Imaginarna jedinica

PostPoslato: Sreda, 10. Jun 2015, 10:25
od Gamma
Mislim da nema nigdje slična tema. Pa eto, ja ću je otvoriti. Dok sam uzeo da ponovim kompleksne brojeve malo uopšteno naletio sam na ovu zabludu. U dosta knjiga kao i na wolframu tvrdi se za [inlmath]i[/inlmath] da je jednoznačno određen, [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] se tretira kao glavni korijen (principal root) od [inlmath]i^2=-1[/inlmath]. Recimo tako je i slučaj kod korijena pozitivnih realnih brojeva, glavni korijen je uvijek pozitivan. [inlmath]n[/inlmath]-ti korijen je definisan za [inlmath]\forall a\in\mathbb{R}^+\land\forall n\in\mathbb{N}[/inlmath] i on se tretira kao jedinstven pozitivan broj za koji važi [inlmath]b^n=a[/inlmath].
Evo našao sam ovo objašnjenje za imaginarnu jedinicu koje me je malo zbunilo :o. Pa me interesuje vaše mišljenje o svemu ovome. I moje mišljenje je isto kao na wolframu, ali po ovome drugome mnoge stavri bise zakomplikovale.

S obzirom da postoje tačno dva broja, [inlmath]i[/inlmath] i [inlmath]-i[/inlmath], čiji su kvadrati [inlmath]-1[/inlmath], prirodno je smatrati ih korijenim broja [inlmath]-1[/inlmath]. Šta više , moglo bi se pomisliti da je zgodno da se stavi recimo [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] i [inlmath]-i=-\sqrt{-1}[/inlmath]. Ovo je na žalost neizvodljivo. Nismo u mogućnosti da to jasno obrazložimo. Navodimo samo primjer koji pokazuje do kakvih protivrečnosti bi mogle da dovedu ove definicije.
[dispmath]1=\sqrt{1}[/dispmath][dispmath]1=\sqrt{(-1)(-1)}[/dispmath][dispmath]1=\sqrt{-1}\sqrt{-1}[/dispmath][dispmath]1=i^2[/dispmath][dispmath]1=-1[/dispmath]
Mislim da ovaj dokaz da je [inlmath]1=-1[/inlmath] nema neke velike veze s definicijom imaginarne jedinice. Jer pravilo [inlmath]\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}[/inlmath] važi samo ako su oba broja pozitivna. Naravno ovaj dokaz nije tačan. Sada ne znam na šta su oni tačno mislili.

Prema tome ne možemo da usvojimo prethodne definicje, već moramo da prihvatimo da izraz [inlmath]\sqrt{-1}[/inlmath] nije jednoznačno određen, već da ima dvije vrijednosti; dakle [inlmath]\sqrt{-1}=\pm i[/inlmath]. Tu nastupa bitna razlika između korijena pozitivnih i negativnih realnih brojeva. Na primjer [inlmath]\sqrt{4}=2[/inlmath], ali [inlmath]\sqrt{-4}=\sqrt{-1}\sqrt{4}=\pm2i[/inlmath]

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Sreda, 10. Jun 2015, 10:44
od Sinisa
na ovoj temi smo dokozali da nije isto kada je kvadrat ispod korijena i kada je iznad... bitno je reci da definicija govori da je kvadrat nekog broja negativan broj, pa iz toga kao posljedica proizilazi onaj [inlmath]-[/inlmath] ispod korijena :)

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Sreda, 10. Jun 2015, 15:28
od Daniel
[inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] jeste česta greška, čak i kod mnogih autora i srednjoškolskih profesora. Tačna definicija imaginarne jedinice glasi [inlmath]\underline{i^2=-1}[/inlmath].

Korenovanje u kompleksnom domenu je drugačije od korenovanja u realnom domenu. Dok korenovanje kao operacija nad realnim brojevima po definiciji daje samo jedan (nenegativan) rezultat, kod korenovanja u kompleksnom domenu [inlmath]n[/inlmath]-ti koren daje [inlmath]n[/inlmath] različitih vrednosti:
[dispmath]\sqrt[n]z=\sqrt[n]{\rho e^{i\left(\varphi+2k\pi\right)}}=\sqrt[n]\rho\cdot\sqrt[n]{e^{i\left(\varphi+2k\pi\right)}}=\sqrt[n]\rho\cdot e^{\large\frac{i\left(\varphi+2k\pi\right)}{n}}=\sqrt[n]\rho\cdot e^{\large i\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)}[/dispmath][dispmath]\left.\begin{array}{lcl}
k=0 & \Rightarrow & \sqrt[n]z=\sqrt[n]\rho\cdot e^{\large i\frac{\varphi}{n}}\\
k=1 & \Rightarrow & \sqrt[n]z=\sqrt[n]\rho\cdot e^{\large i\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2\pi}{n}\right)}\\
k=2 & \Rightarrow & \sqrt[n]z=\sqrt[n]\rho\cdot e^{\large i\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{4\pi}{n}\right)}\\
& \vdots\\
k=n-1 & \Rightarrow & \sqrt[n]z=\sqrt[n]\rho\cdot e^{\large i\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2\left(n-1\right)\pi}{n}\right)}
\end{array}\quad\right\}\quad\mbox{ukupno }n\mbox{ vrednosti}[/dispmath]
Tako, na primer, za [inlmath]\sqrt{-1}[/inlmath]:
[dispmath]\sqrt{-1}=\sqrt{1\cdot e^{i\left(\pi+2k\pi\right)}}=\sqrt{e^{i\left(\pi+2k\pi\right)}}=e^{\large i\frac{\pi+2k\pi}{2}}=e^{i\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)}[/dispmath][dispmath]\begin{array}{lcl}
k=0 & \Rightarrow & \sqrt{-1}=e^{i\frac{\pi}{2}}=i\\
k=1 & \Rightarrow & \sqrt{-1}=e^{i\left(\frac{\pi}{2}+\pi\right)}=e^{i\frac{3\pi}{2}}=-i
\end{array}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\sqrt{-1}=\pm i[/dispmath]
Da ne bude zabune, [inlmath]i[/inlmath] jeste jednoznačno određen – u kompleksnoj ravni to je tačka s koordinatama [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath] – ali [inlmath]\sqrt{-1}[/inlmath], kao kvadratni koren u kompleksnom domenu, nema jednoznačnu vrednost, već daje dve moguće vrednosti – u kompleksnoj ravni tačke [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(0,-1\right)[/inlmath].

Pričali smo o sličnim stvarima u ovoj i ovoj temi.

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Sreda, 10. Jun 2015, 15:43
od desideri
Daniel je napisao:[inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] jeste česta greška, čak i kod mnogih autora i srednjoškolskih profesora. Tačna definicija imaginarne jedinice glasi [inlmath]\underline{i^2=-1}[/inlmath].

E baš tako. I još jednom baš tako.
Pročitajte post pre ovog mog, Danielov naravno, naučićete mnogo. Ali ceo post.

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Sreda, 10. Jun 2015, 17:03
od Gamma
Tako kako si ti objasnio je takođe i u mojoj knjizi. Ali mislim da me nisi baš najbolje skontao, odnosi se na ono što ja preciziram. Rekao sam [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] da se tretira kao glavni korijen(principal root). Nisam rekao da ne može biti [inlmath]i=-\sqrt{-1}[/inlmath]. Obavezno pogledaj onaj wolframov link, valjda oni znaju šta pišu. Navešću par primjera. Sada ne znam, moguće ja da i ja ne razumijem najbolje definiciju imaginarne jedinice.
[dispmath]\sqrt{-8}\sqrt{-2}=2\sqrt{2}i\cdot\sqrt2\cdot i=-4[/dispmath]
Naravno za ovo rješenje kaže i knjiga i Wolfram da je tačno. Ali kada bismo koristili [inlmath]i=-\sqrt{-1}[/inlmath] tada bi važilo [inlmath]\sqrt{-8}=\pm2\sqrt2\cdot i[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{-2}=\pm\sqrt2\cdot i[/inlmath] ova dva izraza ne bi bila jednoznačno određena, i ako uzmemo da je [inlmath]\sqrt{-8}=2\sqrt2\cdot i[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{-2}=-\sqrt2\cdot i[/inlmath] onda bi bilo
[dispmath]\sqrt{-8}\sqrt{-2}=2\sqrt2i\cdot(-\sqrt2\cdot i)=4[/dispmath]
Mislim da su i ova dva pojma različita.
[dispmath]i=\sqrt{-1}[/dispmath]
Ponovo odnosi se na glavni korijen.
[dispmath]x^2+1=0[/dispmath][dispmath]x^2=-1[/dispmath][dispmath]|x|=\sqrt{-1}[/dispmath][dispmath]x=\pm\sqrt{-1}[/dispmath][dispmath]x=\pm i[/dispmath]

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Sreda, 10. Jun 2015, 20:40
od desideri
[dispmath]i^2=-1[/dispmath]
I to je to.
@Gamma, nemoj gledati previše Wolfram, oni tamo uvedu i da može biti logaritam iz negativnog broja. Bilo je u vezi s tim diskusije i na Matemaniji, nego nemam sada vremena da tražim, naći ćete i to, garantujem da ima.
Klasična matematika je zasnovana na postulatima, aksiomama i definicijama. Jedan od njih je (evo opet):
[dispmath]i^2=-1[/dispmath]
I nemojte vaditi koren iz minus jedan, garantujem da se zato pada na ispitu :( . Svi profesori razmišljaju ortodoksno, klasično, i ne dozvoljavaju to što neću ni da citiram u formuli.
p.s. I ja koristim Wolfram za proveru svega i svačega, jako su dobri ali su ponekad previše moderni za moje pre svega klasično iskustvo u matematici.

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Sreda, 10. Jun 2015, 21:53
od Trougao
@desideri Kako ne moze negativni logaritam? Ja sam mislio da on sledi iz Ojlerove formule.
[dispmath]e^{i\pi}=\cos(\pi)+i\sin(\pi)[/dispmath][dispmath]i\pi=\ln(-1)[/dispmath][dispmath]\ln(-a)=\ln(a)+i\pi[/dispmath]

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Sreda, 10. Jun 2015, 21:59
od Gamma
Na wolframu može ono i što ne može :mrgreen:

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Sreda, 10. Jun 2015, 22:02
od Trougao
Samo da se ispravim [inlmath]\ln(-a)=\ln(a)-i\pi[/inlmath]

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Četvrtak, 11. Jun 2015, 00:52
od Daniel
Gamma je napisao:Obavezno pogledaj onaj wolframov link, valjda oni znaju šta pišu.

Pogledao sam i ne mogu s tim da se složim. :)
Otprilike kontam šta žele da kažu. Zamislimo kompleksnu ravan. Korenujemo vrednost u tački [inlmath]\left(-1,0\right)[/inlmath], tj. [inlmath]-1[/inlmath]. Pošto je u pitanju korenovanje u kompleksnom domenu, dobićemo dve vrednosti, koje odgovaraju tačkama [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(0,-1\right)[/inlmath]. I sad, njihov je rezon da je svejedno koju ćemo od te dve tačke izabrati da bude imaginarna jedinica, jer, čak i ako izaberemo onu „donju“ tačku, [inlmath]\left(0,-1\right)[/inlmath], to će biti slučaj koji je u odnosu na realnu osu simetričan slučaju da smo za imaginarnu jedinicu izabrali „gornju“ tačku, [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath]. U odnosu na tako izabranu tačku, sve je u principu isto kao da smo izabrali onu koja je na [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath]. Ne znam, meni je takav rezon (ako sam ga dobro shvatio) prilično šupljikav, jer opet se nismo izborili s činjenicom da korenovanje broja [inlmath]-1[/inlmath] ne daje jednoznačan rezultat, već daje dva rezultata.

Gamma je napisao:[dispmath]\sqrt{-8}\sqrt{-2}=2\sqrt{2}i\cdot\sqrt2\cdot i=-4[/dispmath]
Naravno za ovo rješenje kaže i knjiga i Wolfram da je tačno. Ali kada bismo koristili [inlmath]i=-\sqrt{-1}[/inlmath] tada bi važilo [inlmath]\sqrt{-8}=\pm2\sqrt2\cdot i[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{-2}=\pm\sqrt2\cdot i[/inlmath] ova dva izraza ne bi bila jednoznačno određena, i ako uzmemo da je [inlmath]\sqrt{-8}=2\sqrt2\cdot i[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{-2}=-\sqrt2\cdot i[/inlmath] onda bi bilo
[dispmath]\sqrt{-8}\sqrt{-2}=2\sqrt2i\cdot(-\sqrt2\cdot i)=4[/dispmath]

Ako ti ovo stvara nedoumicu, uvek prevedi te brojeve u eksponencijalni oblik:
[dispmath]\sqrt{-8}\sqrt{-2}=\sqrt{8e^{i\left(\pi+2k\pi\right)}}\sqrt{2e^{i\left(\pi+2l\pi\right)}}=2\sqrt2e^{\Large i\frac{\pi+2k\pi}{2}}\cdot\sqrt2e^{\Large i\frac{\pi+2l\pi}{2}}=\\
=2\sqrt2\sqrt2e^{\Large i\frac{\pi+2k\pi}{2}}\cdot e^{\Large i\frac{\pi+2l\pi}{2}}=4e^{\Large i\frac{\pi+2k\pi}{2}}\cdot e^{\Large i\frac{\pi+2l\pi}{2}}=4e^{\large i\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)}\cdot e^{\large i\left(\frac{\pi}{2}+l\pi\right)}[/dispmath]
Pa sad imamo četiri slučaja:
[inlmath]\left(k,l\right)=\left(0,0\right)\quad\Rightarrow\quad\sqrt{-8}\sqrt{-2}=4e^{\large i\frac{\pi}{2}}\cdot e^{\large i\frac{\pi}{2}}=4i\cdot i=4i^2=4\cdot\left(-1\right)=-4\\
\left(k,l\right)=\left(0,1\right)\quad\Rightarrow\quad\sqrt{-8}\sqrt{-2}=4e^{\large i\frac{\pi}{2}}\cdot e^{\large i\left(\frac{\pi}{2}+\pi\right)}=4e^{\large i\frac{\pi}{2}}\cdot e^{\large i\frac{3\pi}{2}}=4i\cdot\left(-i\right)=-4i^2=-4\cdot\left(-1\right)=4\\
\left(k,l\right)=\left(1,0\right)\quad\Rightarrow\quad\sqrt{-8}\sqrt{-2}=4e^{\large i\left(\frac{\pi}{2}+\pi\right)}\cdot e^{\large i\left(\frac{\pi}{2}\right)}=4e^{\large i\frac{3\pi}{2}}\cdot e^{\large i\frac{\pi}{2}}=4\left(-i\right)\cdot i=-4i^2=-4\cdot\left(-1\right)=4\\
\left(k,l\right)=\left(1,1\right)\quad\Rightarrow\quad\sqrt{-8}\sqrt{-2}=4e^{\large i\left(\frac{\pi}{2}+\pi\right)}\cdot e^{\large i\left(\frac{\pi}{2}+\pi\right)}=4e^{\large i\frac{3\pi}{2}}\cdot e^{\large i\frac{3\pi}{2}}=4\left(-i\right)\cdot\left(-i\right)=4i^2=4\cdot\left(-1\right)=-4[/inlmath]

Prema tome, [inlmath]\sqrt{-8}\sqrt{-2}[/inlmath] daje dva tačna rezultata, [inlmath]-4[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath].

Gamma je napisao:[dispmath]x^2=-1[/dispmath][dispmath]|x|=\sqrt{-1}[/dispmath]

U ovom koraku ti je greška. Identitet [inlmath]\sqrt{x^2}=\left|x\right|[/inlmath] važi samo za operaciju korenovanja u realnom domenu, i ne može se primeniti na kompleksni domen. Uostalom, sigurno primećuješ kakav si nonsens time dobio. :) Dobio si da je apsolutna vrednost (odnosno moduo u kompleksnom domenu), koja je, po definiciji, realan broj, i to pozitivan ili nula, jednaka korenu negativnog broja, koji sigurno ne može biti realan. :) Prema tome, [inlmath]\left|x\right|=\sqrt{-1}[/inlmath] je, kao takav, potpuno besmislen. :) Na levoj strani realna vrednost, na desnoj strani imaginarna. :)

desideri je napisao:@Gamma, nemoj gledati previše Wolfram, oni tamo uvedu i da može biti logaritam iz negativnog broja. Bilo je u vezi s tim diskusije i na Matemaniji, nego nemam sada vremena da tražim, naći ćete i to, garantujem da ima.

Jeste, to je bila ova tema. Samo, nisam se u toj temi bunio što Wolfram ima logaritam negativnog broja (koji, kako i Trougao reče, postoji u kompleksnom domenu), već zato što su, zbog te želje za proširenjem na kompleksni domen, napravili zbrku u realnom, time što kao rezultat integraljenja [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{x}[/inlmath] ne daju rezultat [inlmath]\ln\left|x\right|+c[/inlmath] kako bi trebalo, već [inlmath]\ln\left(x\right)+c[/inlmath]... Uostalom, pročitaćete sve u toj temi na koju linkovah...

desideri je napisao:Klasična matematika je zasnovana na postulatima, aksiomama i definicijama. Jedan od njih je (evo opet):
[dispmath]i^2=-1[/dispmath]

Psssst... :shhh: Nemoj da te čuje ms.srki, jer ako sad krene sa svojom novom matematikom kompleksnih brojeva (tvrdeći kako je postojeća puna manjkavosti i šupljina), nadrljali smo ga... :insane:

desideri je napisao:I nemojte vaditi koren iz minus jedan, garantujem da se zato pada na ispitu :( .

Kako to misliš? Pa evo, ja upravo u prethodnom postu izvadih koren iz minus jedan, i nikakve zamerke na to nisi imao. A ne verujem da bi imao ijedan profesor.

desideri je napisao:Svi profesori razmišljaju ortodoksno, klasično, i ne dozvoljavaju to što neću ni da citiram u formuli.

Nemoj tako, ne svi. :) Možda većina, ali i ti i ja znamo časne izuzetke koji ne spadaju u tu većinu. :)

Trougao je napisao:Samo da se ispravim [inlmath]\ln(-a)=\ln(a)-i\pi[/inlmath]

Ne, nego baš treba s plusom, kako si prvobitno i bio napisao.

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Četvrtak, 11. Jun 2015, 09:32
od Gamma
I nas je učilo u školi da imaginarna jedinica nije jednoznačno određena. Ta tvoja priča ima i te kako smisla. Sada ko će znati što je Wolfram tretira tako. Možda je u pitanju neka najsavremenija matematika :) Kao što rekoh wolfram tretira izraz [inlmath]\sqrt{-8}\cdot\sqrt{-2}=-4[/inlmath] znači [inlmath]4[/inlmath] se nigdje ne spominje ali baš nigdje. Dok i u našim knjigama u rješenju takođe piše [inlmath]-4[/inlmath]. E sada da li je to neka slučajna štamparska greška ili stvarno su to s razlogom napisali ne znam.

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Četvrtak, 11. Jun 2015, 12:26
od Daniel
Gamma je napisao:I nas je učilo u školi da imaginarna jedinica nije jednoznačno određena.

Mene bi zaista zanimalo da mi neko ko to tvrdi pokaže koje su to dve ili više tačaka u kompleksnoj ravni koje predstavljaju broj [inlmath]i[/inlmath]. A dok se to ne desi, ja ostajem pri stavu da [inlmath]i[/inlmath] jeste jednoznačno određeno, budući da ja znam samo za jednu takvu tačku u kompleksnoj ravni, a to je tačka [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath].

Gamma je napisao:Kao što rekoh wolfram tretira izraz [inlmath]\sqrt{-8}\cdot\sqrt{-2}=-4[/inlmath] znači [inlmath]4[/inlmath] se nigdje ne spominje ali baš nigdje. Dok i u našim knjigama u rješenju takođe piše [inlmath]-4[/inlmath]. E sada da li je to neka slučajna štamparska greška ili stvarno su to s razlogom napisali ne znam.

U redu, ko god pronađe bilo kakvu grešku u mom prethodnom postu u kojem sam pokazao da [inlmath]\sqrt{-8}\sqrt{-2}[/inlmath] daje dve vrednosti, slobodno nek mi na nju ukaže i biću spreman da preispitam svoje viđenje ovog problema. :)

Evo nađoh jednu temu o tome na forumu mathforum.org, koji važi za prilično relevantan izvor.

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Četvrtak, 11. Jun 2015, 13:19
od Gamma
Daniel je napisao:Mene bi zaista zanimalo da mi neko ko to tvrdi pokaže koje su to dve ili više tačaka u kompleksnoj ravni koje predstavljaju broj [inlmath]i[/inlmath]. A dok se to ne desi, ja ostajem pri stavu da [inlmath]i[/inlmath] jeste jednoznačno određeno, budući da ja znam samo za jednu takvu tačku u kompleksnoj ravni, a to je tačka [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath].

Kada sam rekao jednoznačno određena mislio sam na predznak a ne na kompleksnu ravan. Tj. jednoznačno je određena imaginarana jedinica ako je [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] a nije kada je [inlmath]i=\pm\sqrt{-1}[/inlmath].

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Petak, 12. Jun 2015, 00:22
od Daniel
Ali, kada predznak imaginarne jedinice ne bi bio jednoznačno određen, tada bi u kompleksnoj ravni imaginarna jedinica bila predstavljena tačkama [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(0,-1\right)[/inlmath], a nije, već je predstavljena samo tačkom [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath]...

Ti verovatno posmatraš analogiju s jednačinom u realnom domenu [inlmath]x^2=1[/inlmath] iz koje dobijamo [inlmath]x=\pm1[/inlmath], tj. [inlmath]x[/inlmath] nije jednoznačno određeno. Ali, ne možeš porediti tu jednačinu i [inlmath]i^2=-1[/inlmath], jer, kao što već napisah, u realnom domenu je kvadratni koren jednoznačno određen, a u kompleksnom nije. Kad imamo [inlmath]i=\pm\sqrt{-1}[/inlmath], tu nam [inlmath]\pm[/inlmath] ne potiče od nejednoznačnosti imaginarne jedinice, već od nejednoznačnosti korena negativnog broja (posmatraj to kao [inlmath]\sqrt{-1}=\pm i[/inlmath]), a kod rešenja realne jednačine, [inlmath]x=\pm1[/inlmath], [inlmath]\pm[/inlmath] potiče od nejednoznačnosti promenljive [inlmath]x[/inlmath].

Uostalom, rešenje realne jednačine [inlmath]x=\pm1[/inlmath] možemo napisati i kao [inlmath]1=\pm x[/inlmath]. Takav zapis bi, matematički gledano, bio sasvim korektan. Možemo li iz toga zaključiti da vrednost broja [inlmath]1[/inlmath] nije jednoznačna? :) Naravno da ne možemo. :) E, podjednako je pogrešno i na osnovu [inlmath]i=\pm\sqrt{-1}[/inlmath] tvrditi da vrednost broja [inlmath]i[/inlmath] nije jednoznačna.

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Petak, 12. Jun 2015, 00:44
od Daniel
Gamma je napisao:Tj. jednoznačno je određena imaginarana jedinica ako je [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] a nije kada je [inlmath]i=\pm\sqrt{-1}[/inlmath].

Baš naprotiv – ako bi bilo [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath], tada imaginarna jedinica upravo ne bi bila jednoznačno određena, jer [inlmath]\sqrt{-1}[/inlmath] nije jednoznačno određen.

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Petak, 12. Jun 2015, 17:11
od Gamma
Samo mi ovo nije jasno. Solidno si ovo pojasnio. Mi u srednjoj školi nismo imali ovakav pristup kompleksnim brojevima.
Daniel je napisao:u realnom domenu je kvadratni koren jednoznačno određen, a u realnom nije.

Valjda treba
u realnom domenu je kvadratni koren jednoznačno određen, a u kompleksnom nije.

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Petak, 12. Jun 2015, 17:13
od Daniel
Naravno, hteo sam da napišem u kompleksnom. Hvala na opažanju, sad ću korigovati.

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Petak, 12. Jun 2015, 17:36
od Gamma
Sada ima smisla :mrgreen:

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Utorak, 22. Maj 2018, 21:45
od Mors
Gamma je napisao:Mislim da nema nigdje slična tema. Pa eto, ja ću je otvoriti. Dok sam uzeo da ponovim kompleksne brojeve malo uopšteno naletio sam na ovu zabludu. U dosta knjiga kao i na wolframu tvrdi se za [inlmath]i[/inlmath] da je jednoznačno određen, [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] se tretira kao glavni korijen (principal root) od [inlmath]i^2=-1[/inlmath]. Recimo tako je i slučaj kod korijena pozitivnih realnih brojeva, glavni korijen je uvijek pozitivan. [inlmath]n[/inlmath]-ti korijen je definisan za [inlmath]\forall a\in\mathbb{R}^+\land\forall n\in\mathbb{N}[/inlmath] i on se tretira kao jedinstven pozitivan broj za koji važi [inlmath]b^n=a[/inlmath].
Evo našao sam ovo objašnjenje za imaginarnu jedinicu koje me je malo zbunilo :o. Pa me interesuje vaše mišljenje o svemu ovome. I moje mišljenje je isto kao na wolframu, ali po ovome drugome mnoge stavri bise zakomplikovale.

S obzirom da postoje tačno dva broja, [inlmath]i[/inlmath] i [inlmath]-i[/inlmath], čiji su kvadrati [inlmath]-1[/inlmath], prirodno je smatrati ih korijenim broja [inlmath]-1[/inlmath]. Šta više , moglo bi se pomisliti da je zgodno da se stavi recimo [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] i [inlmath]-i=-\sqrt{-1}[/inlmath]. Ovo je na žalost neizvodljivo. Nismo u mogućnosti da to jasno obrazložimo. Navodimo samo primjer koji pokazuje do kakvih protivrečnosti bi mogle da dovedu ove definicije.
[dispmath]1=\sqrt{1}[/dispmath][dispmath]1=\sqrt{(-1)(-1)}[/dispmath][dispmath]1=\sqrt{-1}\sqrt{-1}[/dispmath][dispmath]1=i^2[/dispmath][dispmath]1=-1[/dispmath]
Mislim da ovaj dokaz da je [inlmath]1=-1[/inlmath] nema neke velike veze s definicijom imaginarne jedinice. Jer pravilo [inlmath]\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}[/inlmath] važi samo ako su oba broja pozitivna. Naravno ovaj dokaz nije tačan. Sada ne znam na šta su oni tačno mislili.

Prema tome ne možemo da usvojimo prethodne definicje, već moramo da prihvatimo da izraz [inlmath]\sqrt{-1}[/inlmath] nije jednoznačno određen, već da ima dvije vrijednosti; dakle [inlmath]\sqrt{-1}=\pm i[/inlmath]. Tu nastupa bitna razlika između korijena pozitivnih i negativnih realnih brojeva. Na primjer [inlmath]\sqrt{4}=2[/inlmath], ali [inlmath]\sqrt{-4}=\sqrt{-1}\sqrt{4}=\pm2i[/inlmath]

Ovo iznad je tačno vezano za dobijanje [inlmath]1=-1[/inlmath] odnosno iz pogrešne defincije [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath].
Jeste razlog jer koren nije jednoznačno određen u polju [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath]. Blizu ste bili odgovora zašto i nije koren iz [inlmath]-1[/inlmath].
Zapravo cela gornja definicija opšte poznata koja je netačna proizilazi iz jedne proste činjenice. Naime ne može da se definiše imaginarna jednica [inlmath]i[/inlmath] kao koren iz [inlmath]-1[/inlmath] iz prostog razloga što "nije još" definisana operacija korenovanja u polju kompleksnih brojeva! Jako mnogo ljudi to ne zna i upravo greši, pa u mnogo srednjoškolskih udžbenika a bogami i još nekih knjiga je ta definicija takva kakva je jer je postala uvrežena, ali nije napominjem tačna! Jedino i samo jedino tačno je da je [inlmath]i^2=-1[/inlmath] !

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Nedelja, 05. Avgust 2018, 14:25
od maja2062
Koren iz [inlmath]-1[/inlmath] je [inlmath]i[/inlmath], nema 2 resenja. Jednacina [inlmath]z^2+1=0[/inlmath] ima 2 resenja [inlmath]z_1=-i[/inlmath], [inlmath]z_2=i[/inlmath].

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Nedelja, 05. Avgust 2018, 20:18
od Corba248
Pre svega te molim da koristiš LaTeX jer je tako čitljivije, a i predviđeno je Pravilnikom.

Možeš li malo da pojasniš svoj post? Da li ima ili nema dva rešenja?

Ako već tvrdiš da nije ispravno pisati (a ispravno je) [inlmath]i^2=-1[/inlmath], možeš li malo detaljnije da objasniš zašto (naravno, poštujući tačku 13 Pravilnika)?

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Nedelja, 05. Avgust 2018, 22:11
od maja2062
Prvo f-ja [inlmath]\sqrt{x}[/inlmath] je definisana za [inlmath]x>0[/inlmath], dok je f-ja [inlmath]x^2[/inlmath] definisana za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath]. [inlmath]\sqrt1=1[/inlmath], a ne [inlmath]\pm1[/inlmath]. Isto tako je [inlmath]\sqrt{-1}=i[/inlmath], a ne [inlmath]\pm{i}[/inlmath].

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Nedelja, 05. Avgust 2018, 23:28
od Daniel
Korenovanje u realnom domenu [inlmath]\sqrt x[/inlmath] nije definisano za [inlmath]x>0[/inlmath], već za [inlmath]x\ge0[/inlmath]. Znači, u domen je uključena i nula.
Po ovom što si napisala, vidi se da nisi razumela razliku između korenovanja u realnom i korenovanja u kompleksnom domenu, kao ni razliku između pozitivnih/negativnih i kompleksnih brojeva. Ali, pre nego što nastavimo, interesovali bi me tvoji odgovori na sledeća dva kratka pitanja:
  • čemu je jednako [inlmath]\sqrt{-1+i}[/inlmath]?
  • čemu je jednako [inlmath]\sqrt{-1-i}[/inlmath]?

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Subota, 11. Avgust 2018, 10:45
od Onomatopeja
Daniele, slazem se da @maja2062 nije u pravu, ali bih isto tako napomenuo da ni tvoje pitanje nije najpreciznije. Naime, nije jasno da li posmatras tu koren kao izdvojenu granu korena (a onda je pitanje, i koju tacno) ili kao viseznacnu funkciju. Nije mi namera bila da dalje odgovaram na tvoje pitanje, samo sam hteo da skrenem paznju.

Ja bih samo isto skrenuo paznju i na ovu temu (pa i na svoj post u njoj, ako smem), gde sam gledao da neke stvari malo rigoroznije postavim i objasnim.

Na kraju, kod nas (vecine) postoji taj mali problem sto vise dajemo znacaju necemu sto nam je rekla uciteljica Milica ili nastavnik Petar, od onoga kako cujemo (ili pak necujemo) kasnije na fakultetu ili nekom drugom mestu (ipak, ko su oni da govore suprotno i suprostavljaju se nasoj Milici?). Postoji sasvim drugi (opravdani) razlozi zasto se na jedan nacin prica u osnovnoj, na drugi u srednjoj, a na potpuno treci nacin na fakultetu, al avaj.

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Utorak, 14. Avgust 2018, 19:31
od maja2062
Daniel je napisao:Korenovanje u realnom domenu [inlmath]\sqrt x[/inlmath] nije definisano za [inlmath]x>0[/inlmath], već za [inlmath]x\ge0[/inlmath]. Znači, u domen je uključena i nula.


Probacu da budem preciznija sledeci put.

Daniel je napisao:Po ovom što si napisala, vidi se da nisi razumela razliku između korenovanja u realnom i korenovanja u kompleksnom domenu, kao ni razliku između pozitivnih/negativnih i kompleksnih brojeva.


Ako vec znas sta su pozitivni a sta negativni kompleksni brojevi, sta je onda problem?

Ako je -1 "pozitivan" kompleksan broj, [inlmath]\sqrt {-1}=i[/inlmath]
Ako je -1 "negativan" kompleksan broj, [inlmath]\sqrt {-1}=-i[/inlmath]

Po meni, negativni kompleksini brojevi u Dekartovom koordinantnom sistemu (Cartesian coordinate system) ne postoje, jer ne mozes da ih definises a da se razlikuju od pozitivnih.

Daniel je napisao:Ali, pre nego što nastavimo, interesovali bi me tvoji odgovori na sledeća dva kratka pitanja:
  • čemu je jednako [inlmath]\sqrt{-1+i}[/inlmath]?
  • čemu je jednako [inlmath]\sqrt{-1-i}[/inlmath]?


Ovo me mrzi da racunam, stvarno. Ustvari mrzi me da koristim Latex, nisam ga do sada koristila.

Re: Imaginarna jedinica

PostPoslato: Sreda, 15. Avgust 2018, 00:12
od Daniel
Kakvi sad „pozitivni“ i „negativni“ kompleksni brojevi, aman?
Ko je tako nešto uopšte pomenuo?

maja2062 je napisao:Probacu da budem preciznija sledeci put.

Vidim.