Stranica 1 od 1

Naći kompleksan broj z

PostPoslato: Utorak, 18. Jul 2017, 22:33
od Ilija Varvarin
Naći kompleksan broj koji zadovoljava jednakosti:
[dispmath]\text{Re}\left(z^2+1-\text{Re}\left(\frac{1-i}{i}\right)\right)=1\qquad\arg\left(z^3\left(1+i\sqrt3\right)\right)=\frac{5\pi}{6}[/dispmath] Iz druge jednačine sam dobio da je argument [inlmath]\displaystyle\theta=\frac{\pi}{6}[/inlmath].
Sad kad se vratim u prvu jednačinu i iskoristim eksponencijanli zapis kompleksnog broja dobijem da je moduo [inlmath]\rho=\sqrt{-2}[/inlmath], što je nemoguće.
Da li sam pogrešno izračunao argument, ili je nešto drugo u pitanju?

Re: Naći kompleksan broj z

PostPoslato: Sreda, 19. Jul 2017, 10:29
od Corba248
Ilija Varvarin je napisao:Iz druge jednačine sam dobio da je argument [inlmath]\displaystyle\theta=\frac{\pi}{6}[/inlmath].
Sad kad se vratim u prvu jednačinu i iskoristim eksponencijanli zapis kompleksnog broja dobijem da je moduo [inlmath]\rho=\sqrt{-2}[/inlmath], što je nemoguće.

Dobar ti je argument. Jesi li siguran da kod prvog uslova nisi pogrešno prepisao neki znak? Kada bi obrnuo bilo koji znak u tom uslovu zadatak bi bio rešiv. Inače, mislim da ti je lakše da [inlmath]z[/inlmath] napišeš kao [inlmath]z=a+ib[/inlmath]. Kada bismo obrnuli neki znak dobili bismo (primeti da je [inlmath]\Re\left(\frac{1-i}{i}\right)=-1[/inlmath]):
[dispmath]\Re\left(z^2+1{\color{red}+}\Re\left(\frac{1-i}{i}\right)\right)=1\\
\Re\left(a^2+2iab-b^2+1-1\right)=1\\
\Re\left(a^2-b^2+2iab\right)=1\quad\Longrightarrow\quad\enclose{box}{a^2-b^2=1}[/dispmath] Sada ti ostaje da iskoristiš [inlmath]\tan\theta=\frac{b}{a}[/inlmath]. U suprotnom bismo dobili [inlmath]a^2-b^2=-1[/inlmath], a iz podatka o argumentu je [inlmath]\left|a\right|>\left|b\right|[/inlmath].

Re: Naći kompleksan broj z

PostPoslato: Sreda, 19. Jul 2017, 11:52
od Ilija Varvarin
Pogledao sam ponovo zadatak i nisam pogrešno napisao. Znači zaključak je da je u ovom obliku zadatak nerješiv.

Re: Naći kompleksan broj z

PostPoslato: Sreda, 19. Jul 2017, 12:00
od Corba248
Ja sam pogrešno napisao. Trebalo je da Daniel obriše moj post, pa da korigujemo grešku, ali si nas preduhitrio. Naime, osim argumenta koji si ti naveo, postoje još dva. Možeš li sada da pokušaš?

Re: Naći kompleksan broj z

PostPoslato: Sreda, 19. Jul 2017, 12:29
od Ilija Varvarin
Ne znam kako da odredim ta dva argumenta, znam da argument mogu zapisati ovako [inlmath]\arg(z)=\{\text{Arg}(z)+2\pi n\mid n\in\mathbb{Z}\}[/inlmath], ali tako se samo vrtim u krug.

Re: Naći kompleksan broj z

PostPoslato: Sreda, 19. Jul 2017, 15:25
od Daniel
Upravo tako moraš zapisati argument onda kad tražiš [inlmath]n[/inlmath]-ti koren kompleksnog broja, pri čemu ćeš dobiti [inlmath]n[/inlmath] mogućih rešenja:
[dispmath]\sqrt[n]z=\sqrt[n]{\rho e^{i(\varphi+2k\pi)}}=\sqrt[n]\rho e^{i\frac{\varphi+2k\pi}{n}}\\
\Longrightarrow\quad\arg\left(\sqrt[n]z\right)=\frac{1}{n}\arg(z)+\frac{2k\pi}{n},\quad k=0,1,\ldots,n-1[/dispmath]

Re: Naći kompleksan broj z

PostPoslato: Četvrtak, 20. Jul 2017, 09:50
od Ilija Varvarin
Koristeći ovo dobio sam da je argument [inlmath]\frac{3\pi}{2},\;a=0,\;b=-1[/inlmath].

Re: Naći kompleksan broj z

PostPoslato: Četvrtak, 20. Jul 2017, 11:23
od Daniel
...tj. da je [inlmath]z=-i[/inlmath]. To je tačno rešenje, što možeš i proveriti uvrštavanjem u početne jednačine.