Odrediti kompleksan broj z • MATEMANIJA
Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Odrediti kompleksan broj z

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]

Odrediti kompleksan broj z

Postod ss_123 » Četvrtak, 26. Januar 2017, 12:44

Imam jedan zadatak, koji sam uradio, ali nemam rjesenje da provjerim, pa ako moze neko da mi provjeri. Nadam se da nije problem sto ovo postavljam ?
Zadatak glasi: naći kompleksan broj [inlmath]z[/inlmath] iz uslova
[inlmath]\text{Im}\biggl(z^2+i-i\cdot\text{Re}\left(\frac{1+2i}{i}\right)\biggr)=1[/inlmath] i [inlmath]\arg\Bigl(z^4\left(-1+i\sqrt3\right)\Bigr)=\frac{4\pi}{3}[/inlmath]

Moje rjesenje je [inlmath]z=2\sqrt3+2i=2\left(\sqrt3+i\right)[/inlmath] i [inlmath]\arg(z)=\frac{\pi}{6}[/inlmath], [inlmath]y=2[/inlmath], [inlmath]x=2\sqrt3[/inlmath]
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 84
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Odrediti kompleksan broj z

Postod Daniel » Četvrtak, 26. Januar 2017, 16:59

Pa, jesi li proverio uvrštavanjem dobijenog rešenja u početni sistem jednačina?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 7234
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3755 puta
Pohvaljen: 3926 puta

Re: Odrediti kompleksan broj z

Postod ss_123 » Četvrtak, 26. Januar 2017, 17:30

Nije dobar rezultat kad uvrstim. Moguce da sam pogrijesio u ovom dijelu:
[inlmath]\arg\left(z^4\right)=\frac{2\pi}{3}[/inlmath] i treba da iz ovog nadjem [inlmath]\arg(z)[/inlmath]
S obzirom da je formula za stepenovanje [inlmath]z^n=\bigl(\arg(z)\bigr)^n\Bigl(\cos\bigl(n\cdot\arg(z)\bigl)+i\sin\bigl(n\cdot\arg(z)\bigr)\Bigr)[/inlmath] ja sam samo [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath] podijelio sa [inlmath]4[/inlmath]. Da li je to ispravan nacin?
Poslednji put menjao Daniel dana Četvrtak, 26. Januar 2017, 22:32, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija Latexa – sin, cos, arg i * ispravljeni u \sin, \cos, \arg, \cdot
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 84
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Odrediti kompleksan broj z

Postod ss_123 » Četvrtak, 26. Januar 2017, 17:55

Dobio sam:
[dispmath]\text{Re}\left(\frac{1+2i}{i}\right)=2\\
\text{Im}\left(z^2+i-2i\right)=2xy-1\\
2xy-1=1\\
xy=1[/dispmath]
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 84
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Odrediti kompleksan broj z

Postod Daniel » Četvrtak, 26. Januar 2017, 21:25

Uf... Već sam ti skrenuo pažnju da se u Latexu ne piše sin x i cos x, već se piše \sin x i \cos x. Ovo prvo daje [inlmath]sin x[/inlmath] i [inlmath]cos x[/inlmath], a ovo drugo daje [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath].
Ova italic slova baš bodu oči. :shock:
Isto važi i za \arg.
I, operacija množenja (puta) ne piše se *, već \cdot. Imaš sve to u Latex-uputstvu.

ss_123 je napisao:Moguce da sam pogrijesio u ovom dijelu:
[inlmath]\arg\left(z^4\right)=\frac{2\pi}{3}[/inlmath]

Taj deo je u redu. :correct:

ss_123 je napisao:S obzirom da je formula za stepenovanje [inlmath]z^n={\color{red}\bigl(\arg(z)\bigr)}^n\Bigl(\cos\bigl(n\cdot\arg(z)\bigl)+i\sin\bigl(n\cdot\arg(z)\bigr)\Bigr)[/inlmath]

Treba ti modul umesto ovog crveno obeleženog argumenta: [inlmath]z^n={\color{green}|z|}^n\Bigl(\cos\bigl(n\cdot\arg(z)\bigr)+i\sin\bigl(n\cdot\arg(z)\bigr)\Bigr)[/inlmath]

ss_123 je napisao:ja sam samo [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath] podijelio sa [inlmath]4[/inlmath]. Da li je to ispravan nacin?

Nije. :wrong: Pošto je argument periodična funkcija s periodom [inlmath]2\pi[/inlmath], potrebno je na [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath] da dodaš [inlmath]2k\pi[/inlmath], pa onda sve to da podeliš sa [inlmath]4[/inlmath].

ss_123 je napisao:[dispmath]xy=1[/dispmath]

Ovo je takođe u redu. :correct:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 7234
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3755 puta
Pohvaljen: 3926 puta

Re: Odrediti kompleksan broj z

Postod ss_123 » Četvrtak, 26. Januar 2017, 22:18

Izvinjavam se za latex. Stvarno sam zaboravio za to. Iskreno, meni je to skoro isto, pa sam zbog toga zaboravio.

Greska u formuli za stepenovanje je bila slucajno. Nisam bio bas skoncentrisan. U zadatku sam naravno koristio [inlmath]n[/inlmath]-ti stepen modula, a slucajno tu napisao [inlmath]n[/inlmath]-ti stepen argumenta.

Daniel je napisao:... potrebno je na [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath] da dodaš [inlmath]2k\pi[/inlmath], pa onda sve to da podeliš sa [inlmath]4[/inlmath].

Nisam ovo razumio. Koliko je zapravo argument ovog kompleksnog broja [inlmath]z[/inlmath]?
[dispmath]\frac{\frac{2\pi}{3}+2k\pi}{4}[/dispmath] kako dalje?
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 84
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Odrediti kompleksan broj z

Postod Daniel » Četvrtak, 26. Januar 2017, 22:45

Jeste, upravo to. Pa kao i svaki put kad tražiš [inlmath]n[/inlmath]-ti koren nekog kompleksnog broja napisanog u trigonometrijskom obliku – od modula nađeš [inlmath]n[/inlmath]-ti koren, a na argument dodaš period [inlmath]2k\pi[/inlmath] i onda taj zbir argumenta i perioda podeliš sa [inlmath]n[/inlmath]. Upravo zbog toga u kompleksnom domenu [inlmath]n[/inlmath]-ti koren i daje [inlmath]n[/inlmath] mogućih rezultata.
Dakle, opšte pravilo:
[dispmath]z=\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi)\quad\Longrightarrow\quad\sqrt[n]z=\sqrt[n]\rho\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right),\quad k=0,1,\ldots,n-1[/dispmath]
ss_123 je napisao:[dispmath]\frac{\frac{2\pi}{3}+2k\pi}{4}[/dispmath] kako dalje?

Sad, dakle, odrediš sve moguće vrednosti argumenta unutar jedne periode (pošto je u pitanju [inlmath]4.[/inlmath] koren, [inlmath]k[/inlmath] treba da ide od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]3[/inlmath]).
Nakon toga, ta rešenja kombinuješ s rešenjem prve jednačine, [inlmath]xy=1[/inlmath]. Primeti da iz tog rešenja sledi da [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] moraju biti istog znaka, što ti govori u kojim se kvadrantima sme (a u kojim ne sme) naći argument...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 7234
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3755 puta
Pohvaljen: 3926 puta

Re: Odrediti kompleksan broj z

Postod ss_123 » Subota, 04. Februar 2017, 16:06

Nasao sam da bi to mogao biti jedan od ova dva ugla: [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath] ili [inlmath]\frac{7\pi}{6}[/inlmath]
Jer ugao smije biti u [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] kvadrantu.
Ali ne mogu izracunati [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], jer ne znam moduo.
Kako da znam koji od ova dva ugla je rjesenje?
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 84
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Odrediti kompleksan broj z

Postod Daniel » Nedelja, 05. Februar 2017, 09:44

Tako je, [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath] i [inlmath]\frac{7\pi}{6}[/inlmath].
Sada primeniš [inlmath]\text{tg }\varphi=\frac{y}{x}[/inlmath] i to će ti biti jedna jednačina po [inlmath]x[/inlmath] i po [inlmath]y[/inlmath], a druga jednačina po [inlmath]x[/inlmath] i po [inlmath]y[/inlmath] ti je ona koju si već dobio, [inlmath]xy=1[/inlmath].
Ostalo je samo da rešiš taj sistem od dve jednačine s dve nepoznate...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 7234
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3755 puta
Pohvaljen: 3926 puta

Re: Odrediti kompleksan broj z

Postod ss_123 » Nedelja, 05. Februar 2017, 16:33

Ah da, nisam se sjetio da ti uglovi imaju istu vrijednost tangensa.
Dobio sam [inlmath]x=\sqrt{\frac{3}{\sqrt3}}[/inlmath] i [inlmath]y=\sqrt{\frac{\sqrt3}{3}}[/inlmath]
I kao rjesenje zadatka bi bio broj [inlmath]z[/inlmath]:
[dispmath]z=\sqrt{\frac{3}{\sqrt3}}+i\sqrt{\frac{\sqrt3}{3}}[/dispmath]
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 84
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sledeća

Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 16. Avgust 2018, 12:44 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs