Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Izraz s kompleksnim brojevima

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]

Izraz s kompleksnim brojevima

Postod Anonimo » Ponedeljak, 15. Jun 2015, 12:04

Pozdrav, interesuje me kako se dolazi do resenja ovog zadatka:
[dispmath]\left(\sqrt3i-1\right)^{2006}+\left(\sqrt3i+1\right)^{2006}[/dispmath]
Krenuo sam nesto da radim preko Moavrovog obrasca i dobijem ovakav izraz:
[dispmath]2^{2006}\cdot\left(\cos2006\frac{11\pi}{6}-\sin2006\frac{11\pi}{6}\right)+2^{2006}\cdot\left(\cos2006\frac{\pi}{6}+\sin2006\frac{\pi}{6}\right)[/dispmath]
Ponudjeni ogovori su:
[dispmath]2,\;2^{2006},\;2^{2007},\;-2^{2006}i,\;-2^{2006}[/dispmath]
Pokusao sam i sa onom varijantom da izraz stavim na kvatrat pa da dobijem
[dispmath]\left(\left(\sqrt3i-1\right)^2\right)^{1003}[/dispmath]
opet mi ne ispadne kao u resenju. :D
"Life stands before me like an eternal spring with new and brilliant clothes." Carl Friedrich Gauss
Korisnikov avatar
Anonimo  OFFLINE
 
Postovi: 61
Zahvalio se: 47 puta
Pohvaljen: 9 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Izraz s kompleksnim brojevima

Postod Daniel » Ponedeljak, 15. Jun 2015, 13:04

Ne treba ti Moavrova formula (BTW nisi je dobro ni napisao :) ). Umesto toga, uočiš pravilnost:
[dispmath]\left(\sqrt3i-1\right)^2=-2-2\sqrt3i=-2\left(1+\sqrt3i\right)\\
\left(\sqrt3i-1\right)^3=\left(\sqrt3i-1\right)^2\left(\sqrt3i-1\right)=-2\left(1+\sqrt3i\right)\left(\sqrt3i-1\right)=2^3[/dispmath] I onda [inlmath]\left(\sqrt3i-1\right)^{2006}[/inlmath] napišeš kao
[dispmath]\left(\sqrt3i-1\right)^{2006}=\left(\sqrt3i-1\right)^{2004+2}=\left(\sqrt3i-1\right)^{3\cdot668+2}=\left[\left(\sqrt3i-1\right)^3\right]^{668}\left(\sqrt3i-1\right)^2=\cdots[/dispmath] Zatim isto to uradiš i za [inlmath]\left(\sqrt3i+1\right)^{2006}[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Izraz s kompleksnim brojevima

Postod Anonimo » Ponedeljak, 15. Jun 2015, 13:45

Aaa, tako treba. Hvala ti. :D
"Life stands before me like an eternal spring with new and brilliant clothes." Carl Friedrich Gauss
Korisnikov avatar
Anonimo  OFFLINE
 
Postovi: 61
Zahvalio se: 47 puta
Pohvaljen: 9 puta

Re: Izraz s kompleksnim brojevima

Postod desideri » Ponedeljak, 15. Jun 2015, 15:28

@Anonimo,
Danielovo rešenje je realno najbrže i najelegantnije.
Ja ponavljam njegovu sugestiju da ti ne treba Moavrova (Moivre) formula.
Ove godine bih na prijemnom očekivao stepen [inlmath]2015[/inlmath].
Tako da sam "smislio" zadatak (pod znacima navoda, jer samo promenih godinu):
[dispmath]\left(\sqrt3i-1\right)^{2015}+\left(\sqrt3i+1\right)^{2015}[/dispmath]
Kada bi nam ti ovo uradio, mnogo bi pomogao drugima a i sebi. No to nije tvoja obaveza, to je stvar tvoje dobre volje.
Koliko ja pratim prijemne ispite, ovaj tvoj zadatak je iz 2006 :)
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

  • +1

Re: Izraz s kompleksnim brojevima

Postod bobanex » Ponedeljak, 15. Jun 2015, 16:15

[dispmath]\eqalign{
& \left(\sqrt3i-1\right)^{2006}+\left(\sqrt3i+1\right)^{2006}=\cr
& \left(1-\sqrt3i\right)^{2006}+\left(1+\sqrt3i\right)^{2006}=\cr
& \Bigg(2\left({1\over2}-{\sqrt3\over2}i\right)\Bigg)^{2006}+\Bigg(2\left({1\over2}+{\sqrt3\over2}i\right)\Bigg)^{2006}=\cr
& \left(2e^{i\left(-{\pi\over3}\right)}\right)^{2006}+\left(2e^{i\left({\pi\over3}\right)}\right)^{2006}\cr}[/dispmath]
bobanex  OFFLINE
BANOVAN
 
Postovi: 523
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 505 puta

Re: Izraz s kompleksnim brojevima

Postod Daniel » Ponedeljak, 15. Jun 2015, 17:49

@bobanex, sve se to može i rečima iskazati, jednostavnije je nego pisati sve te formule. :)

Biću slobodan da rečima interpretiram ideju koju si izložio. :) Može se, dakle, raditi i prebacivanjem kompleksnih brojeva u eksponencijalni oblik, nakon čega će biti potrebno primeniti formulu [inlmath]\frac{1}{2}\left(e^{ix}+e^{-x}\right)=\cos x[/inlmath]. Dobiće se kosinus fine vrednosti, koju lako izračunamo.

Moguće je zadatak uraditi i preko Moavrove formule, pri čemu će se na kraju kratiti imaginarni (sinusni) sabirci i ostaće samo realan deo...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Izraz s kompleksnim brojevima

Postod Anonimo » Ponedeljak, 15. Jun 2015, 21:24

desideri je napisao:Tako da sam "smislio" zadatak (pod znacima navoda, jer samo promenih godinu):
[dispmath]\left(\sqrt3i-1\right)^{2015}+\left(\sqrt3i+1\right)^{2015}[/dispmath]
Kada bi nam ti ovo uradio, mnogo bi pomogao drugima a i sebi. No to nije tvoja obaveza, to je stvar tvoje dobre volje.
Koliko ja pratim prijemne ispite, ovaj tvoj zadatak je iz 2006 :)

Jeste. Evo sad cu da probam da uradim i da ispisem sve u LaTeX-u. :D
"Life stands before me like an eternal spring with new and brilliant clothes." Carl Friedrich Gauss
Korisnikov avatar
Anonimo  OFFLINE
 
Postovi: 61
Zahvalio se: 47 puta
Pohvaljen: 9 puta

Re: Izraz s kompleksnim brojevima

Postod Anonimo » Ponedeljak, 15. Jun 2015, 22:02

Evo:
[dispmath]\left(\sqrt3i-1\right)^{2015}+\left(\sqrt3i+1\right)^{2015}[/dispmath][dispmath]\left(\sqrt3i-1\right)^2=-2\left(1+\sqrt3i\right)[/dispmath][dispmath]\left(\sqrt3i-1\right)^3=-2\left(1+\sqrt3i\right)\left(\sqrt3i-1\right)=2^3[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath][dispmath]\left(\sqrt3i+1\right)^2=-2\left(1-\sqrt3i\right)[/dispmath][dispmath]\left(\sqrt3i+1\right)^3=-2\left(1-\sqrt3i\right)\left(\sqrt3i+1\right)=-2^3[/dispmath]
I kada se sve sredi:
[dispmath]\big(\left(\sqrt3i-1\right)\big)^{2013+2}+\big(\left(\sqrt3i+1\right)\big)^{2013+2}[/dispmath]
[dispmath]\left(\left(\sqrt3i-1\right)^3\right)^{671}\left(\sqrt3i-1\right)+\left(\left(\sqrt3i+1\right)^3\right)^{671}\left(\sqrt3i+1\right)[/dispmath][dispmath]2^{2013}\left(\sqrt3i-1\right)-2^{2013}\left(\sqrt3i+1\right)[/dispmath][dispmath]2^{2013}\left(\cancel{\sqrt3i}-1\cancel{-\sqrt3i}-1\right)[/dispmath][dispmath]-2^{2014}[/dispmath]
Sad vidim da imam gresku, izostavio sam kvadrat u drugom delu, opet radim drugi deo zadatka. :D
"Life stands before me like an eternal spring with new and brilliant clothes." Carl Friedrich Gauss
Korisnikov avatar
Anonimo  OFFLINE
 
Postovi: 61
Zahvalio se: 47 puta
Pohvaljen: 9 puta

Re: Izraz s kompleksnim brojevima

Postod Anonimo » Ponedeljak, 15. Jun 2015, 22:16

Evo ispravke:
[dispmath]2^{2013}\left(\left(\sqrt3i-1\right)^2-\left(\sqrt3i+1\right)^2\right)[/dispmath]
Kada se skrati ovo sto je u zagradi dobija se
[dispmath]-4\sqrt3i[/dispmath]
Pa je to na kraju:
[dispmath]2^{2013}\cdot\left(-4\sqrt3i\right)=-2^{2015}i\sqrt3[/dispmath]
Sigurno sam nesto zeznuooo. Cudno mi ovo resenje... :D
"Life stands before me like an eternal spring with new and brilliant clothes." Carl Friedrich Gauss
Korisnikov avatar
Anonimo  OFFLINE
 
Postovi: 61
Zahvalio se: 47 puta
Pohvaljen: 9 puta

  • +1

Re: Izraz s kompleksnim brojevima

Postod Daniel » Ponedeljak, 15. Jun 2015, 22:36

Nisi ništa zeznuooo, to je to. :thumbup: Samo pazi na prijemnom da ne zaboraviš da prepišeš tako neke kvadrate ili neku sličnu glupost. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Sledeća

Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 34 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 14:32 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs