6. zadatak
Dat je zbir [inlmath]1+i+i^2+i^3+\cdots+i^n[/inlmath], gde je [inlmath]n>2018[/inlmath] i [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath]. Najmanja vrednost broja [inlmath]n[/inlmath] za koju je vrednost zbira jednaka [inlmath]i[/inlmath] iznosi:
Rešenje: [inlmath]\displaystyle\enclose{box}{2022}[/inlmath]
Rešenje: [inlmath]\displaystyle\enclose{box}{2022}[/inlmath]
Lako se da uočiti da je zbir
[dispmath]1+i+i^2+i^3+\cdots+i^n[/dispmath] u stvari zbir članova geometrijskog niza čiji je prvi član [inlmath]a_1=1[/inlmath], a količnik niza [inlmath]q=i[/inlmath]. U pitanju je zbir [inlmath]k[/inlmath] članova geometrijskog niza gde je (vidi se po poslednjem sabirku [inlmath]a_k=i^n[/inlmath]) [inlmath]k-1=n[/inlmath], odnosno [inlmath]k=n+1[/inlmath], te za zbir ovog niza [inlmath]S_k=i[/inlmath] imamo:
[dispmath]S_k=1+i+i^2+i^3+\cdots+i^n=a_1\cdot\frac{1-q^k}{1-q}[/dispmath][dispmath]i=\frac{1-i^{n+1}}{1-i}[/dispmath] Množenjem obe strane sa [inlmath]1-i[/inlmath] imamo:[dispmath]i\cancel{-i^2}=\cancel{1}-i^{n+1}[/dispmath][dispmath]i^{n+1}=-i[/dispmath] Kako znamo da je [inlmath]i^{4p+3}=-i[/inlmath], gde je [inlmath]p\in\mathbb{N}[/inlmath], odatle sledi da je:
[dispmath]n+1=4p+3\iff n=4p+2[/dispmath] Za [inlmath]n>2018[/inlmath] prvo [inlmath]n[/inlmath] za koje važe uslovi zadatka je [inlmath]n=4\cdot505+2=2022[/inlmath].