Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Odrediti vrednost izraza

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]

Odrediti vrednost izraza

Postod _Mita » Sreda, 26. Jun 2013, 17:51

Ako je [inlmath]x^2+x+1=0[/inlmath], tada je izraz [inlmath]x^{2009}+x^{-2009}[/inlmath] jednak?

Prvo sto mi je palo na pamet je Moavrova formula, medjutim video sam da jednacina [inlmath]x^2+x+1=0[/inlmath] ima dva resenja, pa ne razumem kako mogu ta dva resenja ubacena u izraz [inlmath]x^{2009}+x^{-2009}[/inlmath] da daju isti rezultat?
Ja sam koristio [inlmath]\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}[/inlmath] kao resenje kvadratne jednacine i dobio rezultat [inlmath]-1[/inlmath]. Pre svega me zanima da li treba u ovom i slicnim zadacima da se obazirem na dva resenja kvadratne jednacine? :crazy:
Korisnikov avatar
_Mita  OFFLINE
 
Postovi: 116
Lokacija: Kragujevac
Zahvalio se: 46 puta
Pohvaljen: 37 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Odrediti vrednost izraza

Postod Daniel » Sreda, 26. Jun 2013, 18:36

Treba, u svakom slučaju, ispitati da li se isti rezultat dobije i s jednim i s drugim rešenjem i, ako se dobije, onda to i naglasiti.
Ovde nije neophodno da radimo preko Moavrove formule, možemo naći prvih nekoliko stepena za ova dva rešenja (znakom [inlmath]\pm[/inlmath] obuhvatamo oba rešenja u računu):
[dispmath]\left(\frac{-1\pm i\sqrt 3}{2}\right)^2=\frac{1\mp i2\sqrt 3-3}{4}=\frac{-2\mp i2\sqrt 3}{4}=\frac{-1\mp i\sqrt 3}{2}[/dispmath][dispmath]\left(\frac{-1\pm i\sqrt 3}{2}\right)^3=\frac{-1\mp i\sqrt 3}{2}\cdot\frac{-1\pm i\sqrt 3}{2}=\frac{\left(-1\right)^2-\left(i\sqrt 3\right)^2}{4}=\frac{1+3}{4}=1[/dispmath]
(Znak [inlmath]\mp[/inlmath] označava da se na tom mestu, kada se u polaznom izrazu umesto [inlmath]\pm[/inlmath] nalazi plus, dobija minus. I obratno.)

I onda koristimo pogodnost što je [inlmath]3.[/inlmath] stepen i jednog i drugog rešenja jednak jedinici, pa [inlmath]x^{2009}+x^{−2009}[/inlmath] lako izračunamo:
[dispmath]x^{2009}+x^{−2009}=x^{2007}x^2+x^{−2010}x=\left(x^3\right)^{669}x^2+\left(x^3\right)^{−670}x=[/dispmath][dispmath]=1^{669}x^2+1^{-670}x=x^2+x=\frac{-1\mp i\sqrt 3}{2}+\frac{-1\pm i\sqrt 3}{2}=\frac{-2}{2}=-1[/dispmath]
Znači, ipak mogu ta dva različita rešenja, kad se ubace u taj izraz, da daju isti rezultat, jer se tu neki delovi izraza međusobno ponište... ;)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Odrediti vrednost izraza

Postod _Mita » Sreda, 26. Jun 2013, 18:46

Koliko je ovo prostije, ja bih se okotio dok bih odradio preko Moavrove za oba slucaja :lol:
Oni meni nude uvek jedno resenje, ja cu da pretpostavim da su ista kao i ovde, pa necu da se mucim :D
Hvala :thumbup:
Korisnikov avatar
_Mita  OFFLINE
 
Postovi: 116
Lokacija: Kragujevac
Zahvalio se: 46 puta
Pohvaljen: 37 puta

Re: Odrediti vrednost izraza

Postod Daniel » Sreda, 26. Jun 2013, 23:36

A ja ti baš i pokazah način na koji „jednim udarcem ubijaš dve muve“ – iliti, jednim postupkom odradiš rezultat i za jedno i za drugo rešenje, upotrebom [inlmath]\pm[/inlmath] i [inlmath]\mp[/inlmath]... Znači, nikakvo dodatno „mučenje“... :)

Možeš ti raditi i za samo jedno rešenje, samo, nisam baš siguran da će ti takav postupak biti u potpunosti priznat... :eusa-whistle:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Odrediti vrednost izraza

Postod _Mita » Četvrtak, 27. Jun 2013, 10:53

Ne gleda se postupak, samo resenje. A oni u resenju uvek ponude jedan rezultat :D
Korisnikov avatar
_Mita  OFFLINE
 
Postovi: 116
Lokacija: Kragujevac
Zahvalio se: 46 puta
Pohvaljen: 37 puta


Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 35 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 21:47 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs