Stranica 1 od 1

Kompleksni izraz – drugi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Nedelja, 23. Jun 2019, 20:31
od kaca10
Drugi probni prijemni ispit FON – 20. jun 2019.
1. zadatak


Ako je [inlmath]i^2=−1[/inlmath], onda je [inlmath]\displaystyle\Biggl(\frac{\sqrt2}{2}\left(\frac{1+3i}{1+i}−1\right)\Biggr)^{2019}[/inlmath] jednak:
[inlmath]A)\;\sqrt2(1+i);\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;2(1−i);\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;\frac{−i}{2};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle\enclose{circle}{D)}\;\frac{\sqrt2}{2}(i−1);\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;\sqrt2i;\qquad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam.}[/inlmath]

Sredila sam ovo unutar zagrada i dobila:
[dispmath]\left(\frac{\sqrt2}{2}\cdot(i+1)\right)^{2019}[/dispmath] E sad ne znam šta dalje jer ne vidim nikakav šablon kada počnem da dižem stepen od [inlmath](i+1)[/inlmath]. Šta može dalje da se uradi sa ovim?

Re: Kompleksni izraz – drugi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Nedelja, 23. Jun 2019, 20:51
od miletrans
Zapiši ovaj broj u trigonometrijskom obliku, pa primeni pravilo za stepenovanje ovako zapisanog kompleksnog broja.

Generalno, kad god nam se u kompleksnom broju pojavi [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] ili [inlmath]\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], odmah treba da nam "miriše" na trigonometrijski oblik.

Re: Kompleksni izraz – drugi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Nedelja, 23. Jun 2019, 21:24
od kaca10
Hvala mnogo. :D

Re: Kompleksni izraz – drugi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Nedelja, 23. Jun 2019, 21:25
od Daniel
Može i preko trigonometrijskog oblika, ali i te kako se vidi šablon kada se diže stepen od [inlmath](1+i)[/inlmath]:
[inlmath](1+i)^2=2i\\
(1+i)^4=-2^2\\
(1+i)^8=2^4[/inlmath]
Odakle vidimo da je [inlmath](1+i)^{8k}=2^{4k}[/inlmath]. Preostalo je da se [inlmath]2019[/inlmath] napiše kao [inlmath]8\cdot252+3[/inlmath].
Tako da, trigonometrijski oblik nije neophodan, može i na standardni način.

Re: Kompleksni izraz – drugi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Ponedeljak, 22. Jun 2020, 09:24
od Pavle2020
Može li neko da pojasni šta se radi sa [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath], ovaj deo sa kompleksnim brojem razumem

Re: Kompleksni izraz – drugi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Ponedeljak, 22. Jun 2020, 09:32
od Frank
Koliki je modul kompleksnog broja [inlmath]1+i[/inlmath]?
BTW Pretvori dati kompleksan broj u trigonometrijski oblik, kao sto je rečeno u prethodnim postovima, dalje će ti se samo reći.

Re: Kompleksni izraz – drugi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Ponedeljak, 22. Jun 2020, 10:02
od Frank
[dispmath]\left(\frac{\sqrt2}{2}\cdot(i+1)\right)^{2019}=\left(\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\right)^{2019}=\left(1\cdot\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\right)^{2019}=\\
\cos\frac{2019\cdot\pi}{4}+i\sin\frac{2019\cdot\pi}{4}=\cos\left(\frac{2016\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{2016\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)=[/dispmath] Mislim da ti dalje neće biti problem. Primeniš adicione formule i to je to. Imaj u vidu periodičnost trigonometrijskih funkcija.

Re: Kompleksni izraz – drugi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Ponedeljak, 22. Jun 2020, 10:12
od Pavle2020
Razumeo sam, hvala puno :D

Re: Kompleksni izraz – drugi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Ponedeljak, 22. Jun 2020, 18:48
od Daniel
Frank je napisao:[dispmath]\cdots=\cos\left(\frac{2016\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{2016\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)=[/dispmath] Mislim da ti dalje neće biti problem. Primeniš adicione formule i to je to. Imaj u vidu periodičnost trigonometrijskih funkcija.

Čak i nema potrebe za adicionim, upravo zbog periodičnosti:
[dispmath]\cos\left(\frac{2016\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{2016\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)=\cos\left(504\pi+\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(504\pi+\frac{3\pi}{4}\right)=\\
=\cos\left(\frac{3\pi}{4}+252\cdot2\pi\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{4}+252\cdot2\pi\right)=\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\cdots[/dispmath]


Još jedan način je da broj [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}\cdot(i+1)[/inlmath] napišemo i u eksponencijalnom obliku, pri čemu vidimo da mu je moduo jednak [inlmath]1[/inlmath] (jer je moduo broja [inlmath]i+1[/inlmath] jednak [inlmath]\sqrt2[/inlmath], pa to pomoženo sa [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] daje [inlmath]1[/inlmath]) – to dosta pojednostavljuje stepenovanje. Argument je, naravno, [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath]:
[dispmath]\left(\frac{\sqrt2}{2}\cdot(i+1)\right)^{2019}=\left(e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^{2019}=\cdots[/dispmath] Ako celobrojne stepene broja [inlmath]z=\frac{\sqrt2}{2}\cdot(i+1)[/inlmath] predstavimo u kompleksnoj ravni,

kompleksni broj.png
kompleksni broj.png (3.09 KiB) Pogledano 1751 puta

videćemo da se svi oni nalaze na jediničnoj kružnici (jediničnoj jer im je svima moduo [inlmath]1[/inlmath]), a ugaono su razmaknuti za po [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath]. Na svaki porast eksponenta za [inlmath]8[/inlmath], opiše se pun krug, pa to predstavlja i period.
Samim tim je jasno da i traženi [inlmath]z^{2019}[/inlmath] mora imati neku od ovih osam vrednosti (a koju tačno od njih, određuje se prethodno prikazanim postupcima).

Re: Kompleksni izraz – drugi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Utorak, 23. Jun 2020, 13:58
od miljan1403
Evo još jednog načina:
[dispmath]\left(\frac{\sqrt2}{2}\left(i+1\right)\right)^{2019}=\left(\frac{2^\frac{1}{2}}{2}(i+1)\right)^{2019}=\left(\frac{i+1}{\sqrt2}\right)^{2019}=\\
=\left(\left(\frac{i+1}{\sqrt2}\right)^2\right)^{1009}\cdot\left(\frac{i+1}{\sqrt2}\right)=(i)^{1009}\cdot\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)=\frac{\sqrt2}{2}(i-1)[/dispmath]