Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Odrediti kompleksne brojeve iz uslova

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]

Odrediti kompleksne brojeve iz uslova

Postod ss_123 » Nedelja, 30. Oktobar 2016, 18:58

Treba mi pomoc sa zadatkom.
Zadatak glasi: odrediti kompleksne brojeve iz uslova [inlmath]z^2+\left|z\right|=0[/inlmath]
Ja sam pokusao umjesto [inlmath]z[/inlmath] uvrstiti algebarski oblik kompleksnog broja i moduo [inlmath]z[/inlmath] prebacio na desnu stranu.
Dobio sam [inlmath]x^2+2ixy-y^2=-\sqrt{x^2+y^2}[/inlmath]
Ali nemam ideju sta dalje da radim...

Jedino mozda da posmatram lijevu i desnu stranu kao kompleksne brojeve pa izjednacim lijevu i desnu stranu
Dobio bi [inlmath]x^2-y^2=-\sqrt{x^2+y^2}[/inlmath] i [inlmath]2xy=0[/inlmath]
Postoje 2 slucaja [inlmath]x=0[/inlmath] ili [inlmath]y=0[/inlmath]
Kad to uvrstim u prvu jednacinu [inlmath]-y^2=-\sqrt{y^2}[/inlmath] odatle slijedi [inlmath]y^2=\left|y\right|[/inlmath] ali ne znam sta dalje... Tad bi [inlmath]z_1=\left|y\right|i[/inlmath]
Isto tako [inlmath]z_2=-\left|x\right|[/inlmath]

Da li je ovo prihvatljivo rjesenje?
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 85
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Odrediti kompleksne brojeve iz uslova

Postod ss_123 » Nedelja, 30. Oktobar 2016, 19:16

Ustvari pogrijesio sam. Treba korijen u brojevima [inlmath]z_1[/inlmath] i [inlmath]z_2[/inlmath]
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 85
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Odrediti kompleksne brojeve iz uslova

Postod Ilija » Nedelja, 30. Oktobar 2016, 21:02

Jednacinu [inlmath]x^2-y^2+\sqrt{x^2+y^2}=0[/inlmath] napises kao [inlmath]\sqrt{x^2+y^2}=-\left(x^2-y^2\right)[/inlmath] i kvadriras (uz postavljen uslov da je desna strana veca ili jednaka nuli, tj. [inlmath]y^2\ge x^2[/inlmath]).

Onda se to svede na [inlmath]x^2+y^2=x^4+y^4-2x^2y^2[/inlmath]. Vidimo da je ovaj poslednji sabirak jednak [inlmath]0[/inlmath] (na osnovu druge jednacine), pa se to svede na [inlmath]x^4-x^2+y^4-y^2=0[/inlmath].

Pa razmatras dva slucaja [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]y=0[/inlmath], kao sto si zapisao.

Za [inlmath]x=0[/inlmath], to se svodi na [inlmath]y^2\left(y^2-1\right)=0[/inlmath], odakle dobijas resenja [inlmath](0,0)[/inlmath], [inlmath](0,1)[/inlmath] i [inlmath](0,-1)[/inlmath]. Sva tri su po uslovu prihvatljiva. A za [inlmath]y=0[/inlmath] to se svede na [inlmath]x^2\left(x^2-1\right)=0[/inlmath], pa dobijes resenja [inlmath](0,0)[/inlmath], [inlmath](1,0)[/inlmath] i [inlmath](-1,0)[/inlmath]. Prihvatljivo samo prvo (koje se poklapa sa ovim pre).

I na kraju to su i resenja:
[dispmath]z_1=0\\
z_2=i\\
z_3=-i[/dispmath]
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

  • +1

Re: Odrediti kompleksne brojeve iz uslova

Postod mala_mu » Nedelja, 30. Oktobar 2016, 21:35

Nastavljam na razmatranje slučajeva

Prvi slučaj: [inlmath]x=0:[/inlmath]
[dispmath]-y^2+\sqrt{y^2}=0\\
\sqrt{y^2}=y^2\\
y^2=y^4\\
y^2\left(y^2-1\right)=0\\
y=0\;\lor\;y=1\;\lor\;y=-1[/dispmath]
Drugi slučaj, ako je [inlmath]y=0:[/inlmath]
[dispmath]x^2+\sqrt{x^2}=0\\
\sqrt{x^2}=-x^2\\
\sqrt{x^2}=\vert x\vert\ge 0,\;-x^2\le0\\
\Longrightarrow\;x=0[/dispmath]
Tako da na kraju imamo:
[dispmath]z_1=0\\
z_2=i\\
z_3=-i[/dispmath]
Sorry I'm late a black cat blocked my path so I had to take a different way then a dragon came down and blocked my path then I saw an old lady having trouble crossing the street so I helped her then a cat was stuck in a tree and the owners asked me to help then I got lost on the road of life
Korisnikov avatar
mala_mu  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 50
Lokacija: Banja Luka
Zahvalio se: 23 puta
Pohvaljen: 72 puta

Re: Odrediti kompleksne brojeve iz uslova

Postod mala_mu » Nedelja, 30. Oktobar 2016, 21:36

Ne vidjeh da je @Ilija u međuvremenu odgovorio :D
Sorry I'm late a black cat blocked my path so I had to take a different way then a dragon came down and blocked my path then I saw an old lady having trouble crossing the street so I helped her then a cat was stuck in a tree and the owners asked me to help then I got lost on the road of life
Korisnikov avatar
mala_mu  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 50
Lokacija: Banja Luka
Zahvalio se: 23 puta
Pohvaljen: 72 puta

Re: Odrediti kompleksne brojeve iz uslova

Postod ss_123 » Ponedeljak, 31. Oktobar 2016, 14:45

Zar nebi trebalo da ima dva rjesenja zbog kvadrata u jednacini?
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 85
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Odrediti kompleksne brojeve iz uslova

Postod desideri » Ponedeljak, 31. Oktobar 2016, 16:51

U skupu realnih brojeva kvadratna jednačina ima dva rešenja, ili dva realna ili dvostruko (isto) realno rešenje ili nema rešenje.
U skupu kompleksnih brojeva je drugačije. Naime, uvek je paran broj kompleksnih rešenja i eventualno još jedno realno rešenje za kvadratnu jednačinu.
Kako bi bilo za jednačinu [inlmath]n[/inlmath]-tog reda, i to posebno za neparno i parno [inlmath]n[/inlmath] ?
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Odrediti kompleksne brojeve iz uslova

Postod Daniel » Ponedeljak, 31. Oktobar 2016, 18:56

Nije ovde u pitanju to što je nepoznata kompleksan broj.
U pitanju je to što ovde figuriše i apsolutna vrednost. I, samim prisustvom apsolutne vrednosti, to više nije klasična kvadratna jednačina, te može imati i više od dva rešenja.
Uostalom, primer slične jednačine ali s realnom nepoznatom bio bi [inlmath]x^2-|x|=0[/inlmath], kod koje je broj realnih rešenja takođe tri: [inlmath]x\in\{-1,0,1\}[/inlmath].

@ss_123, uvek možeš, ako nisi siguran u ispravnost dobijenih rešenja, uvrštavati jedno po jedno u polaznu jednačinu i proveravati da li je ista zadovoljena. Ovde se to lako odradi.
„Nebi“ se piše razdvojeno :!:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 33 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 15:52 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs