Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Moduo i argument kompleksnog broja

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]

Moduo i argument kompleksnog broja

Postod ss_123 » Sreda, 25. Januar 2017, 19:45

Treba mi mala pomoć sa zadatkom.
Zadatak glasi: ako je [inlmath]z=\frac{\sqrt3-i}{1-i}[/inlmath], odrediti [inlmath]\text{Re}(z)[/inlmath], [inlmath]\text{Im}(z)[/inlmath], [inlmath]|z|[/inlmath] i [inlmath]\arg(z)[/inlmath].
Realni i imaginarni dio sam odredio: [inlmath]\text{Re}(z)=\frac{\sqrt3+1}{2}[/inlmath] i [inlmath]\text{Im}(z)=\frac{\sqrt3-1}{2}[/inlmath].
Moduo je [inlmath]|z|=\sqrt2[/inlmath].

Ali nisam uspio odrediti argument.
Ako pokušam preko [inlmath]\text{arctg }\frac{x}{y}[/inlmath] dobijem [inlmath]2+\sqrt3[/inlmath], ali ne znam kako da odredim taj ugao.
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 85
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Moduo i argument kompleksnog broja

Postod miletrans » Sreda, 25. Januar 2017, 20:12

Ova tri rešenja koja si napisao su tačna. Što se tiče argumenta, napravio si lapsus, argument je [inlmath]\text{arctg }\frac{y}{x}[/inlmath] (tangens je količnik naspramne katete, u ovom slučaju [inlmath]y[/inlmath] i nalegle katete, u ovom slučaju [inlmath]x[/inlmath]). Kada uvrstiš svoja rešenja, dobiješ da je tangens argumenta [inlmath]2-\sqrt3[/inlmath]. E, sad, pošto ovo nije tangens nekog "lepog" ugla čiju vrednost znamo iz tablica, zaista ne vidim kako bi mogao da izračunaš arkustangens bez primene kalkulatora. Ono što možemo da zaključimo je da će se ovaj broj nalaziti u prvom kvadrantu, pošto su i sinus i kosinus njegovog argumenta pozitivni. Po meni, potpuno legitimno rešenje ovog zadatka bi bilo [inlmath]\phi=\text{arctg}\left(2-\sqrt3\right)+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath].
Globalni moderator
 
Postovi: 601
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 692 puta

Re: Moduo i argument kompleksnog broja

Postod ss_123 » Sreda, 25. Januar 2017, 20:24

Da, u pravu si. Slučajno sam napisao [inlmath]\text{arctg }\frac{x}{y}[/inlmath].

Pa taj argument mi treba, jer treba da izracunam [inlmath]z^{12}[/inlmath]. Pomocu kalkulatora se dobije da je to ugao [inlmath]\frac{5\pi}{12}[/inlmath]
Dvanaesti stepen je [inlmath]64(\cos5\pi+\sin5\pi)[/inlmath]
Jesam li dobro uradio?
Poslednji put menjao Daniel dana Sreda, 25. Januar 2017, 23:52, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija Latexa – ispravka sin i cos u \sin i \cos x
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 85
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Moduo i argument kompleksnog broja

Postod Daniel » Sreda, 25. Januar 2017, 20:39

Argument broja [inlmath]z[/inlmath] nađeš tako što u izrazu [inlmath]z=\frac{\sqrt3-i}{1-i}[/inlmath] odrediš argument brojioca i argument imenioca, a zatim ih oduzmeš jer je u pitanju deljenje kompleksnih brojeva.
Treba da dobiješ [inlmath]\arg(z)=\frac{\pi}{12}[/inlmath] (ne [inlmath]\frac{5\pi}{12}[/inlmath] kao što ti je kalkulator rekao).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Moduo i argument kompleksnog broja

Postod ss_123 » Sreda, 25. Januar 2017, 21:11

U pravu si. Ja sam pogrijesio, jer sam uvrštavao pogrešnu vrijednost argumenta (onu u kojoj sam pogrijesio znak).
Sad sam i ja pomoću kalkulatora dobio [inlmath]\arg(z)=\frac{\pi}{12}[/inlmath].
To znači da ni stepen nije dobar. Dvanaesti stepen je [inlmath]64(\cos\pi+\sin\pi)[/inlmath]
Poslednji put menjao Daniel dana Sreda, 25. Januar 2017, 23:53, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija Latexa – ispravka sin i cos u \sin i \cos x
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 85
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Moduo i argument kompleksnog broja

Postod Daniel » Sreda, 25. Januar 2017, 21:35

Zapravo, dvanaesti stepen je [inlmath]64(\cos\pi+{\color{red}i}\sin\pi)[/inlmath]. Mada, ta greška i nema uticaja, budući da je [inlmath]\sin\pi[/inlmath] ionako jednak nuli.
I, kad umesto [inlmath]\cos\pi[/inlmath] uvrstiš [inlmath]-1[/inlmath] a umesto [inlmath]\sin\pi[/inlmath] nulu, dobiješ [inlmath]z^{12}=-64[/inlmath], što je tačno rešenje.
Slučajno se potrefilo da bi i [inlmath]64(\cos5\pi+i\sin5\pi)[/inlmath] takođe dalo tačno rešenje [inlmath]-64[/inlmath], to je zbog toga što [inlmath]12.[/inlmath] koren nekog kompleksnog broja daje [inlmath]12[/inlmath] mogućih rešenja, što znači da postoje [inlmath]12[/inlmath] različitih kompleksnih vrednosti koje dignute na [inlmath]12.[/inlmath] stepen daju istu kompleksnu vrednost, a među tih [inlmath]12[/inlmath] različitih kompleksnih vrednosti upravo su [inlmath]\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right)[/inlmath] i [inlmath]\sqrt2\left(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\right)[/inlmath].



Inače, ako i dobiješ da je [inlmath]\text{tg }\varphi=2-\sqrt3[/inlmath] a nemaš drugog načina da odrediš vrednost [inlmath]\varphi[/inlmath], možeš pokušati i ovako. Skiciraš na trigonometrijskoj funkciji vrednost ovog tangensa, koji približno iznosi [inlmath]0,3[/inlmath], videćeš da on odgovara nekom dosta malom uglu, manjem i od [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath]. Zato je dobra ideja potražiti tangens dvaput većeg ugla i videti da li ćeš time možda dobiti tangens nekog od karakterističnih uglova:
[dispmath]\text{tg }2\varphi=\frac{2\text{ tg }\varphi}{1-\text{tg}^2\varphi}=\cdots=\frac{\sqrt3}{3}[/dispmath] odakle se vidi da je [inlmath]2\varphi=\frac{\pi}{6}[/inlmath], tj. da je [inlmath]\varphi=\frac{\pi}{12}[/inlmath].

U Latexu umesto sin i cos piši \sin i \cos (s backslashom).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 37 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 00:40 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs