Stranica 1 od 1

Zbir kompleksnih brojeva – probni prijemni ETF 2018.

PostPoslato: Četvrtak, 21. Februar 2019, 22:32
od Jovan111
Probni prijemni ispit ETF - 16. jun 2018.
6. zadatak


Dat je zbir [inlmath]1+i+i^2+i^3+\cdots+i^n[/inlmath], gde je [inlmath]n>2018[/inlmath] i [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath]. Najmanja vrednost broja [inlmath]n[/inlmath] za koju je vrednost zbira jednaka [inlmath]i[/inlmath] iznosi:

Rešenje: [inlmath]\displaystyle\enclose{box}{2022}[/inlmath]


Lako se da uočiti da je zbir
[dispmath]1+i+i^2+i^3+\cdots+i^n[/dispmath] u stvari zbir članova geometrijskog niza čiji je prvi član [inlmath]a_1=1[/inlmath], a količnik niza [inlmath]q=i[/inlmath]. U pitanju je zbir [inlmath]k[/inlmath] članova geometrijskog niza gde je (vidi se po poslednjem sabirku [inlmath]a_k=i^n[/inlmath]) [inlmath]k-1=n[/inlmath], odnosno [inlmath]k=n+1[/inlmath], te za zbir ovog niza [inlmath]S_k=i[/inlmath] imamo:
[dispmath]S_k=1+i+i^2+i^3+\cdots+i^n=a_1\cdot\frac{1-q^k}{1-q}[/dispmath][dispmath]i=\frac{1-i^{n+1}}{1-i}[/dispmath] Množenjem obe strane sa [inlmath]1-i[/inlmath] imamo:[dispmath]i\cancel{-i^2}=\cancel{1}-i^{n+1}[/dispmath][dispmath]i^{n+1}=-i[/dispmath] Kako znamo da je [inlmath]i^{4p+3}=-i[/inlmath], gde je [inlmath]p\in\mathbb{N}[/inlmath], odatle sledi da je:
[dispmath]n+1=4p+3\iff n=4p+2[/dispmath] Za [inlmath]n>2018[/inlmath] prvo [inlmath]n[/inlmath] za koje važe uslovi zadatka je [inlmath]n=4\cdot505+2=2022[/inlmath].

Re: Zbir kompleksnih brojeva – probni prijemni ETF 2018.

PostPoslato: Petak, 22. Februar 2019, 00:52
od Daniel
Mogli smo i iskoristiti osobinu da je
[dispmath]i^n=\begin{cases}
1, & n=4k\\
i, & n=4k+1\\
-1, & n=4k+2\\
-i, & n=4k+3
\end{cases}[/dispmath] odakle sledi da je zbir svaka četiri uzastopna člana ovog niza jednak [inlmath]1+i+(-1)+(-i)[/inlmath], tj. jednak je nuli:
[dispmath]\underbrace{i^0+i^1+i^2+i^3}_0+\underbrace{i^4+i^5+i^6+i^7}_0+\cdots+\underbrace{i^{2016}+i^{2017}+i^{2018}+i^{2019}}_0[/dispmath] I nakon toga možemo to i „ručno“ odraditi: na dosadašnji zbir, koji iznosi [inlmath]0[/inlmath], dodamo naredni član ovog niza, [inlmath]i^{2020}[/inlmath] (koji iznosi [inlmath]1[/inlmath]), zbir će biti [inlmath]1[/inlmath]; dodamo [inlmath]i^{2021}[/inlmath] (koji iznosi [inlmath]i[/inlmath]), zbir će biti [inlmath]1+i[/inlmath]; dodamo [inlmath]i^{2022}[/inlmath] (koji iznosi [inlmath]-1[/inlmath]), zbir će biti [inlmath]1+i+(-1)[/inlmath], tj. [inlmath]i[/inlmath]. Prema tome, [inlmath]2022[/inlmath] je rešenje.