Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Kompleksni brojevi

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]

Re: Kompleksni brojevi

Postod Daniel » Petak, 04. Januar 2013, 04:03

Ovo je, nekako, naše vreme, kad se mi obično srećemo na net-u.:) Najoptimalnije vreme za učenje. :D

blake je napisao:(i nije nešto previše da jedna tema ima 3-5 stranice, šta)

Vidim ja da je ovaj forum zreo za jedan Pravilnik, hehe... :twisted:
Al' nikako da se nakanim da sednem da ga napišem... te Nova godina, praznici, ovo-ono... Ali, biće, uskoro... :D

Elem, prvi zadatak...

blake je napisao:Ja sam prvo izjednačia [inlmath]|x+yi+1|=|x+yi+i|[/inlmath] i to vjerojatno krivo jer sam dobia da je [inlmath]x=y[/inlmath]

A što misliš da je krivo? U redu je, i treba da se dobije da je [inlmath]x=y[/inlmath].

blake je napisao:A onda sam izjednačia [inlmath]|x+i(y+1)|=1[/inlmath] i dobia da je [inlmath]x=-3[/inlmath]
Šta je opet krivo jer je onda [inlmath]|z|=\sqrt{18}[/inlmath] a točan rezultat je [inlmath]|z|=\sqrt 2[/inlmath]

E to već jeste krivo i ne znam kako si to dobio. Da nisi možda umesto [inlmath]\sqrt{x^2+\left(x+1\right)^2}=1[/inlmath] napisao [inlmath]\sqrt{x+\left(x+1\right)^2}=1[/inlmath], tj. izostavio jedan kvadrat kod [inlmath]x[/inlmath]?
Znači, idemo ovako:
[dispmath]\left|x+i\left(y+1\right)\right|=1[/dispmath][dispmath]\sqrt{x^2+\left(y+1\right)^2}=1[/dispmath]
Pošto je [inlmath]x=y[/inlmath],
[dispmath]\sqrt{x^2+\left(x+1\right)^2}=1[/dispmath]
Kvadriramo obe strane i razvijemo binom na kvadrat...
[dispmath]x^2+x^2+2x+1=1[/dispmath][dispmath]2x^2+2x=0[/dispmath][dispmath]2x\left(x+1\right)=0[/dispmath]
odakle sledi da je [inlmath]x=0[/inlmath] ili [inlmath]x=-1[/inlmath].
Međutim, ako bi bilo [inlmath]x=0[/inlmath], tada bi bilo i [inlmath]y=0[/inlmath], a to otpada, jer je, po uslovu zadatka, [inlmath]z\ne 0[/inlmath].
Prema tome, ostaje jedino rešenje [inlmath]x=-1[/inlmath], [inlmath]y=x=-1[/inlmath], tj. [inlmath]z=-1-i[/inlmath], pa je njegov modul [inlmath]\left|z\right|=\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt 2[/inlmath]

Ajd prostudiraj ovo (mislim, ako još uvek ne spavaš :P) a ja ću u međuvremenu, pre nego što krenem na 2. zadatak (koji možda ostavim i za sutra, tj. za danas, jer već je sutra, tj. danas :D) spremiti i geometrijsku interpretaciju ovog zadatka, koja mi se čini dosta zanimljivom, a i nekako će zaokružiti priču oko ovog zadatka.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Kompleksni brojevi

Postod Daniel » Petak, 04. Januar 2013, 04:28

Dakle, evo i te geometrijske interpretacije.

complex.png
complex.png (3.47 KiB) Pogledano 518 puta

U ovoj kompleksnoj ravni crna kružnica, poluprečnika [inlmath]1[/inlmath], predstavlja geometrijsko mesto komplesknih brojeva čiji je moduo [inlmath]1[/inlmath].
Logično, jer, koju god tačku na toj kružnici da odaberemo, njena udaljenost od koordinatnog početka (koja i predstavlja moduo kompleksnog broja) biće jednaka [inlmath]1[/inlmath].

E sad, crvena kružnica je u odnosu na crnu kružnicu pomerena za [inlmath]1[/inlmath] ulevo, duž realne ose. Ova kružnica predstavlja geometrijsko mesto takvih kompleksnih brojeva koji bi, kada bi se uvećali za [inlmath]1[/inlmath] (tj. pomerili nadesno po realnoj osi za [inlmath]1[/inlmath]), imali moduo [inlmath]1[/inlmath]. Drugim rečima, crvenoj kružnici pripadaju kompleksni brojevi [inlmath]z[/inlmath] koji zadovoljavaju uslov da je [inlmath]\left|z+1\right|=1[/inlmath].

Po sličnom rezonu, plava kružnica je u odnosu na crnu kružnicu pomerena za [inlmath]1[/inlmath] nadole, duž imaginarne ose. Ova kružnica predstavlja geometrijsko mesto takvih kompleksnih brojeva koji bi, kada bi se uvećali za [inlmath]i[/inlmath] (tj. pomerili nagore po imaginarnoj osi za [inlmath]1[/inlmath]), imali moduo [inlmath]1[/inlmath]. Drugim rečima, plavoj kružnici pripadaju kompleksni brojevi [inlmath]z[/inlmath] koji zadovoljavaju uslov da je [inlmath]\left|z+i\right|=1[/inlmath].

Prema tome, kompleksni brojevi [inlmath]z[/inlmath] koji imaju tu osobinu da istovremeno ispunjavaju oba uslova, tj. da je [inlmath]\left|z+1\right|=1[/inlmath] i da je [inlmath]\left|z+i\right|=1[/inlmath], a to su upravo brojevi koji se traže u ovom zadatku, odgovaraju tačkama preseka crvene i plave kružnice.
To će biti brojevi [inlmath]z=0[/inlmath] (koji, prema uslovu zadatka, otpada) i [inlmath]z=-1-i[/inlmath].

Eto, ovaj geometrijski pristup je zaista zaokružio priču oko ovog zadatka... i to upravo kružnicama. :mrgreen:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Kompleksni brojevi

Postod Daniel » Petak, 04. Januar 2013, 09:43

A za 2. zadatak kaže ovako...
[dispmath]z=\frac{-i^7\left(\sqrt 2-i\right)^5}{\left(1-i\sqrt 2\right)^8}[/dispmath]
Pošto se u ovom zadatku ne traži da se odredi sâm kompleksni broj, već se samo traži njegov moduo, možemo iskoristiti osobinu da je moduo proizvoda/količnika jednak proizvodu/količniku modula:
[dispmath]\left|z\right|=\left|\frac{-i^7\left(\sqrt 2-i\right)^5}{\left(1-i\sqrt 2\right)^8}\right|=\frac{\left|-i^7\right|\cdot\left|\left(\sqrt 2-i\right)^5\right|}{\left|\left(1-i\sqrt 2\right)^8\right|}=\frac{1\cdot\left|\sqrt 2-i\right|^5}{\left|1-i\sqrt 2\right|^8}=\cdots[/dispmath]
Nađi ovo dalje sâm, zaista nije teško. Dobićeš
[dispmath]\left|z\right|=\frac{\sqrt 3}{9}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Kompleksni brojevi

Postod blake » Petak, 04. Januar 2013, 17:30

Zanimljive kružnice :P
Stvarno nemam koncentraciju od početka 2013, moram nešto napravit u vezi toga inaće ću falit napisat svoje ime u kontrolnom uskoro :idea:

Nakon malo mozganja dobia sam [dispmath]\frac{\sqrt 3}{9}[/dispmath]... Zapravo je jedino bitno da primjenim odma formulu za modul i dalje je lagano... Jer sam ja iša računat i zapetlja se :P
blake  OFFLINE
 
Postovi: 371
Lokacija: Split, Croatia
Zahvalio se: 127 puta
Pohvaljen: 96 puta

Re: Kompleksni brojevi

Postod blake » Subota, 18. Maj 2013, 15:41

Pita koliko ima kompleksnih brojeva za koje vrijede obe jednakosti [inlmath]|z-i|=2,\;|z-4i|=1[/inlmath] ?
[inlmath]z=x+yi[/inlmath]

U prvoj jednadžbi [inlmath]|z-i|=\sqrt{x^2+(y-1)^2}=2[/inlmath]
Sad ako gledam [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], onda imam središte kružnice [inlmath]S(0,1)[/inlmath] čiji je radijus [inlmath]2[/inlmath]

U drugoj [inlmath]|z-4i|=\sqrt{x^2+(y-4)^2}=1[/inlmath]
I opet kad promatram [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] onda imam središte kružnice [inlmath]S(0,4)[/inlmath] čiji je radijus [inlmath]1[/inlmath]

Sad piše da je rješenje na postavljeno pitanje [inlmath]1[/inlmath], ali ja baš očio ne razumin šta se traži i zašto [inlmath]1[/inlmath] ?
Poslednji put menjao blake dana Subota, 18. Maj 2013, 20:07, izmenjena samo jedanput
blake  OFFLINE
 
Postovi: 371
Lokacija: Split, Croatia
Zahvalio se: 127 puta
Pohvaljen: 96 puta

  • +1

Re: Kompleksni brojevi

Postod Daniel » Subota, 18. Maj 2013, 18:30

blake je napisao:Pita koliko ima kompleksnih brojeva za koje vrijede obe jednakosti [inlmath]|z+i|=2,\;|z-4i|=1[/inlmath] ?
[inlmath]z=x+yi[/inlmath]

Pretpostavljam da ti je u prvoj jednakosti greška i da umesto plusa treba minus, tj. [inlmath]\left|z-i\right|=2[/inlmath]?

Da, odgovor je [inlmath]1[/inlmath], tj. postoji jedno i samo jedno rešenje koje zadovoljava obe jednačine. Možda će biti jasnije sa slike:

kruznice.png
kruznice.png (2.07 KiB) Pogledano 506 puta

To su upravo te kružnice koje si i ti dobio, a pošto se one dodiruju, znači da postoji tačno jedan kompleksni broj koji zadovoljava obe jednakosti, tj. koji u kompleksnoj ravni pripada obema kružnicama. Vidimo sa slike da je to broj s koordinatama [inlmath]\left(0,3\right)[/inlmath], tj. kompleksni broj [inlmath]3i[/inlmath].

Da se kružnice seku, to bi značilo da postoje dve tačke koje pripadaju obema kružnicama, tj. da postoje dva kompleksna broja koja zadovoljavaju obe jednakosti; da kružnice nemaju dodirnih tačaka, značilo bi da ne postoji takav kompleksni broj koji zadovoljava obe jednakosti.

Do tog rezultata smo mogli doći i analitički, pošto imamo dve jednačine s dve nepoznate:
[dispmath]x^2+\left(y-1\right)^2=4[/dispmath][dispmath]x^2+\left(y-4\right)^2=1[/dispmath]
Oduzimanjem jednačna dobijamo da je [inlmath]y=3[/inlmath], a odatle, uvrštavanjem te vrednosti u bilo koju od te dve jednačine, dobjamo i [inlmath]x=0[/inlmath].

Znači, jedno rešenje. ;)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Prethodna

Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 41 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 23:05 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs