-
+1
Ovi korisnici su zahvalili autoru
Daniel za post:
ss_123
Reputacija: 4.55%
od Daniel » Sreda, 25. Januar 2017, 21:35
Zapravo, dvanaesti stepen je [inlmath]64(\cos\pi+{\color{red}i}\sin\pi)[/inlmath]. Mada, ta greška i nema uticaja, budući da je [inlmath]\sin\pi[/inlmath] ionako jednak nuli.
I, kad umesto [inlmath]\cos\pi[/inlmath] uvrstiš [inlmath]-1[/inlmath] a umesto [inlmath]\sin\pi[/inlmath] nulu, dobiješ [inlmath]z^{12}=-64[/inlmath], što je tačno rešenje.
Slučajno se potrefilo da bi i [inlmath]64(\cos5\pi+i\sin5\pi)[/inlmath] takođe dalo tačno rešenje [inlmath]-64[/inlmath], to je zbog toga što [inlmath]12.[/inlmath] koren nekog kompleksnog broja daje [inlmath]12[/inlmath] mogućih rešenja, što znači da postoje [inlmath]12[/inlmath] različitih kompleksnih vrednosti koje dignute na [inlmath]12.[/inlmath] stepen daju istu kompleksnu vrednost, a među tih [inlmath]12[/inlmath] različitih kompleksnih vrednosti upravo su [inlmath]\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right)[/inlmath] i [inlmath]\sqrt2\left(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\right)[/inlmath].
Inače, ako i dobiješ da je [inlmath]\text{tg }\varphi=2-\sqrt3[/inlmath] a nemaš drugog načina da odrediš vrednost [inlmath]\varphi[/inlmath], možeš pokušati i ovako. Skiciraš na trigonometrijskoj funkciji vrednost ovog tangensa, koji približno iznosi [inlmath]0,3[/inlmath], videćeš da on odgovara nekom dosta malom uglu, manjem i od [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath]. Zato je dobra ideja potražiti tangens dvaput većeg ugla i videti da li ćeš time možda dobiti tangens nekog od karakterističnih uglova:
[dispmath]\text{tg }2\varphi=\frac{2\text{ tg }\varphi}{1-\text{tg}^2\varphi}=\cdots=\frac{\sqrt3}{3}[/dispmath] odakle se vidi da je [inlmath]2\varphi=\frac{\pi}{6}[/inlmath], tj. da je [inlmath]\varphi=\frac{\pi}{12}[/inlmath].
U Latexu umesto sin i cos piši \sin i \cos (s backslashom).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain