Zadatak glasi:
Da li postoji kompleksan broj [inlmath]z[/inlmath] koji nije realan takav da su brojevi [inlmath]z^{15}-\frac{1}{z^{15}}[/inlmath], [inlmath]\quad z^3-\frac{1}{z^3}\quad[/inlmath] i [inlmath]\quad z^{2014}-\frac{1}{z^{2014}}[/inlmath] realni?
Imam zvanicno resenje, ali zanima me da li zadatak moze da se resi na sledeci nacin:
[dispmath]\frac{1}{z}=\frac{\overline z}{\left|z\right|^2}[/dispmath][dispmath]z^3-\frac{1}{z^3}=z^3-\frac{\overline z^3}{\left|z\right|^6}=\frac{z^3\cdot\left|z\right|^6-\overline z^3}{\left|z\right|^6}=\frac{\left|z\right|^3\cdot(\cos3\alpha+i\cdot\sin3\alpha)\cdot\left|z\right|^6-\left|z\right|^3\cdot(\cos3\alpha-i\cdot\sin3\alpha)}{\left|z\right|^6}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\left|z\right|^6\cdot i\sin3\alpha+i\sin3\alpha=0[/dispmath][dispmath]\sin3\alpha=0\quad\lor\quad\left|z\right|^6+1=0[/dispmath]
Na isti nacin se dobija:
[dispmath]\sin15\alpha=0\quad\lor\quad\left|z\right|^{30}+1=0[/dispmath][dispmath]\sin2014\alpha=0\quad\lor\quad\left|z\right|^{4028}+1=0[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\sin3\alpha=0\quad\land\quad\sin15\alpha=0\quad\land\quad\sin2014\alpha=0[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\alpha=0[/dispmath]
Sto je u suprotnosti sa cinjenicom da je [inlmath]z[/inlmath] kompleksan broj koji nije realan.
Dakle, jel moze da prodje ovo resenje ili...?