Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Jos kompleksne analize xd

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]

Jos kompleksne analize xd

Postod vasto » Utorak, 08. Oktobar 2013, 10:10

1. a ) Izvedite izraz za umnozak kompleksnih brojeva [inlmath]Z_1[/inlmath] i [inlmath]Z_2[/inlmath] koji su dani u trigonometriskom obliku.
koristeci dobiveni izraz , matematickom indukcijom dokazite formulu za izracunavanje [inlmath]n[/inlmath]-te potencije [inlmath](n\in\mathbb{N})[/inlmath] kompleksnog broja danog u trigonometriskom obliku.

b ) Kompleksni broj [inlmath]W=-\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}[/inlmath] zapisite u trigonometriskom obliku, zatim u skupu [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath] rijesi jednacinu [inlmath]Z^4=W^8[/inlmath]

2. a) U skupu [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath] rijesi jednacinu [inlmath]Z^3+i =e^{\large-\ln2-i\frac{7\pi}{6}}[/inlmath]
b) Ordedi sve [inlmath]Z\;\arg\left(Z^6\right)=\arg\left(-Z^2\right)[/inlmath] i [inlmath]Re\:Z^3=2[/inlmath]
ko voli nek izvoli xd
vasto  OFFLINE
 
Postovi: 69
Zahvalio se: 25 puta
Pohvaljen: 5 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Jos kompleksne analize xd

Postod Daniel » Sreda, 09. Oktobar 2013, 12:06

[inlmath]1.[/inlmath] Za ovaj ću ti, pošto je vrlo jednostavan, dati samo instrukcije po kojima ćeš raditi:
[inlmath]\left.a\right)[/inlmath] Umnožak kompleksnih brojeva [inlmath]Z_1[/inlmath] i [inlmath]Z_2[/inlmath] – pomnoži [inlmath]r_1\left(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1\right)[/inlmath] i [inlmath]r_2\left(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2\right)[/inlmath], sredi taj izraz i pokaži, koristeći adicione formule za sinus i kosinus, da je on jednak [inlmath]r_1r_2\left[\cos\left(\varphi_1+\varphi_2\right)+i\sin\left(\varphi_1+\varphi_2\right)\right][/inlmath]. Ovo se radi vrlo jednostavno.
Matematička indukcija – takođe rutinski. Kao i u svim zadacima s indukcijom, prvo dokažeš istinitost za [inlmath]n=1[/inlmath], u ovom slučaju da je [inlmath]Z^1=r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)[/inlmath], zatim uvedeš indukcijsku pretpostavku da je [inlmath]Z^k=r\left(\cos k\varphi+i\sin k\varphi\right)[/inlmath] i u indukcijskom koraku dokažeš, pozivajući se na indukcijsku pretpostavku, da je i [inlmath]Z^{k+1}=r\left[\cos\left(k+1\right)\varphi+i\sin\left(k+1\right)\varphi\right][/inlmath].

[inlmath]\left.b\right)[/inlmath] Da bi broj [inlmath]W=-\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}[/inlmath] napisao u trigonometrijskom obliku, potrebno je da ga zapišeš u obliku sličnom ovom, ali u kojem će predznaci i ispred kosinusa i ispred sinusa biti plusevi. Da bi to postigao, posmatraj trigonometrijski krug i uoči za koji ugao će važiti da je kosinus tog ugla jednak [inlmath]-\cos\frac{5\pi}{12}[/inlmath] i sinus tog ugla jednak [inlmath]\sin\frac{5\pi}{12}[/inlmath]...
Jednačina [inlmath]Z^4=W^8[/inlmath] – Prvo [inlmath]W[/inlmath] zapisan u trigonometrijskom obliku (koji si prethodno odredio) digni na [inlmath]8.[/inlmath] stepen, pomoću iste one formule iz [inlmath]\left.a\right)[/inlmath] dela ovog zadatka, a zatim, pomoću formule [inlmath]\sqrt[4]Z=\sqrt[4]r\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{4}+\sin\frac{\varphi+2k\pi}{4}\right),\:k\in\mathbb{Z}[/inlmath] nađi i [inlmath]Z[/inlmath]. Na kraju to prebaci u oblik [inlmath]Z=x+iy[/inlmath].
Rešenje: [inlmath]\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}\right),\:k\in\mathbb{Z}[/inlmath]
tj. četiri rešenja:
[dispmath]\frac{\sqrt 3}{2}+i\frac{1}{2},\:k=4l,\:l\in\mathbb{Z}[/dispmath][dispmath]-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2},\:k=4l+1,\:l\in\mathbb{Z}[/dispmath][dispmath]-\frac{\sqrt 3}{2}-i\frac{1}{2},\:k=4l+2,\:l\in\mathbb{Z}[/dispmath][dispmath]\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2},\:k=4l+3,\:l\in\mathbb{Z}[/dispmath]


[inlmath]2.[/inlmath]
[inlmath]\left.a\right)[/inlmath]
[dispmath]Z^3+i=e^{-\ln2-i\frac{7\pi}{6}}[/dispmath][dispmath]Z^3+i=e^{-\ln2}\cdot e^{-i\frac{7\pi}{6}}[/dispmath][dispmath]Z^3+i=e^{\ln2^{-1}}\cdot\left[\cos\left(-\frac{7\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)\right][/dispmath][dispmath]Z^3+i=\frac{1}{2}\left(-\frac{\sqrt3}{2}+i\frac{1}{2}\right)[/dispmath][dispmath]Z^3=-\frac{\sqrt3}{4}+i\frac{1}{4}-i[/dispmath][dispmath]Z^3=-\frac{\sqrt3}{4}-i\frac{3}{4}[/dispmath][dispmath]Z^3=\frac{\sqrt3}{2}\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt3}{2}\right)[/dispmath][dispmath]\left.Z^3=\frac{\sqrt3}{2}\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)\quad\right/\sqrt[3]{\phantom0}[/dispmath][dispmath]Z=\sqrt[3]{\frac{\sqrt3}{2}}\left(\cos\frac{\frac{4\pi}{3}+2k\pi}{3}+i\sin\frac{\frac{4\pi}{3}+2k\pi}{3}\right),\quad k\in\mathbb{Z}[/dispmath][dispmath]Z=\frac{\sqrt[6]3}{\sqrt[3]2}\left[\cos\left(\frac{4\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{4\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}\right)\right],\quad k\in\mathbb{Z}[/dispmath][dispmath]\frac{\sqrt[6]3}{\sqrt[3]2}=\frac{\sqrt[6]3}{\sqrt[3]2}\cdot\frac{\sqrt[3]4}{\sqrt[3]4}=\frac{\sqrt[6]3\cdot\sqrt[6]{16}}{\sqrt[3]8}=\frac{\sqrt[6]{48}}{2}[/dispmath][dispmath]Z=\frac{\sqrt[6]{48}}{2}\left[\cos\left(\frac{4\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{4\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}\right)\right],\quad k\in\mathbb{Z}[/dispmath]
[inlmath]\left.b\right)[/inlmath]
[dispmath]\arg\left(Z^6\right)=\arg\left(-Z^2\right)[/dispmath][dispmath]\Re\left(Z^3\right)=2[/dispmath]
Iz prve jednačine:
[dispmath]6\varphi+2k_1\pi=2\varphi+\pi+2k_2\pi,\:k_1,k_2\in\mathbb{Z}[/dispmath][dispmath]\varphi=\frac{2k+1}{4}\pi,\:k\in\mathbb{Z}[/dispmath][dispmath]\varphi=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\:k\in\mathbb{Z}[/dispmath]
Iz druge jednačine:
[dispmath]Z^3=r^3\left(\cos3\varphi+i\sin3\varphi\right)\quad\Rightarrow\quad\Re\left(Z^3\right)=r^3\cos3\varphi=2[/dispmath][dispmath]r^3\underbrace{\cos\left(\frac{3\pi}{4}+\frac{3k\pi}{2}\right)}_{\pm\frac{\sqrt2}{2}}=2\quad\left(1\right)[/dispmath][dispmath]r^3=\pm2\sqrt2[/dispmath][dispmath]r=\pm\sqrt2[/dispmath]
Moduo može biti samo pozitivan, prema tome:
[dispmath]r=\sqrt2[/dispmath]
Ponovo posmatramo jednačinu [inlmath]\left(1\right)[/inlmath]:
[dispmath]r^3\cos\left(\frac{3\pi}{4}+\frac{3k\pi}{2}\right)=2[/dispmath]
Pošto je desna strana pozitivna, mora biti pozitivna i leva strana. A pošto je [inlmath]r^3[/inlmath] pozitivno, mora biti pozitivan i kosinus:
[dispmath]\cos\left(\frac{3\pi}{4}+\frac{3k\pi}{2}\right)>0[/dispmath]
[inlmath]k=4l,\:l\in\mathbb{Z}:\quad\cos\frac{3\pi}{4}<0[/inlmath] :wrong:

[inlmath]k=4l+1,\:l\in\mathbb{Z}:\quad\cos\left(\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi}{2}\right)=\cos\frac{9\pi}{4}>0[/inlmath] :correct:

[inlmath]k=4l+2,\:l\in\mathbb{Z}:\quad\cos\left(\frac{3\pi}{4}+3\pi\right)=\cos\frac{15\pi}{4}>0[/inlmath] :correct:

[inlmath]k=4l+3,\:l\in\mathbb{Z}:\quad\cos\left(\frac{3\pi}{4}+\frac{9\pi}{2}\right)=\cos\frac{21\pi}{4}<0[/inlmath] :wrong:
[dispmath]\Rightarrow\quad\varphi=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}=\left\{\begin{array}{l}
\frac{\pi}{4}+\frac{4l+1}{2}\pi\\
\frac{\pi}{4}+\frac{4l+2}{2}\pi
\end{array}\right.\quad,\quad\:l\in\mathbb{Z}[/dispmath][dispmath]\varphi=\left\{\begin{array}{l}
\frac{3\pi}{4}+2k\pi\\
\frac{5\pi}{4}+2k\pi
\end{array}\right.\quad,\quad\:k\in\mathbb{Z}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad Z=\left\{\begin{array}{l}
\sqrt2\left[\cos\left(\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\right]\\
\sqrt2\left[\cos\left(\frac{5\pi}{4}+2k\pi\right)+i\sin\left(\frac{5\pi}{4}+2k\pi\right)\right]
\end{array}\right.\quad,\quad\:k\in\mathbb{Z}[/dispmath][dispmath]Z=\left\{\begin{array}{l}
\sqrt2\left(-\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\right)\\
\sqrt2\left(-\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}\right)
\end{array}\right.[/dispmath][dispmath]Z=\left\{\begin{array}{l}
-1+i\\
-1-i
\end{array}\right.\quad,\quad\:k\in\mathbb{Z}[/dispmath][dispmath]Z=-1\pm i[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Jos kompleksne analize xd

Postod vasto » Nedelja, 17. Novembar 2013, 12:19

jel moze neko objasnit gdje pogrijesim u prvom dijelu ? , znam da smo ga jednom radili ali opet , [inlmath]\arg Z^6=\arg\left(-Z^2\right)[/inlmath], ja ovako krenem
[dispmath]\arg Z^6=-\arg Z^2[/dispmath][dispmath]6\arg Z=-2\arg Z+2k\pi[/dispmath][dispmath]6\arg Z+2\arg Z=2k\pi[/dispmath][dispmath]\arg Z=\frac{2k\pi}{8}=\frac{k\pi}{4}[/dispmath]
u cemu napravim pogresku ?
Poslednji put menjao Daniel dana Nedelja, 17. Novembar 2013, 15:01, izmenjena samo jedanput
Razlog: Prebacivanje formula u Latex
vasto  OFFLINE
 
Postovi: 69
Zahvalio se: 25 puta
Pohvaljen: 5 puta

  • +1

Re: Jos kompleksne analize xd

Postod ubavic » Nedelja, 17. Novembar 2013, 12:37

Važi li ova jednakost: ?
[dispmath]\arg(-z)=-\arg(z)[/dispmath]
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 623
Zahvalio se: 385 puta
Pohvaljen: 641 puta

Re: Jos kompleksne analize xd

Postod vasto » Nedelja, 17. Novembar 2013, 13:50

ne vazi ,, u tome i jeste stvar ,, ja sam mislio da vazi
vasto  OFFLINE
 
Postovi: 69
Zahvalio se: 25 puta
Pohvaljen: 5 puta


Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 32 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 01:48 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs