Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Kompleksni brojevi – ETF Prijemni 2016.

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]

Kompleksni brojevi – ETF Prijemni 2016.

Postod extremesportist » Ponedeljak, 27. Jun 2016, 22:02

ETF Prijemni 2016.
3. zadatak


Evo još jednog od lakših zadataka sa današnjeg prijemnog:

Dat je kompleksan broj [inlmath]z=\frac{\sqrt{2016}+\imath^{2019}}{\sqrt{2016}+\imath^{2017}}[/inlmath], [inlmath]\left(\imath^2=-1\right)[/inlmath] Tada je izraz [inlmath]\frac{z+\overline z}{2}[/inlmath] (gde je [inlmath]\overline z[/inlmath] konjugovano kompleksni broj broja [inlmath]z[/inlmath]) jednak:

Rešenje: [inlmath]\frac{2015}{2017}[/inlmath]

Ja sam zadatak rešio ovako:
[dispmath]z=\frac{\sqrt{2016}+\imath^{2019}}{\sqrt{2016}+\imath^{2017}}=\frac{\sqrt{2016}+\imath^{4\cdot504+3}}{\sqrt{2016}+\imath^{4\cdot504+1}}=\frac{\sqrt{2016}-\imath}{\sqrt{2016}+\imath}[/dispmath]
Zatim racionališemo dobijeni izraz:
[dispmath]\frac{\sqrt{2016}-\imath}{\sqrt{2016}+\imath}\cdot\frac{\sqrt{2016}-\imath}{\sqrt{2016}-\imath}=\frac{\left(\sqrt{2016}-\imath\right)^2}{\sqrt{2016}^2-\imath^2}=\frac{2015-2\sqrt{2016}}{2017}=\frac{2015}{2017}-\frac{2\sqrt{2016}}{2017}[/dispmath]
Odatle sledi da je
[dispmath]\overline z=\frac{2015}{2017}+\frac{2\sqrt{2016}}{2017}[/dispmath]
Zatim je
[dispmath]\frac{z+\overline z}{2}=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{2015}{2017}-\frac{2\sqrt{2016}}{2017}+\frac{2015}{2017}+\frac{2\sqrt{2016}}{2017}\right)=\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{2015}{2017}=\frac{2015}{2017}[/dispmath]
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 12 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Kompleksni brojevi – ETF Prijemni 2016.

Postod Onomatopeja » Ponedeljak, 27. Jun 2016, 22:23

Tvoje resenje se moze malo skratiti (premda to i nije neko sustinsko skracivanje), ako primetis da je [inlmath]\displaystyle\text{Re }z=\frac{z+\bar{z}}{2}[/inlmath]. Tada iz dobijenog [inlmath]\displaystyle\frac{2015}{2017}-{\color{red}i}\frac{2\sqrt{2016}}{2017}[/inlmath] odmah nalazimo i konacno resenje. (obelezio sam crvenim deo koji si ispustio, verovatno pri kucanju)
 
Postovi: 598
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 565 puta


Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 09. Decembar 2019, 09:43 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs