Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Kompleksan broj s realnom razlikom stepena

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]

Kompleksan broj s realnom razlikom stepena

Postod Stefanowsky » Sreda, 25. Februar 2015, 20:59

Zadatak glasi:
Da li postoji kompleksan broj [inlmath]z[/inlmath] koji nije realan takav da su brojevi [inlmath]z^{15}-\frac{1}{z^{15}}[/inlmath], [inlmath]\quad z^3-\frac{1}{z^3}\quad[/inlmath] i [inlmath]\quad z^{2014}-\frac{1}{z^{2014}}[/inlmath] realni?
Imam zvanicno resenje, ali zanima me da li zadatak moze da se resi na sledeci nacin:
[dispmath]\frac{1}{z}=\frac{\overline z}{\left|z\right|^2}[/dispmath][dispmath]z^3-\frac{1}{z^3}=z^3-\frac{\overline z^3}{\left|z\right|^6}=\frac{z^3\cdot\left|z\right|^6-\overline z^3}{\left|z\right|^6}=\frac{\left|z\right|^3\cdot(\cos3\alpha+i\cdot\sin3\alpha)\cdot\left|z\right|^6-\left|z\right|^3\cdot(\cos3\alpha-i\cdot\sin3\alpha)}{\left|z\right|^6}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\left|z\right|^6\cdot i\sin3\alpha+i\sin3\alpha=0[/dispmath][dispmath]\sin3\alpha=0\quad\lor\quad\left|z\right|^6+1=0[/dispmath]
Na isti nacin se dobija:
[dispmath]\sin15\alpha=0\quad\lor\quad\left|z\right|^{30}+1=0[/dispmath][dispmath]\sin2014\alpha=0\quad\lor\quad\left|z\right|^{4028}+1=0[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\sin3\alpha=0\quad\land\quad\sin15\alpha=0\quad\land\quad\sin2014\alpha=0[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\alpha=0[/dispmath]
Sto je u suprotnosti sa cinjenicom da je [inlmath]z[/inlmath] kompleksan broj koji nije realan.

Dakle, jel moze da prodje ovo resenje ili...? :D
"Let us learn to dream, gentlemen, then perhaps we shall find the truth... But let us beware of publishing our dreams till they have been tested by waking understanding."
Korisnikov avatar
 
Postovi: 27
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 25 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Kompleksan broj s realnom razlikom stepena

Postod Daniel » Četvrtak, 26. Februar 2015, 13:57

Sasvim OK postupak, po meni. Doduše, uz malu ispravku da u poslednjem koraku treba da se dobije [inlmath]\alpha=k\pi[/inlmath] a ne [inlmath]\alpha=0[/inlmath], tj. brojevi koji zadovoljavaju te tri jednačine mogu biti i pozitivni i negativni realni brojevi a ne samo pozitivni, ali to u svakom slučaju ne menja suštinu, tj. da ti brojevi moraju biti realni.

Interesovalo bi me na koji način je rađeno u tom zvaničnom rešenju? Ja bih radio vrlo slično kao i ti, samo za nijansu drugačije – da prvo izraz napišem u obliku jednog razlomka, [inlmath]\frac{z^6-1}{z^3}[/inlmath], zatim brojilac i imenilac pomnožim konjugovano-kompleksnom vrednošću imenioca radi dobijanja realne vrednosti u imeniocu, tj. [inlmath]\frac{\overline z^3\left(z^6-1\right)}{\left|z^6\right|}[/inlmath]. Izmnožim članove u brojiocu i dalje radim sve isto kao što si već pokazao...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Kompleksan broj s realnom razlikom stepena

Postod Stefanowsky » Četvrtak, 26. Februar 2015, 14:46

Hvala na odgovoru. Zadatak je sa republickog takmicenja (II razred). Njihovo resenje je sledece:
"Primetimo da je kompleksan broj [inlmath]t[/inlmath] realan ako i samo ako je [inlmath]t=\overline t[/inlmath]. Zato za [inlmath]t\in\mathbb{C}\setminus\{0\}[/inlmath] vazi:
[dispmath]t-\frac{1}{t}\in\mathbb{R}\quad\Leftrightarrow\quad t-\frac{1}{t}=\overline{t-\frac{1}{t}}[/dispmath]
Kako je:
[dispmath]t-\frac{1}{t}=\overline{t-\frac{1}{t}}\quad\Leftrightarrow\quad t-\frac{1}{t}=\overline{t}-\overline{\frac{1}{t}}\quad\Leftrightarrow\quad t-\overline{t}-\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{\overline{t}}\right)=0[/dispmath][dispmath]\left(t-\overline{t}\right)\left(1+\frac{1}{\left|t\right|^2}\right)=0\quad\Leftrightarrow\quad t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}[/dispmath]
To su dati brojevi realni ako i samo ako vazi [inlmath]z^{15},z^3,z^{2014}\in\mathbb{R}\setminus\{0\}[/inlmath]. Medjutim, tada je i broj [inlmath]z=\frac{z^{2014}}{z^{3(671)}}[/inlmath] realan, pa ne postoji broj [inlmath]z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}[/inlmath] sa trazenom osobinom.
"Let us learn to dream, gentlemen, then perhaps we shall find the truth... But let us beware of publishing our dreams till they have been tested by waking understanding."
Korisnikov avatar
 
Postovi: 27
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 25 puta


Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 39 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 12:57 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs