Integral po krivoj gama
Poslato: Ponedeljak, 04. Decembar 2017, 17:12
[dispmath]\int_\gamma\frac{e^z}{z(1-z)^3}\,\mathrm dz[/dispmath] gde je kontura [inlmath]\gamma(t)=2\cos(t)+i\sin(t)[/inlmath]
Posto funkcija nije definisana u tkama [inlmath]0,1[/inlmath] koristi se Kosijeva integralna formula. Da bih dobio dve zatvorene Zordanove krive uzeo sam liniju [inlmath]\gamma_2=-\gamma_4=x=\frac{1}{2}[/inlmath] (gde je [inlmath]\gamma_2[/inlmath] ide ka "dole" a [inlmath]\gamma_4[/inlmath] ka "gore ") i time podelio zadatu elipsu po kojoj radimo integral uz oznaku da mi je [inlmath]\gamma_3[/inlmath] levi deo elipse koji koristi tu duz i pozitivno je orijentisana a [inlmath]\gamma_1[/inlmath] je desni deo elipse koji koristi istu tu duz da bude poz orijentisana kriva. pa se onda integral svede na [inlmath]\int_\gamma\mathrm dz=\int_{\gamma_3\cup\gamma_4}\mathrm dz+\int_{\gamma_1\cup\gamma_2}\mathrm dz[/inlmath]
sada racunam, gde je [inlmath]g_1(z)=\frac{e^z}{(1-z)^3}[/inlmath], [inlmath]\int_{\gamma_3\cup\gamma_4}\frac{g_1(z)}{(z-0)^1}\,\mathrm dz=g_1^{(0)}(0)2i\pi=2i\pi[/inlmath]
slicno za drugi, gde je [inlmath]g_2(z)=\frac{e^z}{-z}[/inlmath], [inlmath]\int_{\gamma_1\cup\gamma_2}\frac{g_2(z)}{(z-1)^3}\,\mathrm dz=g_2^{(2)}(1)\frac{2i\pi}{2!}=-e[/inlmath], pa krajnje resenje mi bude [inlmath](2-e)i\pi[/inlmath], da li bi neko mogao da mi proveri ovo resenje? Drugo pitanje ja sam [inlmath]g_2(z)[/inlmath] diferencirao po pravilima za diferenciranje fja realnih promenljivih jedino nisam siguran da li pravilo za diferenciranja kolicnika fja vazi i za kompleksne fje (izmena1: vazi isto pravilo, tako da nisam siguran ako sam pogresio u zadatku).
Hvala unapred
Posto funkcija nije definisana u tkama [inlmath]0,1[/inlmath] koristi se Kosijeva integralna formula. Da bih dobio dve zatvorene Zordanove krive uzeo sam liniju [inlmath]\gamma_2=-\gamma_4=x=\frac{1}{2}[/inlmath] (gde je [inlmath]\gamma_2[/inlmath] ide ka "dole" a [inlmath]\gamma_4[/inlmath] ka "gore ") i time podelio zadatu elipsu po kojoj radimo integral uz oznaku da mi je [inlmath]\gamma_3[/inlmath] levi deo elipse koji koristi tu duz i pozitivno je orijentisana a [inlmath]\gamma_1[/inlmath] je desni deo elipse koji koristi istu tu duz da bude poz orijentisana kriva. pa se onda integral svede na [inlmath]\int_\gamma\mathrm dz=\int_{\gamma_3\cup\gamma_4}\mathrm dz+\int_{\gamma_1\cup\gamma_2}\mathrm dz[/inlmath]
sada racunam, gde je [inlmath]g_1(z)=\frac{e^z}{(1-z)^3}[/inlmath], [inlmath]\int_{\gamma_3\cup\gamma_4}\frac{g_1(z)}{(z-0)^1}\,\mathrm dz=g_1^{(0)}(0)2i\pi=2i\pi[/inlmath]
slicno za drugi, gde je [inlmath]g_2(z)=\frac{e^z}{-z}[/inlmath], [inlmath]\int_{\gamma_1\cup\gamma_2}\frac{g_2(z)}{(z-1)^3}\,\mathrm dz=g_2^{(2)}(1)\frac{2i\pi}{2!}=-e[/inlmath], pa krajnje resenje mi bude [inlmath](2-e)i\pi[/inlmath], da li bi neko mogao da mi proveri ovo resenje? Drugo pitanje ja sam [inlmath]g_2(z)[/inlmath] diferencirao po pravilima za diferenciranje fja realnih promenljivih jedino nisam siguran da li pravilo za diferenciranja kolicnika fja vazi i za kompleksne fje (izmena1: vazi isto pravilo, tako da nisam siguran ako sam pogresio u zadatku).
Hvala unapred