Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Kompleksna jednačina

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]

Kompleksna jednačina

Postod League of Legends » Ponedeljak, 01. Jul 2013, 18:23

[dispmath]z^4+16=0[/dispmath]
 
Postovi: 19
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Kompleksna jednačina

Postod Daniel » Ponedeljak, 01. Jul 2013, 19:01

[dispmath]z^4=-16[/dispmath][dispmath]z=x+iy,\quad x,y\in\mathrm{R}[/dispmath][dispmath]\left(x+iy\right)^4=-16[/dispmath][dispmath]\left(x^2-y^2+i2xy\right)^2=-16[/dispmath][dispmath]\left(x^2-y^2\right)^2-4x^2y^2+i4xy\left(x^2-y^2\right)=-16[/dispmath]
Pošto je izraz na desnoj strani realan, mora biti realan i izraz na levoj strani, tj. imaginaran deo mu mora biti jednak nuli:
[dispmath]i4xy\left(x^2-y^2\right)=0[/dispmath][dispmath]x=0\quad\lor\quad y=0\quad\lor\quad x^2=y^2[/dispmath]
[inlmath]I\quad x=0:[/inlmath]
[dispmath]\left(iy\right)^4=-16[/dispmath][dispmath]y^4=-16[/dispmath]
Pošto [inlmath]y\in\mathrm{R}[/inlmath], ovaj slučaj nema rešenja.

[inlmath]II\quad y=0:[/inlmath]
[dispmath]x^4=-16[/dispmath]
Pošto [inlmath]x\in\mathrm{R}[/inlmath], ni ovaj slučaj nema rešenja.

[inlmath]III\quad x^2=y^2:[/inlmath]
[dispmath]\cancelto{0}{\left(x^2-y^2\right)^2}-4x^2y^2+\cancelto{0}{i4xy\left(x^2-y^2\right)}=-16[/dispmath][dispmath]-4x^2y^2=-16[/dispmath][dispmath]x^2y^2=4[/dispmath][dispmath]xy=\pm 2[/dispmath]
[inlmath]x^2=y^2\quad\Rightarrow\quad x=\pm y[/inlmath]

[inlmath]x=\pm y\;\land\;xy=\pm 2[/inlmath]
[inlmath]\Rightarrow\quad x=-\sqrt 2,\;y=-\sqrt 2\;\lor\;x=-\sqrt 2,\;y=\sqrt 2\;\lor\;x=\sqrt 2,\;y=-\sqrt 2\;\lor\;x=\sqrt 2,\;y=\sqrt 2[/inlmath]

Ukupan skup rešenja:
[dispmath]z\in\left\{-\sqrt 2-i\sqrt 2,\;-\sqrt 2+i\sqrt 2,\;\sqrt 2-i\sqrt 2,\;\sqrt 2+i\sqrt 2\right\}[/dispmath]


Drugi način: preko trigonometrijskog zapisa kompleksnog broja
[dispmath]z=\sqrt[4]{-16}[/dispmath][dispmath]z=\sqrt[4]{16\left[\cos\left(2k+1\right)\pi+i\sin \left(2k+1\right)\right]}=\sqrt[4]{16e^{i\left(2k+1\right)\pi}}=[/dispmath][dispmath]=\sqrt[4]{16}e^{i\frac{\left(2k+1\right)\pi}{4}}=2e^{i\left(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\right)}=2\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\right)\right][/dispmath][dispmath]k\in\mathrm{Z}[/dispmath][dispmath]k=4n:\quad z=2\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}+2n\pi\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}+2n\pi\right)\right]=2\left(\frac{\sqrt 2}{2}+i\frac{\sqrt 2}{2}\right)=\sqrt 2+i\sqrt 2[/dispmath][dispmath]k=4n+1:\quad z=2\left[\cos\left(\frac{3\pi}{4}+2n\pi\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{4}+2n\pi\right)\right]=2\left(\frac{-\sqrt 2}{2}+i\frac{\sqrt 2}{2}\right)=-\sqrt 2+i\sqrt 2[/dispmath][dispmath]k=4n+2:\quad z=2\left[\cos\left(\frac{5\pi}{4}+2n\pi\right)+i\sin\left(\frac{5\pi}{4}+2n\pi\right)\right]=2\left(\frac{-\sqrt 2}{2}-i\frac{\sqrt 2}{2}\right)=-\sqrt 2-i\sqrt 2[/dispmath][dispmath]k=4n+3:\quad z=2\left[\cos\left(\frac{7\pi}{4}+2n\pi\right)+i\sin\left(\frac{7\pi}{4}+2n\pi\right)\right]=2\left(\frac{\sqrt 2}{2}-i\frac{\sqrt 2}{2}\right)=\sqrt 2-i\sqrt 2[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 33 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 22:50 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs