne bi bila greška ni da smo za [inlmath]2-\sqrt 3[/inlmath] tražili kvadrat binoma oblika [inlmath]\left(a+b\right)^2[/inlmath] (s plusom), tada bismo za jedan od sabiraka [inlmath]a[/inlmath] ili [inlmath]b[/inlmath] dobili da je pozitivan, a za drugi da je negativan, tako da bi njihov proizvod bio negativan.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Prethodna

Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 34 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 17:50 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs