Imaginarna jedinica
Poslato: Sreda, 10. Jun 2015, 09:25
Mislim da nema nigdje slična tema. Pa eto, ja ću je otvoriti. Dok sam uzeo da ponovim kompleksne brojeve malo uopšteno naletio sam na ovu zabludu. U dosta knjiga kao i na wolframu tvrdi se za [inlmath]i[/inlmath] da je jednoznačno određen, [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] se tretira kao glavni korijen (principal root) od [inlmath]i^2=-1[/inlmath]. Recimo tako je i slučaj kod korijena pozitivnih realnih brojeva, glavni korijen je uvijek pozitivan. [inlmath]n[/inlmath]-ti korijen je definisan za [inlmath]\forall a\in\mathbb{R}^+\land\forall n\in\mathbb{N}[/inlmath] i on se tretira kao jedinstven pozitivan broj za koji važi [inlmath]b^n=a[/inlmath].
Evo našao sam ovo objašnjenje za imaginarnu jedinicu koje me je malo zbunilo . Pa me interesuje vaše mišljenje o svemu ovome. I moje mišljenje je isto kao na wolframu, ali po ovome drugome mnoge stavri bise zakomplikovale.
S obzirom da postoje tačno dva broja, [inlmath]i[/inlmath] i [inlmath]-i[/inlmath], čiji su kvadrati [inlmath]-1[/inlmath], prirodno je smatrati ih korijenim broja [inlmath]-1[/inlmath]. Šta više , moglo bi se pomisliti da je zgodno da se stavi recimo [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] i [inlmath]-i=-\sqrt{-1}[/inlmath]. Ovo je na žalost neizvodljivo. Nismo u mogućnosti da to jasno obrazložimo. Navodimo samo primjer koji pokazuje do kakvih protivrečnosti bi mogle da dovedu ove definicije.
[dispmath]1=\sqrt{1}[/dispmath][dispmath]1=\sqrt{(-1)(-1)}[/dispmath][dispmath]1=\sqrt{-1}\sqrt{-1}[/dispmath][dispmath]1=i^2[/dispmath][dispmath]1=-1[/dispmath]
Mislim da ovaj dokaz da je [inlmath]1=-1[/inlmath] nema neke velike veze s definicijom imaginarne jedinice. Jer pravilo [inlmath]\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}[/inlmath] važi samo ako su oba broja pozitivna. Naravno ovaj dokaz nije tačan. Sada ne znam na šta su oni tačno mislili.
Prema tome ne možemo da usvojimo prethodne definicje, već moramo da prihvatimo da izraz [inlmath]\sqrt{-1}[/inlmath] nije jednoznačno određen, već da ima dvije vrijednosti; dakle [inlmath]\sqrt{-1}=\pm i[/inlmath]. Tu nastupa bitna razlika između korijena pozitivnih i negativnih realnih brojeva. Na primjer [inlmath]\sqrt{4}=2[/inlmath], ali [inlmath]\sqrt{-4}=\sqrt{-1}\sqrt{4}=\pm2i[/inlmath]
Evo našao sam ovo objašnjenje za imaginarnu jedinicu koje me je malo zbunilo . Pa me interesuje vaše mišljenje o svemu ovome. I moje mišljenje je isto kao na wolframu, ali po ovome drugome mnoge stavri bise zakomplikovale.
S obzirom da postoje tačno dva broja, [inlmath]i[/inlmath] i [inlmath]-i[/inlmath], čiji su kvadrati [inlmath]-1[/inlmath], prirodno je smatrati ih korijenim broja [inlmath]-1[/inlmath]. Šta više , moglo bi se pomisliti da je zgodno da se stavi recimo [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] i [inlmath]-i=-\sqrt{-1}[/inlmath]. Ovo je na žalost neizvodljivo. Nismo u mogućnosti da to jasno obrazložimo. Navodimo samo primjer koji pokazuje do kakvih protivrečnosti bi mogle da dovedu ove definicije.
[dispmath]1=\sqrt{1}[/dispmath][dispmath]1=\sqrt{(-1)(-1)}[/dispmath][dispmath]1=\sqrt{-1}\sqrt{-1}[/dispmath][dispmath]1=i^2[/dispmath][dispmath]1=-1[/dispmath]
Mislim da ovaj dokaz da je [inlmath]1=-1[/inlmath] nema neke velike veze s definicijom imaginarne jedinice. Jer pravilo [inlmath]\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}[/inlmath] važi samo ako su oba broja pozitivna. Naravno ovaj dokaz nije tačan. Sada ne znam na šta su oni tačno mislili.
Prema tome ne možemo da usvojimo prethodne definicje, već moramo da prihvatimo da izraz [inlmath]\sqrt{-1}[/inlmath] nije jednoznačno određen, već da ima dvije vrijednosti; dakle [inlmath]\sqrt{-1}=\pm i[/inlmath]. Tu nastupa bitna razlika između korijena pozitivnih i negativnih realnih brojeva. Na primjer [inlmath]\sqrt{4}=2[/inlmath], ali [inlmath]\sqrt{-4}=\sqrt{-1}\sqrt{4}=\pm2i[/inlmath]