Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Uprostiti kompleksan izraz – prijemni ETF 2013.

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]

Uprostiti kompleksan izraz – prijemni ETF 2013.

Postod maxaa » Ponedeljak, 01. Jul 2013, 20:30

Prijemni ispit ETF – 1. jul 2013.
8. zadatak


NIsam jos imao prilike da radim jos ovakav zadatak, a danas mi je dosao na prijemnom (koji sam inace ocajno uradio, zbog banalnih gresaka :besan: ), pa me zanima kako i na koju foru se radi?

8. Kompleksan broj [inlmath]\displaystyle\frac{\cos\alpha+i\sin\alpha+1}{\cos\alpha+i\sin\alpha-1}[/inlmath] ([inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath], [inlmath]\alpha\ne 2k\pi[/inlmath], [inlmath]k\in\mathbb{Z}[/inlmath]), jednak je:

[inlmath]\displaystyle\enclose{box}{(A)\;-i\cdot\text{ctg }\frac{\alpha}{2}}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle(B)\;-i\cdot\frac{2\sin\alpha}{1-\cos\alpha}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle(C)\;-i\cdot\frac{2\sin\alpha}{2-\cos\alpha}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle(D)\;-i\cdot\frac{\sin\alpha}{2(1-\cos\alpha)}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle(E)\;-i\cdot\text{tg }\frac{\alpha}{2}\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\text{Ne znam}[/inlmath]
Obrazovanje, to je ono, što ostane, nakon što osoba zaboravi sve, što je naučila u školi.
Albert Einstein
Korisnikov avatar
maxaa  OFFLINE
 
Postovi: 176
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 98 puta
Pohvaljen: 20 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Uprostiti kompleksan izraz – prijemni ETF 2013.

Postod _Mita » Ponedeljak, 01. Jul 2013, 23:11

Ja ne znam da l' je neko uradio ovaj zadatak :picard-facepalm:
Evo ja kacim uskoro ceo prijemni
Korisnikov avatar
_Mita  OFFLINE
 
Postovi: 116
Lokacija: Kragujevac
Zahvalio se: 46 puta
Pohvaljen: 37 puta

Re: Uprostiti kompleksan izraz – prijemni ETF 2013.

Postod Daniel » Utorak, 02. Jul 2013, 01:11

[dispmath]\frac{\cos\alpha+i\sin\alpha+1}{\cos\alpha+i\sin\alpha-1}=[/dispmath] [inlmath]\left.\begin{array}{l}
\cos\alpha+1=2\cos^2\frac{\alpha}{2}\\
1-\cos\alpha=2\sin^2\frac{\alpha}{2}\\
\sin\alpha=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}
\end{array}\right\}[/inlmath]
[dispmath]=\frac{\cancel2\cos^2\frac{\alpha}{2}+i\cancel2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{-\cancel2\sin^2\frac{\alpha}{2}+i\cancel2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{\cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2}}{-\sin\frac{\alpha}{2}+i\cos\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{-i}{-i}=[/dispmath][dispmath]=-i\text{ ctg }\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{\cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2}}{-i\left(-\sin\frac{\alpha}{2}+i\cos\frac{\alpha}{2}\right)}=-i\text{ ctg }\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{\cancel{\cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2}}}{\cancel{\cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2}}}=-i\text{ ctg }\frac{\alpha}{2}[/dispmath] Priznajem da mi je dosta pomoglo to što u tačnom rešenju figuriše [inlmath]\frac{\alpha}{2}[/inlmath], to je vrlo korisna smernica da treba primeniti formule za dvostruki ugao i svesti izraze na funkcije od [inlmath]\frac{\alpha}{2}[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Uprostiti kompleksan izraz – prijemni ETF 2013.

Postod maxaa » Utorak, 02. Jul 2013, 06:45

Dosta tezak zadatak za malo bodova...
Obrazovanje, to je ono, što ostane, nakon što osoba zaboravi sve, što je naučila u školi.
Albert Einstein
Korisnikov avatar
maxaa  OFFLINE
 
Postovi: 176
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 98 puta
Pohvaljen: 20 puta

  • +1

Re: Uprostiti kompleksan izraz – prijemni ETF 2013.

Postod sen » Petak, 06. Jul 2018, 19:07

Ovaj zadatak sam rešila tako što sam za vrednost ugla uzela [inlmath]\alpha=60^\circ[/inlmath]. Nakon malo racionalisanja dobije se vrednost izraza [inlmath]-i\sqrt3[/inlmath], što je [inlmath]-i\text{ ctg }30^\circ[/inlmath].
Korisnikov avatar
sen  OFFLINE
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 6 puta

Re: Uprostiti kompleksan izraz – prijemni ETF 2013.

Postod Daniel » Petak, 06. Jul 2018, 21:47

Ja se, iskreno, ne usuđujem da ljudima preporučujem takve načine rešavanja. :) Iako, u ovom slučaju, uvrštavanje [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{3}[/inlmath] (iliti [inlmath]60^\circ[/inlmath]) zaista vodi, eliminacijom, do tačnog odgovora.
Međutim, šta da je jedan od ponuđenih odgovora bio, recimo, [inlmath]-i\cdot\frac{3\sin\alpha}{2-\cos\alpha}[/inlmath]? Tada nam uvrštavanje [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{3}[/inlmath] i ne bi puno pomoglo. OK, mogli bismo tada, uvrštavanjem npr. [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{6}[/inlmath] (i „moleći boga“ da toj vrednosti ne odgovara više od jednog ponuđenog odgovora), nešto i postići. Ali onda opet računanje, racionalisanje, uvrštavanje u svaki od ponuđenih odgovora... To, naravno, ostaje kao opcija ako nemate ideju kako krenuti sa sređivanjem zadatog izraza, ali je svakako efikasnije, ukoliko ste u mogućnosti, da dati izraz uprostite.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Uprostiti kompleksan izraz – prijemni ETF 2013.

Postod Frank » Četvrtak, 04. Jun 2020, 00:01

Prilozicu jos jedan nacin resavanja zadatka sa pocetka teme. Jeste da je tema dosta stara, ali ko zna... mozda nekom ovaj nacin bude od koristi.
[dispmath]\frac{\cos\alpha+i\sin\alpha+1}{\cos\alpha+i\sin\alpha-1}=\frac{\cos\alpha+i\sin\alpha+1}{\cos\alpha+i\sin\alpha-1}\cdot\frac{\cos\alpha-i\sin\alpha+1}{\cos\alpha-i\sin\alpha+1}=\\
=\frac{(\cos\alpha+i\sin\alpha+1)(\cos\alpha-i\sin\alpha+1)}{\cos^2\alpha-(i\sin\alpha-1)^2}=\\
=\frac{\cos^2\alpha-\cancel{i\sin\alpha\cos\alpha}+\cos\alpha+\cancel{i\sin\alpha\cos\alpha}+\sin^2\alpha+\cancel{i\sin\alpha}+\cos\alpha\cancel{-i\sin\alpha}+1}{\cancel{\cos^2\alpha}+\cancel{\sin^2\alpha}+2i\sin\alpha\cancel{-1}}=\\
=\frac{2+2\cos\alpha}{2i\sin\alpha}=\frac{\cancel2(1+\cos\alpha)}{\cancel2i\sin\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{i\sin\alpha}[/dispmath] Ostalo je jos da izraz [inlmath]\frac{1+\cos\alpha}{i\sin\alpha}[/inlmath] prevedemo u izraz u kojem figurise iskljucivo dvostrugi ugao
[dispmath]\frac{1+\cos\alpha}{i\sin\alpha}=\frac{1+\cos2\frac{\alpha}{2}}{i\sin2\frac{\alpha}{2}}=\frac{\cancel{\sin^2\frac{\alpha}{2}}+\cos^2\frac{\alpha}{2}+\cos^2\frac{\alpha}{2}\cancel{-\sin^2\frac{\alpha}{2}}}{i2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}=\\
=\frac{\cancel2\cos^\cancel2\frac{\alpha}{2}}{\cancel2i\sin\frac{\alpha}{2}\cancel{\cos\frac{\alpha}{2}}}=\frac{\text{ctg }\frac{\alpha}{2}}{i}=\frac{\text{ctg }\frac{\alpha}{2}}{i}\cdot\frac{i}{i}=\enclose{box}{-i\cdot\text{ctg }\frac{\alpha}{2}}[/dispmath] Manje-vise, ceo postupak se svodi na "racionalisanje" imenioca.
Frank   ONLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Re: Uprostiti kompleksan izraz – prijemni ETF 2013.

Postod Daniel » Četvrtak, 04. Jun 2020, 21:50

U izrazu [inlmath](\cos\alpha+i\sin\alpha+1)(\cos\alpha-i\sin\alpha+1)[/inlmath] u brojiocu, umesto množenja „svaki sa svakim“, mogla se primeniti formula [inlmath](a+b)(a-b)=a^2-b^2[/inlmath], ako uočimo da je [inlmath]a=\cos\alpha+1[/inlmath] i [inlmath]b=i\sin\alpha[/inlmath].
Ali, da, svakako da ovde treba ići na oslobađanje od kompleksne vrednosti u imeniocu (slično racionalizaciji s iracionalnim brojevima u imeniocu), tim pre što u svakom od ponuđenih odgovora imamo realnu vrednost u imeniocu, i s ove vremenske distance od sedam godina, sad mi nije jasno zašto i sam nisam odmah išao na tu varijantu. Bilo bi onda nekako najlogičnije brojilac i imenilac pomnožiti konjugovano-kompleksnom vrednošću imenioca, tj.
[dispmath]\frac{\cos\alpha+i\sin\alpha+1}{\cos\alpha+i\sin\alpha-1}\cdot\frac{\cos\alpha-i\sin\alpha-1}{\cos\alpha-i\sin\alpha-1}[/dispmath] čime bi se u imeniocu dobila realna vrednost (što nam i jeste međucilj) i koja iznosi [inlmath](\cos\alpha-1)^2+\sin^2\alpha[/inlmath], a u brojiocu bismo imali [inlmath][\cos\alpha+(i\sin\alpha+1)][\cos\alpha-(i\sin\alpha+1)][/inlmath], a to je [inlmath]\cos^2\alpha-(i\sin\alpha+1)^2[/inlmath]. Dalji postupak je vrlo sličan ovome što si ti pokazao.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 32 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 19:39 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs