NIsam jos imao prilike da radim jos ovakav zadatak, a danas mi je dosao na prijemnom (koji sam inace ocajno uradio, zbog banalnih gresaka ), pa me zanima kako i na koju foru se radi?

8. Kompleksan broj [inlmath]\frac{\cos\alpha+i\sin\alpha+1}{\cos\alpha+i\sin\alpha-1}\;\left(i=\sqrt{-1},\:\alpha\ne 2k\pi,\:k\in\mathbb{Z}\right)[/inlmath], jednak je:

[inlmath]\enclose{box}{\left(A\right)\;-i\cdot\mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2}}\quad[/inlmath] [inlmath]\left(B\right)\;-i\cdot\frac{2\sin\alpha}{1-\cos\alpha}\quad[/inlmath] [inlmath]\left(C\right)\;-i\cdot\frac{2\sin\alpha}{2-\cos\alpha}\quad[/inlmath] [inlmath]\left(D\right)\;-i\cdot\frac{\sin\alpha}{2\left(1-\cos\alpha\right)}\quad[/inlmath] [inlmath]\left(E\right)\;-i\cdot\mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}\quad[/inlmath] [inlmath]\left(N\right)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

Ja ne znam da l' je neko uradio ovaj zadatak
Evo ja kacim uskoro ceo prijemni

[dispmath]\frac{\cos\alpha+i\sin\alpha+1}{\cos\alpha+i\sin\alpha-1}=[/dispmath]
[inlmath]\left.\begin{array}{l}
\cos\alpha+1=2\cos^2\frac{\alpha}{2} \\
1-\cos\alpha=2\sin^2\frac{\alpha}{2} \\
\sin\alpha=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}
\end{array}\right\}[/inlmath]
[dispmath]=\frac{\cancel 2\cos^2\frac{\alpha}{2}+i\cancel 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{-\cancel 2\sin^2\frac{\alpha}{2}+i\cancel 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{\cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2}}{-\sin\frac{\alpha}{2}+i\cos\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{-i}{-i}=[/dispmath][dispmath]=-i\mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{\cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2}}{-i\left(-\sin\frac{\alpha}{2}+i\cos\frac{\alpha}{2}\right)}=-i\mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{\cancel{\cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2}}}{\cancel{\cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2}}}=-i\mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2}[/dispmath]
Priznajem da mi je dosta pomoglo to što u tačnom rešenju figuriše [inlmath]\frac{\alpha}{2}[/inlmath], to je vrlo korisna smernica da treba primeniti formule za dvostruki ugao i svesti izraze na funkcije od [inlmath]\frac{\alpha}{2}[/inlmath]...

Dosta tezak zadatak za malo bodova...

Ovaj zadatak sam rešila tako što sam za vrednost ugla uzela [inlmath]\alpha=60^\circ[/inlmath]. Nakon malo racionalisanja dobije se vrednost izraza [inlmath]-i\sqrt3[/inlmath], što je [inlmath]-i\text{ ctg }30^\circ[/inlmath].

Ja se, iskreno, ne usuđujem da ljudima preporučujem takve načine rešavanja. Iako, u ovom slučaju, uvrštavanje [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{3}[/inlmath] (iliti [inlmath]60^\circ[/inlmath]) zaista vodi, eliminacijom, do tačnog odgovora.
Međutim, šta da je jedan od ponuđenih odgovora bio, recimo, [inlmath]-i\cdot\frac{3\sin\alpha}{2-\cos\alpha}[/inlmath]? Tada nam uvrštavanje [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{3}[/inlmath] i ne bi puno pomoglo. OK, mogli bismo tada, uvrštavanjem npr. [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{6}[/inlmath] (i „moleći boga“ da toj vrednosti ne odgovara više od jednog ponuđenog odgovora), nešto i postići. Ali onda opet računanje, racionalisanje, uvrštavanje u svaki od ponuđenih odgovora... To, naravno, ostaje kao opcija ako nemate ideju kako krenuti sa sređivanjem zadatog izraza, ali je svakako efikasnije, ukoliko ste u mogućnosti, da dati izraz uprostite.