Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Kompleksni brojevi

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]

Kompleksni brojevi

Postod Ilija » Ponedeljak, 14. Mart 2016, 18:28

Skup kompleksnih brojeva [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath] je skup uređenih parova [inlmath](x,y),\;x\in\mathbb{R},\;y\in\mathbb{R}[/inlmath], odnosno [inlmath]\mathbb{C}=\{(x,y)\mid x,y\in\mathbb{R}\}[/inlmath].

Algebarski ili standardni zapis kompleksnog broja je [inlmath]z=x+iy[/inlmath], gde je [inlmath]x[/inlmath] realni deo koji označavamo i sa [inlmath]\text{Re}(z)[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] imaginarni deo koji označavamo i sa [inlmath]\text{Im}(z)[/inlmath], a [inlmath]i[/inlmath] imaginarna jedinica (definisana kao [inlmath]i^2=-1[/inlmath]).

kompleksna ravan.png
kompleksna ravan.png (1.57 KiB) Pogledano 1461 puta

Kako je
[dispmath]i\cdot y=(0,1)\cdot(y,0)=(0\cdot y-1\cdot 0,\;0\cdot0+1\cdot y)=(0,y),[/dispmath]
dobijamo da je
[dispmath](x,y)=(x,0)+(0,y)=x+i y.[/dispmath]


RAČUNSKE OPERACIJE NAD DVA KOMPLEKSNA BROJA OBLIKA [inlmath]\;z=x+iy[/inlmath]


Za dva kompleksna broja [inlmath]z_1=x_1+iy_1[/inlmath] i [inlmath]z_2=x_2+iy_2[/inlmath] važi:
[dispmath]z_1=z_2\iff x_1=x_2\enspace\land\enspace y_1=y_2[/dispmath]
a rezultati računskih operacija nad njima su:

Sabiranje.

[dispmath]z_1+z_2=(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+iy_1)+(x_2+iy_2)=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)=(x_1+x_2,\;y_1+y_2)[/dispmath]
Oduzimanje.

[dispmath]z_1-z_2=(x_1,y_1)-(x_2,y_2)=(x_1+iy_1)-(x_2+iy_2)=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2)=(x_1-x_2,\;y_1-y_2)[/dispmath]
Množenje.

[dispmath]z_1\cdot z_2=(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2+i^2y_1y_2+iy_1x_2+iy_2x_1=\\
=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)=(x_1x_2-y_1y_2,\;x_1y_2+x_2y_1)[/dispmath]
Deljenje.

[dispmath]\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1}{z_2}\cdot\frac{\overline{z_2}}{\overline{z_2}}=\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{x_2^2+y_2^2}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}=\left(\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2},\;\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}\right)\\
(z_2\ne0)[/dispmath]
Stepenovanje.

[dispmath]z^0=1\\\
\\\
z^n=\underbrace{z\cdot z\cdots z}_{n\text{ puta}}[/dispmath][dispmath]\begin{matrix}
z^m=z\cdot z^{m-1}\\
z^{-m}=\large\frac{1}{z^m}
\end{matrix},\quad m\in\mathbb{N}[/dispmath][dispmath]i^n=\begin{cases}
1, & n=4k,\\
i, & n=4k+1,\\
-1, & n=4k+2,\\
-i, & n=4k+3.
\end{cases},\quad k\in\mathbb{Z}[/dispmath]


NEUTRALNI ELEMENT, INVERZNI ELEMENT I KONJUGOVAN BROJ


[inlmath]1^\circ\enspace[/inlmath]Neutralni i inverzni element za sabiranje broju [inlmath]z=(x,y)[/inlmath] su:
  • neutralni element: [inlmath](0,0)[/inlmath]
  • inverzni element:
    [dispmath]-z=-(x+iy)=-x-iy=(-x,-y)[/dispmath]

[inlmath]2^\circ\enspace[/inlmath]Neutralni i inverzni element za množenje broju [inlmath]z=(x,y)[/inlmath] su:
  • neutralni element: [inlmath](1,0)[/inlmath]
  • inverzni element:
    [dispmath]z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{1}{z}\cdot\frac{\overline z}{\overline z}=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)}=\frac{x}{x^2+y^2}+i\frac{-y}{x^2+y^2}=\left(\frac{x}{x^2+y^2},\;\frac{-y}{x^2+y^2}\right)\\
    \bigl(z\ne(0,0)\bigr)[/dispmath]

[inlmath]3^\circ\enspace[/inlmath]Konjugovan broj broju [inlmath]z=(x,y)[/inlmath] je:
[dispmath]\overline{z}=x-iy=(x,-y)[/dispmath]
Odatle vidimo da važe sledeće formule:
[dispmath]\text{Re}(z)=\frac{z+\overline{z}}{2},\quad\text{Im}(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}[/dispmath]
odnosno da važe sledeće osobine:
[dispmath]\overline{\left(\overline{z}\right)}=z;\qquad\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2};\qquad\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2};\qquad\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}},\;z_2\ne0;\qquad z\cdot\overline{z}=x^2+y^2;[/dispmath]


Bitno je napomenuti da kompleksni broj možemo prikazati u još dva oblika, trigonometrijskom i eksponencijalnom, što u velikoj meri olakšava računske operacije s kompleksnim brojevima. Da bismo na što bolji način shvatili ova dva oblika kompleksnog broja, trebalo bi se upoznati s formulom koja povezuje trigonometrijsku i kompleksnu analizu, a to je svakako Ojlerova formula. Naravno, osvrnućemo se samo na Ojlerovu formulu u oblasti kompleksne analize, a ona glasi:
[dispmath]e^{ix}=\cos x+i\sin x[/dispmath]
gde je [inlmath]e[/inlmath] Ojlerov broj, [inlmath]i[/inlmath] imaginarna jedinica, a [inlmath]\cos x[/inlmath] i [inlmath]\sin x[/inlmath] trigonometrijske funkcije. Formula važi za svako, kako realno, tako i kompleksno [inlmath]x[/inlmath].

TRIGONOMETRIJSKI OBLIK KOMPLEKSNOG BROJA

[dispmath]z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)[/dispmath]
trigonometrijski oblik.png
trigonometrijski oblik.png (1.77 KiB) Pogledano 1461 puta


EKSPONENCIJALNI (OJLEROV) OBLIK KOMPLEKSNOG BROJA

[dispmath]z=re^{i\varphi}[/dispmath]
Primetimo da kod oba oblika figurišu oznake [inlmath]r[/inlmath] i [inlmath]\varphi[/inlmath], gde je [inlmath]r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}[/inlmath] moduo kompleksnog broja (rastojanje tačke [inlmath]z[/inlmath] od koordinatnog početka u kompleksnoj ravni), uz sledeće osobine:
[dispmath]|z|\ge0;\qquad|z|=0\iff x=0\enspace\land\enspace y=0;\qquad|z|=\left|\overline{z}\right|;\qquad|z|^2=z\cdot\overline{z};\\\
\\\
\big||z_1|-|z_2|\big|\le|z_1-z_2|;\qquad|z_1z_2|=|z_1||z_2|;\qquad\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|},\;z_2\ne0;\qquad|z_1\pm z_2|\le|z_1|+|z_2|\\\
\\\
-|z|\le\text{Re}(z)\le|z|,\qquad-|z|\le\text{Im}(z)\le|z|,\qquad|z_1 z_2|^2=|z_1|^2|z_2|^2\\\
\\\
|z_1+z_2|^2=|z_1|^2+2\text{Re}(z_1\overline{z_2})+|z_2|^2\\\
\\\
|z_1-z_2|^2=|z_1|^2-2\text{Re}(z_1\overline{z_2})+|z_2|^2\\\
\\\
|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2\left(|z_1|^2+|z_2|^2\right)[/dispmath]
Kod kompleksnih brojeva ne postoji relacija poretka. Međutim, kompleksne brojeve mozemo upoređivati po njihovim modulima. Dalje, [inlmath]\varphi=\arg(z)[/inlmath] je argument kompleksnog broja, posmatrajući ugao na intervalu [inlmath][0,2\pi)[/inlmath]. Ugao [inlmath]\varphi[/inlmath] određujemo tako što koristimo osobinu da je [inlmath]\text{tg }\varphi=\frac{y}{x}[/inlmath], s tim da pomoću predznaka [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] odredimo kvadrant u kom će se nalaziti [inlmath]z[/inlmath]. Pri tome je:
[dispmath]\varphi=\arg(z)=\begin{cases}
\text{arctg}\frac{y}{x}, & x>0,\enspace y\ne0,\\
\pi+\text{arctg}\frac{y}{x}, & x<0,\enspace y>0,\\
-\pi+\text{arctg}\frac{y}{x}, & x<0,\enspace y<0,\\
0, & x>0,\enspace y=0,\\
\pi, & x<0,\enspace y=0,\\
\frac{\pi}{2}, & x=0,\enspace y>0,\\
-\frac{\pi}{2}, & x=0,\enspace y<0,\\
\text{nedefinisano}, & x=0,\enspace y=0.
\end{cases}[/dispmath]
Prilikom određivanja konjugovanog broja kompleksnog broja [inlmath]z[/inlmath], u oba oblika važe ista pravila kao i kod algebarskog oblika [inlmath]z=x+iy[/inlmath]. Dakle:
[dispmath]\overline{z}=r(\cos\varphi-i\sin\varphi)=re^{-i\varphi}[/dispmath]


Računske operacije s kompleksnim brojevima u trigonometrijskom i eksponencijalnim obliku su:

Množenje.

[dispmath]\begin{align}
z_1z_2&=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)\\
&=r_1r_2\bigl(\cos\varphi_1\cos\varphi_2-\sin\varphi_1\sin\varphi_2+i(\sin\varphi_1\cos\varphi_2+\cos\varphi_1\sin\varphi_2)\bigr)\\
&=r_1r_2\bigl(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)\bigr)\\
&=r_1r_2e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}
\end{align}[/dispmath]
Deljenje.

[dispmath]\begin{align}
\frac{z_1}{z_2}&=\frac{r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)}{r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)}\\
&=\frac{r_1}{r_2}\cdot\frac{(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)(\cos\varphi_2-i\sin\varphi_2)}{(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)(\cos\varphi_2-i\sin\varphi_2)}\\
&=\frac{r_1}{r_2}\cdot\frac{\bigl(\cos\varphi_1\cos\varphi_2+\sin\varphi_1\sin\varphi_2+i(\sin\varphi_1\cos\varphi_2-\cos\varphi_1\sin\varphi_2)\bigr)}{\cancelto{1}{\cos^2\varphi_2+\sin^2\varphi_2}}\\
&=\frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2)\bigr)\\
&=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}
\end{align}\\
(z_2\ne0)[/dispmath]
Stepenovanje. Moavrova formula.

[dispmath]z^n=[r(\cos\varphi+i\sin\varphi)]^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)=r^ne^{in\varphi}[/dispmath]
Korenovanje.

[dispmath]\sqrt[n]z=\sqrt[n]{r(\cos\varphi+i\sin\varphi)}=\sqrt[n]r\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)=\sqrt[n]re^{\large i\frac{\varphi+2k\pi}{n}},\enspace k=0,1,2,\ldots,n-1[/dispmath]
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 503
Zahvalio se: 169 puta
Pohvaljen: 444 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 16. Oktobar 2018, 19:06 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs