Stranica 1 od 3

Imaginarna jedinica

PostPoslato: Sreda, 10. Jun 2015, 10:25
od Gamma
Mislim da nema nigdje slična tema. Pa eto, ja ću je otvoriti. Dok sam uzeo da ponovim kompleksne brojeve malo uopšteno naletio sam na ovu zabludu. U dosta knjiga kao i na wolframu tvrdi se za [inlmath]i[/inlmath] da je jednoznačno određen, [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] se tretira kao glavni korijen (principal root) od [inlmath]i^2=-1[/inlmath]. Recimo tako je i slučaj kod korijena pozitivnih realnih brojeva, glavni korijen je uvijek pozitivan. [inlmath]n[/inlmath]-ti korijen je definisan za [inlmath]\forall a\in\mathbb{R}^+\land\forall n\in\mathbb{N}[/inlmath] i on se tretira kao jedinstven pozitivan broj za koji važi [inlmath]b^n=a[/inlmath].
Evo našao sam ovo objašnjenje za imaginarnu jedinicu koje me je malo zbunilo :o. Pa me interesuje vaše mišljenje o svemu ovome. I moje mišljenje je isto kao na wolframu, ali po ovome drugome mnoge stavri bise zakomplikovale.

S obzirom da postoje tačno dva broja, [inlmath]i[/inlmath] i [inlmath]-i[/inlmath], čiji su kvadrati [inlmath]-1[/inlmath], prirodno je smatrati ih korijenim broja [inlmath]-1[/inlmath]. Šta više , moglo bi se pomisliti da je zgodno da se stavi recimo [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] i [inlmath]-i=-\sqrt{-1}[/inlmath]. Ovo je na žalost neizvodljivo. Nismo u mogućnosti da to jasno obrazložimo. Navodimo samo primjer koji pokazuje do kakvih protivrečnosti bi mogle da dovedu ove definicije.
[dispmath]1=\sqrt{1}[/dispmath][dispmath]1=\sqrt{(-1)(-1)}[/dispmath][dispmath]1=\sqrt{-1}\sqrt{-1}[/dispmath][dispmath]1=i^2[/dispmath][dispmath]1=-1[/dispmath]
Mislim da ovaj dokaz da je [inlmath]1=-1[/inlmath] nema neke velike veze s definicijom imaginarne jedinice. Jer pravilo [inlmath]\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}[/inlmath] važi samo ako su oba broja pozitivna. Naravno ovaj dokaz nije tačan. Sada ne znam na šta su oni tačno mislili.

Prema tome ne možemo da usvojimo prethodne definicje, već moramo da prihvatimo da izraz [inlmath]\sqrt{-1}[/inlmath] nije jednoznačno određen, već da ima dvije vrijednosti; dakle [inlmath]\sqrt{-1}=\pm i[/inlmath]. Tu nastupa bitna razlika između korijena pozitivnih i negativnih realnih brojeva. Na primjer [inlmath]\sqrt{4}=2[/inlmath], ali [inlmath]\sqrt{-4}=\sqrt{-1}\sqrt{4}=\pm2i[/inlmath]

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Sreda, 10. Jun 2015, 10:44
od Sinisa
na ovoj temi smo dokozali da nije isto kada je kvadrat ispod korijena i kada je iznad... bitno je reci da definicija govori da je kvadrat nekog broja negativan broj, pa iz toga kao posljedica proizilazi onaj [inlmath]-[/inlmath] ispod korijena :)

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Sreda, 10. Jun 2015, 15:28
od Daniel
[inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] jeste česta greška, čak i kod mnogih autora i srednjoškolskih profesora. Tačna definicija imaginarne jedinice glasi [inlmath]\underline{i^2=-1}[/inlmath].

Korenovanje u kompleksnom domenu je drugačije od korenovanja u realnom domenu. Dok korenovanje kao operacija nad realnim brojevima po definiciji daje samo jedan (nenegativan) rezultat, kod korenovanja u kompleksnom domenu [inlmath]n[/inlmath]-ti koren daje [inlmath]n[/inlmath] različitih vrednosti:
[dispmath]\sqrt[n]z=\sqrt[n]{\rho e^{i\left(\varphi+2k\pi\right)}}=\sqrt[n]\rho\cdot\sqrt[n]{e^{i\left(\varphi+2k\pi\right)}}=\sqrt[n]\rho\cdot e^{\large\frac{i\left(\varphi+2k\pi\right)}{n}}=\sqrt[n]\rho\cdot e^{\large i\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)}[/dispmath][dispmath]\left.\begin{array}{lcl}
k=0 & \Rightarrow & \sqrt[n]z=\sqrt[n]\rho\cdot e^{\large i\frac{\varphi}{n}}\\
k=1 & \Rightarrow & \sqrt[n]z=\sqrt[n]\rho\cdot e^{\large i\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2\pi}{n}\right)}\\
k=2 & \Rightarrow & \sqrt[n]z=\sqrt[n]\rho\cdot e^{\large i\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{4\pi}{n}\right)}\\
& \vdots\\
k=n-1 & \Rightarrow & \sqrt[n]z=\sqrt[n]\rho\cdot e^{\large i\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2\left(n-1\right)\pi}{n}\right)}
\end{array}\quad\right\}\quad\mbox{ukupno }n\mbox{ vrednosti}[/dispmath]
Tako, na primer, za [inlmath]\sqrt{-1}[/inlmath]:
[dispmath]\sqrt{-1}=\sqrt{1\cdot e^{i\left(\pi+2k\pi\right)}}=\sqrt{e^{i\left(\pi+2k\pi\right)}}=e^{\large i\frac{\pi+2k\pi}{2}}=e^{i\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)}[/dispmath][dispmath]\begin{array}{lcl}
k=0 & \Rightarrow & \sqrt{-1}=e^{i\frac{\pi}{2}}=i\\
k=1 & \Rightarrow & \sqrt{-1}=e^{i\left(\frac{\pi}{2}+\pi\right)}=e^{i\frac{3\pi}{2}}=-i
\end{array}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\sqrt{-1}=\pm i[/dispmath]
Da ne bude zabune, [inlmath]i[/inlmath] jeste jednoznačno određen – u kompleksnoj ravni to je tačka s koordinatama [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath] – ali [inlmath]\sqrt{-1}[/inlmath], kao kvadratni koren u kompleksnom domenu, nema jednoznačnu vrednost, već daje dve moguće vrednosti – u kompleksnoj ravni tačke [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(0,-1\right)[/inlmath].

Pričali smo o sličnim stvarima u ovoj i ovoj temi.

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Sreda, 10. Jun 2015, 15:43
od desideri
Daniel je napisao:[inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] jeste česta greška, čak i kod mnogih autora i srednjoškolskih profesora. Tačna definicija imaginarne jedinice glasi [inlmath]\underline{i^2=-1}[/inlmath].

E baš tako. I još jednom baš tako.
Pročitajte post pre ovog mog, Danielov naravno, naučićete mnogo. Ali ceo post.

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Sreda, 10. Jun 2015, 17:03
od Gamma
Tako kako si ti objasnio je takođe i u mojoj knjizi. Ali mislim da me nisi baš najbolje skontao, odnosi se na ono što ja preciziram. Rekao sam [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] da se tretira kao glavni korijen(principal root). Nisam rekao da ne može biti [inlmath]i=-\sqrt{-1}[/inlmath]. Obavezno pogledaj onaj wolframov link, valjda oni znaju šta pišu. Navešću par primjera. Sada ne znam, moguće ja da i ja ne razumijem najbolje definiciju imaginarne jedinice.
[dispmath]\sqrt{-8}\sqrt{-2}=2\sqrt{2}i\cdot\sqrt2\cdot i=-4[/dispmath]
Naravno za ovo rješenje kaže i knjiga i Wolfram da je tačno. Ali kada bismo koristili [inlmath]i=-\sqrt{-1}[/inlmath] tada bi važilo [inlmath]\sqrt{-8}=\pm2\sqrt2\cdot i[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{-2}=\pm\sqrt2\cdot i[/inlmath] ova dva izraza ne bi bila jednoznačno određena, i ako uzmemo da je [inlmath]\sqrt{-8}=2\sqrt2\cdot i[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{-2}=-\sqrt2\cdot i[/inlmath] onda bi bilo
[dispmath]\sqrt{-8}\sqrt{-2}=2\sqrt2i\cdot(-\sqrt2\cdot i)=4[/dispmath]
Mislim da su i ova dva pojma različita.
[dispmath]i=\sqrt{-1}[/dispmath]
Ponovo odnosi se na glavni korijen.
[dispmath]x^2+1=0[/dispmath][dispmath]x^2=-1[/dispmath][dispmath]|x|=\sqrt{-1}[/dispmath][dispmath]x=\pm\sqrt{-1}[/dispmath][dispmath]x=\pm i[/dispmath]

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Sreda, 10. Jun 2015, 20:40
od desideri
[dispmath]i^2=-1[/dispmath]
I to je to.
@Gamma, nemoj gledati previše Wolfram, oni tamo uvedu i da može biti logaritam iz negativnog broja. Bilo je u vezi s tim diskusije i na Matemaniji, nego nemam sada vremena da tražim, naći ćete i to, garantujem da ima.
Klasična matematika je zasnovana na postulatima, aksiomama i definicijama. Jedan od njih je (evo opet):
[dispmath]i^2=-1[/dispmath]
I nemojte vaditi koren iz minus jedan, garantujem da se zato pada na ispitu :( . Svi profesori razmišljaju ortodoksno, klasično, i ne dozvoljavaju to što neću ni da citiram u formuli.
p.s. I ja koristim Wolfram za proveru svega i svačega, jako su dobri ali su ponekad previše moderni za moje pre svega klasično iskustvo u matematici.

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Sreda, 10. Jun 2015, 21:53
od Trougao
@desideri Kako ne moze negativni logaritam? Ja sam mislio da on sledi iz Ojlerove formule.
[dispmath]e^{i\pi}=\cos(\pi)+i\sin(\pi)[/dispmath][dispmath]i\pi=\ln(-1)[/dispmath][dispmath]\ln(-a)=\ln(a)+i\pi[/dispmath]

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Sreda, 10. Jun 2015, 21:59
od Gamma
Na wolframu može ono i što ne može :mrgreen:

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Sreda, 10. Jun 2015, 22:02
od Trougao
Samo da se ispravim [inlmath]\ln(-a)=\ln(a)-i\pi[/inlmath]

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Četvrtak, 11. Jun 2015, 00:52
od Daniel
Gamma je napisao:Obavezno pogledaj onaj wolframov link, valjda oni znaju šta pišu.

Pogledao sam i ne mogu s tim da se složim. :)
Otprilike kontam šta žele da kažu. Zamislimo kompleksnu ravan. Korenujemo vrednost u tački [inlmath]\left(-1,0\right)[/inlmath], tj. [inlmath]-1[/inlmath]. Pošto je u pitanju korenovanje u kompleksnom domenu, dobićemo dve vrednosti, koje odgovaraju tačkama [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(0,-1\right)[/inlmath]. I sad, njihov je rezon da je svejedno koju ćemo od te dve tačke izabrati da bude imaginarna jedinica, jer, čak i ako izaberemo onu „donju“ tačku, [inlmath]\left(0,-1\right)[/inlmath], to će biti slučaj koji je u odnosu na realnu osu simetričan slučaju da smo za imaginarnu jedinicu izabrali „gornju“ tačku, [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath]. U odnosu na tako izabranu tačku, sve je u principu isto kao da smo izabrali onu koja je na [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath]. Ne znam, meni je takav rezon (ako sam ga dobro shvatio) prilično šupljikav, jer opet se nismo izborili s činjenicom da korenovanje broja [inlmath]-1[/inlmath] ne daje jednoznačan rezultat, već daje dva rezultata.

Gamma je napisao:[dispmath]\sqrt{-8}\sqrt{-2}=2\sqrt{2}i\cdot\sqrt2\cdot i=-4[/dispmath]
Naravno za ovo rješenje kaže i knjiga i Wolfram da je tačno. Ali kada bismo koristili [inlmath]i=-\sqrt{-1}[/inlmath] tada bi važilo [inlmath]\sqrt{-8}=\pm2\sqrt2\cdot i[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{-2}=\pm\sqrt2\cdot i[/inlmath] ova dva izraza ne bi bila jednoznačno određena, i ako uzmemo da je [inlmath]\sqrt{-8}=2\sqrt2\cdot i[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{-2}=-\sqrt2\cdot i[/inlmath] onda bi bilo
[dispmath]\sqrt{-8}\sqrt{-2}=2\sqrt2i\cdot(-\sqrt2\cdot i)=4[/dispmath]

Ako ti ovo stvara nedoumicu, uvek prevedi te brojeve u eksponencijalni oblik:
[dispmath]\sqrt{-8}\sqrt{-2}=\sqrt{8e^{i\left(\pi+2k\pi\right)}}\sqrt{2e^{i\left(\pi+2l\pi\right)}}=2\sqrt2e^{\Large i\frac{\pi+2k\pi}{2}}\cdot\sqrt2e^{\Large i\frac{\pi+2l\pi}{2}}=\\
=2\sqrt2\sqrt2e^{\Large i\frac{\pi+2k\pi}{2}}\cdot e^{\Large i\frac{\pi+2l\pi}{2}}=4e^{\Large i\frac{\pi+2k\pi}{2}}\cdot e^{\Large i\frac{\pi+2l\pi}{2}}=4e^{\large i\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)}\cdot e^{\large i\left(\frac{\pi}{2}+l\pi\right)}[/dispmath]
Pa sad imamo četiri slučaja:
[inlmath]\left(k,l\right)=\left(0,0\right)\quad\Rightarrow\quad\sqrt{-8}\sqrt{-2}=4e^{\large i\frac{\pi}{2}}\cdot e^{\large i\frac{\pi}{2}}=4i\cdot i=4i^2=4\cdot\left(-1\right)=-4\\
\left(k,l\right)=\left(0,1\right)\quad\Rightarrow\quad\sqrt{-8}\sqrt{-2}=4e^{\large i\frac{\pi}{2}}\cdot e^{\large i\left(\frac{\pi}{2}+\pi\right)}=4e^{\large i\frac{\pi}{2}}\cdot e^{\large i\frac{3\pi}{2}}=4i\cdot\left(-i\right)=-4i^2=-4\cdot\left(-1\right)=4\\
\left(k,l\right)=\left(1,0\right)\quad\Rightarrow\quad\sqrt{-8}\sqrt{-2}=4e^{\large i\left(\frac{\pi}{2}+\pi\right)}\cdot e^{\large i\left(\frac{\pi}{2}\right)}=4e^{\large i\frac{3\pi}{2}}\cdot e^{\large i\frac{\pi}{2}}=4\left(-i\right)\cdot i=-4i^2=-4\cdot\left(-1\right)=4\\
\left(k,l\right)=\left(1,1\right)\quad\Rightarrow\quad\sqrt{-8}\sqrt{-2}=4e^{\large i\left(\frac{\pi}{2}+\pi\right)}\cdot e^{\large i\left(\frac{\pi}{2}+\pi\right)}=4e^{\large i\frac{3\pi}{2}}\cdot e^{\large i\frac{3\pi}{2}}=4\left(-i\right)\cdot\left(-i\right)=4i^2=4\cdot\left(-1\right)=-4[/inlmath]

Prema tome, [inlmath]\sqrt{-8}\sqrt{-2}[/inlmath] daje dva tačna rezultata, [inlmath]-4[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath].

Gamma je napisao:[dispmath]x^2=-1[/dispmath][dispmath]|x|=\sqrt{-1}[/dispmath]

U ovom koraku ti je greška. Identitet [inlmath]\sqrt{x^2}=\left|x\right|[/inlmath] važi samo za operaciju korenovanja u realnom domenu, i ne može se primeniti na kompleksni domen. Uostalom, sigurno primećuješ kakav si nonsens time dobio. :) Dobio si da je apsolutna vrednost (odnosno moduo u kompleksnom domenu), koja je, po definiciji, realan broj, i to pozitivan ili nula, jednaka korenu negativnog broja, koji sigurno ne može biti realan. :) Prema tome, [inlmath]\left|x\right|=\sqrt{-1}[/inlmath] je, kao takav, potpuno besmislen. :) Na levoj strani realna vrednost, na desnoj strani imaginarna. :)

desideri je napisao:@Gamma, nemoj gledati previše Wolfram, oni tamo uvedu i da može biti logaritam iz negativnog broja. Bilo je u vezi s tim diskusije i na Matemaniji, nego nemam sada vremena da tražim, naći ćete i to, garantujem da ima.

Jeste, to je bila ova tema. Samo, nisam se u toj temi bunio što Wolfram ima logaritam negativnog broja (koji, kako i Trougao reče, postoji u kompleksnom domenu), već zato što su, zbog te želje za proširenjem na kompleksni domen, napravili zbrku u realnom, time što kao rezultat integraljenja [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{x}[/inlmath] ne daju rezultat [inlmath]\ln\left|x\right|+c[/inlmath] kako bi trebalo, već [inlmath]\ln\left(x\right)+c[/inlmath]... Uostalom, pročitaćete sve u toj temi na koju linkovah...

desideri je napisao:Klasična matematika je zasnovana na postulatima, aksiomama i definicijama. Jedan od njih je (evo opet):
[dispmath]i^2=-1[/dispmath]

Psssst... :shhh: Nemoj da te čuje ms.srki, jer ako sad krene sa svojom novom matematikom kompleksnih brojeva (tvrdeći kako je postojeća puna manjkavosti i šupljina), nadrljali smo ga... :insane:

desideri je napisao:I nemojte vaditi koren iz minus jedan, garantujem da se zato pada na ispitu :( .

Kako to misliš? Pa evo, ja upravo u prethodnom postu izvadih koren iz minus jedan, i nikakve zamerke na to nisi imao. A ne verujem da bi imao ijedan profesor.

desideri je napisao:Svi profesori razmišljaju ortodoksno, klasično, i ne dozvoljavaju to što neću ni da citiram u formuli.

Nemoj tako, ne svi. :) Možda većina, ali i ti i ja znamo časne izuzetke koji ne spadaju u tu većinu. :)

Trougao je napisao:Samo da se ispravim [inlmath]\ln(-a)=\ln(a)-i\pi[/inlmath]

Ne, nego baš treba s plusom, kako si prvobitno i bio napisao.