Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Naci kompleksan broj

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]

Naci kompleksan broj

Postod markoskoric916 » Utorak, 21. Novembar 2017, 20:31

Naci kompleksan broj koji zadovoljava nejednakost
[dispmath]\arg\left(z^3\left(1+\imath\sqrt3\right)\right)=\frac{5\pi}{6}\\
\text{Re}\left(z^2+1-\text{Re}\left(\frac{1-\imath}{\imath}\right)\right)=1[/dispmath] Po onome sto mi je rekao asistent dobio sam da je
[dispmath]\arg(z)=\frac{\pi}{6}[/dispmath] i
[dispmath]\text{Re}\left(z^2+2\right)=1[/dispmath] sada ne znam kako dalje ako moze neka pomoc
 
Postovi: 27
Zahvalio se: 13 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Naci kompleksan broj

Postod Subject » Utorak, 21. Novembar 2017, 21:59

Nije mi bas najjasnije kako moze [inlmath]\arg(z)=\frac{\pi}{6}[/inlmath], jer po Moavrovoj formuli, ako je [inlmath]z=e^{i\psi}[/inlmath], [inlmath]\psi=\arg(z)[/inlmath] onda je [inlmath]z^2=e^{i\frac{\pi}{3}}[/inlmath] sto znaci da je [inlmath]z^2=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath], ako to zamenimo u jednacinu [inlmath]\text{Re}\left(z^2+2\right)=1[/inlmath] dobijamo: [inlmath]\text{Re}\left(\frac{5}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}\right)=1[/inlmath], a [inlmath]\text{Re}\left(\frac{5}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}\right)[/inlmath] je [inlmath]\frac{5}{2}[/inlmath], sto ocigledno nije [inlmath]1[/inlmath]?
"All we have to decide is what to do with the time that is given to us." - J.R.R.Tolkien
"Zivot nije vazniji od obraza." - Milorad Golijan
Korisnikov avatar
Subject  OFFLINE
 
Postovi: 59
Zahvalio se: 38 puta
Pohvaljen: 25 puta

Re: Naci kompleksan broj

Postod markoskoric916 » Utorak, 21. Novembar 2017, 22:07

pa ako to razlozimo da je
[dispmath]\arg\left(z^3\right)+\arg\left(1+\imath\sqrt3\right)=\frac{5\pi}{6}[/dispmath] dobijemo da je
[dispmath]3\arg(z)+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}[/dispmath] kad se sredi izraz dobije se ovo sto sam napisao predhodno i ako je dat argument ne mora nuzno znaciti da ima vrijednosti te koje ste vi napisali, mogu bilo koje vrijednosti da budu a da ipak na kraju imaju isti argumenta i zaboravili ste moduo kompleksnog broja.
 
Postovi: 27
Zahvalio se: 13 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Naci kompleksan broj

Postod Subject » Utorak, 21. Novembar 2017, 22:26

Broj [inlmath]z^3[/inlmath] ima [inlmath]3[/inlmath] resenja a ne jedno, znaci morao bi da imas [inlmath]3[/inlmath] vrste [inlmath]\arg(z)[/inlmath].
Ja sam dobio da je [inlmath]z=\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}e^{i\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}}[/inlmath], pa je zato sada [inlmath]\arg(z)=\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}[/inlmath] za [inlmath]k=0,1,2[/inlmath], jedino da se ispita da li neka od ovih resenja vaze. Ako sam dobro uradio vazi samo za [inlmath]k=2[/inlmath], pa je [inlmath]\arg(z)=\frac{9\pi}{6}=\frac{3\pi}{2}[/inlmath] i jos onaj [inlmath]z^2[/inlmath], dobija se [inlmath]\arg\left(z^2\right)=3\pi[/inlmath] pa je [inlmath]z^2=\cos\pi+i\sin\pi=-1[/inlmath], pa je [inlmath]\text{Re}\left(z^2+2\right)=\text{Re }(-1+2)=1[/inlmath] pa jednakost vazi.
"All we have to decide is what to do with the time that is given to us." - J.R.R.Tolkien
"Zivot nije vazniji od obraza." - Milorad Golijan
Korisnikov avatar
Subject  OFFLINE
 
Postovi: 59
Zahvalio se: 38 puta
Pohvaljen: 25 puta

Re: Naci kompleksan broj

Postod Daniel » Sreda, 22. Novembar 2017, 03:16

Pokušao bih i ja da pojasnim ovaj postupak svojim rečima. Pre svega, iz jednačine [inlmath]\text{Re}\left(z^2+2\right)=1[/inlmath], na osnovu osobine [inlmath]\text{Re}\left(z_1+z_2\right)=\text{Re}\left(z_1\right)+\text{Re}\left(z_2\right)[/inlmath] (realni deo zbira kompleksnih brojeva jednak je zbiru realnih delova tih kompleksnih brojeva), sledi [inlmath]\text{Re}\left(z^2\right)=-1[/inlmath].
Dalje, kao što Subject reče, kad imamo [inlmath]\arg\left(z^3\right)=\frac{\pi}{2}[/inlmath], tada, da bismo našli [inlmath]\arg(z)[/inlmath], nije dovoljno samo da desnu stranu podelimo sa [inlmath]3[/inlmath], već prethodno moramo desnoj strani dodati celobrojni umnožak perioda, [inlmath]+2k\pi[/inlmath], gde je [inlmath]k\in\{0,1,2\}[/inlmath], pa tek onda deliti sa [inlmath]3[/inlmath]. Na taj način dobijamo tri rešenja za argument broja [inlmath]z[/inlmath]. Tada imamo [inlmath]\arg(z)=\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}[/inlmath], tj. [inlmath]\arg(z)\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right\}[/inlmath]. Odatle sledi da je [inlmath]\arg\left(z^2\right)\in\left\{\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3},3\pi\right\}[/inlmath]. Pošto realni deo broja [inlmath]z^2[/inlmath] mora biti [inlmath]-1[/inlmath], sledi da se njegov argument mora nalaziti ili u [inlmath]II[/inlmath] ili u [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu. Samim tim otpadaju rešenja [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]\frac{5\pi}{3}[/inlmath] (jedan je u [inlmath]I[/inlmath], a drugi u [inlmath]IV[/inlmath] kvadrantu) i ostaje samo [inlmath]\arg\left(z^2\right)=3\pi[/inlmath] (na granici između [inlmath]II[/inlmath] i [inlmath]III[/inlmath] kvadranta). Na osnovu toga, kao i podatka [inlmath]\text{Re}\left(z^2\right)=-1[/inlmath], sledi [inlmath]z^2=-1[/inlmath], a odatle [inlmath]z=\pm i[/inlmath]. Međutim, rešenje [inlmath]z=i[/inlmath] otpada jer bi tada bilo [inlmath]\arg{z}=\frac{\pi}{2}[/inlmath] a to je protivno prethodnom rezultatu [inlmath]\arg(z)\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right\}[/inlmath]. Ostaje samo [inlmath]z=-i[/inlmath], što se uklapa, jer je tada [inlmath]\arg(z)=\frac{3\pi}{2}[/inlmath].

Subject je napisao:Ja sam dobio da je [inlmath]z={\color{red}\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}}e^{i\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}}[/inlmath],

Ovaj deo mi nije jasan, ispada da si dobio da ti je modul broja [inlmath]z[/inlmath] jednak [inlmath]\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}[/inlmath], iako posle ispravno dobijaš da je [inlmath]z^2=-1[/inlmath], tj. da je modul broja [inlmath]z[/inlmath] ipak jedinica. Proveri to.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7304
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3795 puta
Pohvaljen: 3953 puta

Re: Naci kompleksan broj

Postod Subject » Sreda, 22. Novembar 2017, 07:29

Daniel je napisao:Ovaj deo mi nije jasan, ispada da si dobio da ti je modul broja [inlmath]z[/inlmath] jednak [inlmath]\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}[/inlmath], iako posle ispravno dobijaš da je [inlmath]z^2=-1[/inlmath], tj. da je modul broja [inlmath]z[/inlmath] ipak jedinica. Proveri to.

Nisam siguran zasto sam to napisao, verovatno neki lapsus...
"All we have to decide is what to do with the time that is given to us." - J.R.R.Tolkien
"Zivot nije vazniji od obraza." - Milorad Golijan
Korisnikov avatar
Subject  OFFLINE
 
Postovi: 59
Zahvalio se: 38 puta
Pohvaljen: 25 puta

Re: Naci kompleksan broj

Postod markoskoric916 » Sreda, 22. Novembar 2017, 16:11

Hvala!
 
Postovi: 27
Zahvalio se: 13 puta
Pohvaljen: 1 puta


Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 16. Oktobar 2018, 07:20 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs