Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Resiti jednacinu po Z

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]

Resiti jednacinu po Z

Postod duske97 » Sreda, 22. Februar 2017, 22:51

Pozdrav
Zadatak glasi ovako:
Resiti jednacinu po [inlmath]Z[/inlmath] :
[dispmath]Z^3=\overline{Z}[/dispmath] "Prebacim" u trigonometrijski oblik prema moavrovoj formuli ali ne znam kako da resim jednacinu, tj. ne znam ni da li je to ispravan put.

Ja sam krenuo ovako:
[dispmath]\rho^3(\cos3x+i\sin3x)=\rho(\cos x-i\sin x)\\\
\\\
\rho^3(\cos3x+i\sin3x)-\rho(\cos x-i\sin x)=0\\
\rho\cdot\Bigl[\rho^2(\cos3x+i\sin3x)-(\cos x-i\sin x)\Bigr]=0\\
\rho=0\quad\lor\quad\rho^2(\cos3x+i\sin3x)-(\cos x-i\sin x)=0[/dispmath] Dalje ne znam...
Hvala unapred
duske97  OFFLINE
 
Postovi: 18
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Resiti jednacinu po Z

Postod miletrans » Sreda, 22. Februar 2017, 23:36

Ja bih ovo radio pomalo "divljački", ali legitimno. Dakle, pošto treba da nađeš treći stepen kompleksnog broja, iskoristiš [inlmath]\left(x+yi\right)^3=x^3+3x^2yi-3xy^2-y^3i[/inlmath]. Dalje ti je jasno, realni deo izjednačiš sa realnim, imaginarni sa imaginarnim...

Čisto računski, dobićeš da je jedno od rešenja [inlmath]x=0;\;y=0[/inlmath], to je upravo i ovo [inlmath]\rho=0[/inlmath] koje si i ti dobio.

Pretpostavljam da ovo može da se uradi elegantnije što bi rek'o moj profa iz fizike u gimnaziji, ali ovo radi. Naravno, da je u pitanju [inlmath]56[/inlmath]-ti stepen stvari bi bile "malo" teže.

Molim te nemoj da shvatiš ovo kao "soljenje pameti", ali uobičajeno je da se za kompleksne brojeve koristi malo [inlmath]z[/inlmath].
Globalni moderator
 
Postovi: 601
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 692 puta

Re: Resiti jednacinu po Z

Postod mala_mu » Sreda, 22. Februar 2017, 23:59

A možeš i da primijetiš da je [inlmath]\rho^3=\rho[/inlmath] pa je [inlmath]\rho=0[/inlmath], ili [inlmath]\rho=1[/inlmath]
Isto se lako uočava da je [inlmath]3x=-x+2k\pi[/inlmath], pa je [inlmath]x=\frac{k\pi}{2}[/inlmath]

Što znači da su rješenja: [inlmath]0,1,-1,i,-i[/inlmath]
Sorry I'm late a black cat blocked my path so I had to take a different way then a dragon came down and blocked my path then I saw an old lady having trouble crossing the street so I helped her then a cat was stuck in a tree and the owners asked me to help then I got lost on the road of life
Korisnikov avatar
mala_mu  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 50
Lokacija: Banja Luka
Zahvalio se: 23 puta
Pohvaljen: 72 puta

Re: Resiti jednacinu po Z

Postod duske97 » Četvrtak, 23. Februar 2017, 01:09

mala_mu je napisao: Isto se lako uočava da je [inlmath]3x=-x+2k\pi[/inlmath], pa je [inlmath]x=\frac{k\pi}{2}[/inlmath]

Što znači da su rješenja: [inlmath]0,1,-1,i,-i[/inlmath]

Kako smo ovo uocili?
Ako moze postupak :unsure:
duske97  OFFLINE
 
Postovi: 18
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +2

Re: Resiti jednacinu po Z

Postod mala_mu » Četvrtak, 23. Februar 2017, 17:18

Vrlo jednostavno, tj. prosto

Posmatramo [inlmath]\rho^3(\cos3x+i\sin3x)=\rho(\cos x-i\sin x)[/inlmath]

Kako je [inlmath]\overline{z}=\rho(\cos x-i\sin x)=\rho\bigl(\cos(-x)+i\sin(-x)\bigr)[/inlmath] to je [inlmath]\arg\overline{z}=-x[/inlmath] sa desne strane, analogno i za lijevu

Uporedjivanjem argumenata na lijevoj i desnoj strani imamo [inlmath]3x=-x+2k\pi[/inlmath] (moramo dodati period)
Isto tako, upoređivanjem modula sa lijeve i desne strane je [inlmath]\rho^3=\rho[/inlmath]

Pa je jedno od rjesenja, npr. [inlmath]z_0=1\cdot(\cos0+i\sin0)=1+i\cdot0=1[/inlmath]
Za [inlmath]k=4[/inlmath] rješenja se ponavljaju, a za [inlmath]\rho=0[/inlmath] rješenje je [inlmath]0[/inlmath]
Sorry I'm late a black cat blocked my path so I had to take a different way then a dragon came down and blocked my path then I saw an old lady having trouble crossing the street so I helped her then a cat was stuck in a tree and the owners asked me to help then I got lost on the road of life
Korisnikov avatar
mala_mu  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 50
Lokacija: Banja Luka
Zahvalio se: 23 puta
Pohvaljen: 72 puta

Re: Resiti jednacinu po Z

Postod duske97 » Četvrtak, 23. Februar 2017, 19:12

Hvala puno na objasnjenju!
duske97  OFFLINE
 
Postovi: 18
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 39 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 19:56 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs