Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Skiciranje skupa točaka u kompleksnoj ravnini

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]

Skiciranje skupa točaka u kompleksnoj ravnini

Postod eseper » Subota, 05. Januar 2013, 19:39

Zadatak glasi:

U kompleksnoj ravnini skicirajte skup svih točaka [inlmath]z\in\mathbb{C}[/inlmath]:
[dispmath]\left|\frac{z}{z+2}\right|<2,\quad Re\left(\frac{z+1}{z}\right)\ge 1[/dispmath]
Savladavam Latex :)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Skiciranje skupa točaka u kompleksnoj ravnini

Postod Daniel » Subota, 05. Januar 2013, 21:37

eseper je napisao:Savladavam Latex :)

Vidim. :) Odlično ti ide, svaka čast. :)

[dispmath]\left|\frac{z}{z+2}\right|<2[/dispmath]
[dispmath]\frac{\left|z\right|}{\left|z+2\right|}<2[/dispmath]
[dispmath]\frac{\left|x+iy\right|}{\left|x+2+iy\right|}<2[/dispmath]
[dispmath]\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{\left(x+2\right)^2+y^2}}<2[/dispmath]
Pošto su i leva i desna strana pozitivne, možemo ih kvadrirati, ne menjajući znak nejednakosti:
[dispmath]\frac{x^2+y^2}{\left(x+2\right)^2+y^2}<4[/dispmath]
[dispmath]x^2+y^2<4\left[\left(x+2\right)^2+y^2\right][/dispmath]
[dispmath]x^2+y^2<4\left(x^2+4x+4+y^2\right)[/dispmath]
[dispmath]x^2+y^2<4x^2+16x+16+4y^2[/dispmath]
[dispmath]3x^2+16x+16+3y^2>0[/dispmath]
[dispmath]x^2+\frac{16}{3}x+\frac{16}{3}+y^2>0[/dispmath]
Ovo je očigledno jednačina kružnice, samo je treba svesti na pogodniji oblik:
[dispmath]x^2+2\frac{8}{3}x+\frac{8^2}{3^2}-\frac{8^2}{3^2}+\frac{16}{3}+y^2>0[/dispmath]
[dispmath]\left(x+\frac{8}{3}\right)^2+y^2>\frac{8^2}{3^2}-\frac{16}{3}[/dispmath]
[dispmath]\left(x+\frac{8}{3}\right)^2+y^2>\frac{16}{9}[/dispmath]
[dispmath]\left(x+\frac{8}{3}\right)^2+y^2>\left(\frac{4}{3}\right)^2[/dispmath]
Ovo bi predstavljalo sve kružnice čije je središte u tački [inlmath]x=-\frac{8}{3}[/inlmath], [inlmath]y=0[/inlmath], s poluprečnikom većim od [inlmath]\frac{4}{3}[/inlmath].
U kompleksnoj ravni to bi bio skup svih brojeva [inlmath]z=x+iy[/inlmath] takvih da je [inlmath]\left|z+\frac{8}{3}\right|>\frac{4}{3}[/inlmath].
Na skici je geometrijsko mesto takvih brojeva obojeno plavom bojom:

complex.png
complex.png (871 Bajta) Pogledano 832 puta



[dispmath]\Re\left(\frac{z+1}{z}\right)\ge 1[/dispmath]
[dispmath]\Re\left(\frac{x+1+iy}{x+iy}\right)\ge 1[/dispmath]
Moramo postaviti uslov da ne sme biti istovremeno [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]y=0[/inlmath], tj. ne sme biti [inlmath]z=0[/inlmath].
[dispmath]\Re\left(\frac{x+1+iy}{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy}\right)\ge 1[/dispmath]
[dispmath]\Re\left(\frac{x^2+x+y^2+i\left[xy-\left(x+1\right)y\right]}{x^2+y^2}\right)\ge 1[/dispmath]
[dispmath]\frac{x^2+x+y^2}{x^2+y^2}\ge 1[/dispmath]
Pošto je [inlmath]x^2+y^2\ge 0[/inlmath], znak nejedankosti se neće promeniti ako obe strane pomnožimo tom vrednošću:
[dispmath]x^2+x+y^2\ge x^2+y^2[/dispmath]
[dispmath]x\ge 0[/dispmath]
U kompleksnoj ravni to bi bio skup svih brojeva koji se nalaze na y-osi ili desno od y-ose, isključujući koordinatni početak (jer, prema ranijem uslovu, ne sme biti [inlmath]z=0[/inlmath]).


Ako se traži da budu istovremeno zadovoljeni uslovi [inlmath]\left|\frac{z}{z+2}\right|<2[/inlmath] i [inlmath]\Re\left(\frac{z+1}{z}\right)\ge 1[/inlmath], tj. ako se traži njihov presek, taj presek će biti ovo drugo, tj. skup svih brojeva koji se nalaze na y-osi ili desno od y-ose, isključujući koordinatni početak.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Skiciranje skupa točaka u kompleksnoj ravnini

Postod eseper » Ponedeljak, 07. Januar 2013, 12:15

Da, traži se presjek u tom zadatku.

Evo sljedećeg:
[dispmath]|z-4i|=|z-4|[/dispmath] [dispmath]i[/dispmath] [dispmath]|z|=5[/dispmath]
[dispmath]***[/dispmath]
[dispmath]|x+yi-4i|=|x+yi-4|[/dispmath]
[dispmath]|x+i(y-4)|=|(x-4)+yi|[/dispmath]
[dispmath]\sqrt{x^2+(y-4)^2}=\sqrt{(x-4)^2+y^2}[/dispmath]
Kada se to sredi, dobije se
[dispmath]-8y=-8x[/dispmath]
odnosno
[dispmath]y=x[/dispmath]
Sada sam sredio desnu stranu,
[dispmath]|z|=5[/dispmath]
[dispmath]|x+yi|=5[/dispmath]
[dispmath]\sqrt{x^2+y^2}=5 /^2[/dispmath]
[dispmath]x^2+y^2=25[/dispmath]
Sada sam onaj [inlmath]x[/inlmath] koji sam dobio u prvoj jednadžbi uvrstio ovdje u rezultat druge, i to je ispalo:
[dispmath]x^2+y^2=25[/dispmath]
[dispmath]x^2+x^2=25[/dispmath]
[dispmath]2x^2=25[/dispmath]
[dispmath]x^2=\frac{25}{2}[/dispmath]
[dispmath]x=\pm\frac{5\sqrt{2}}{2}[/dispmath]
Nakon toga je skica. Da ne crtam (a mogu i to ukoliko moje objašnjenje protumačiš kao krivo :) ) napisat ću kako izgleda:

Dobili smo kružnicu, [inlmath]y=0[/inlmath] i [inlmath]x=0[/inlmath], a [inlmath]r=5[/inlmath]. Ako je
[dispmath]x=\pm\frac{5\sqrt{2}}{2}[/dispmath]
to znači da je isti toliki i [inlmath]y[/inlmath] jer imamo da je [inlmath]y=x[/inlmath]. To je pravac koji prolazi ishodištem, i siječe kružnicu u gore navedenim točkama.

Valjda je dobro?
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Skiciranje skupa točaka u kompleksnoj ravnini

Postod Daniel » Ponedeljak, 07. Januar 2013, 13:34

Ne da je dobro, nego je savršeno. :)
Iako uvek volim ponešto da dopunim, ovaj put nemam šta ni da dodam ni da oduzmem – sve si već rekao. ;)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Skiciranje skupa točaka u kompleksnoj ravnini

Postod eseper » Ponedeljak, 07. Januar 2013, 16:15

Hehe :)

Evo dalje, zadatak iz zbirke:
Računica mi je jasna, pa i slika. Jedino me zanima zašto je osjenčen lijevi dio od pravca, a ne npr. desni?
[dispmath]\left|\frac{z-2}{z+1-i}\right|\ge 1\quad Re\left(\frac{1}{\overline z}\right)\le\frac{1}{2}[/dispmath]
Rješavanjem prvog dijela ispada
[dispmath]y\ge 3x-1.[/dispmath]
drugog
[dispmath]Re\left(\frac{1}{\overline z}\right)=\frac{x}{x^2+y^2}.[/dispmath]
[dispmath]\left(x-1\right)^2+y^2\ge 1.[/dispmath]
i graf je

Slika
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Skiciranje skupa točaka u kompleksnoj ravnini

Postod Daniel » Ponedeljak, 07. Januar 2013, 20:24

Posmatraj to kao da je osenčen ne deo levo od pravca, već deo iznad pravca. To je zbog toga što imamo nejednakost [inlmath]y\ge 3x-1[/inlmath].
Naime, da je u pitanju jedankost [inlmath]y=3x-1[/inlmath], tada bi to predstavljalo samo skup onih tačaka koje su na tom pravcu.
Međutim, pošto je ovde [inlmath]y[/inlmath]-koordinata tih tačaka veća ili jednaka od [inlmath]3x-1[/inlmath], to će njihovo geometrijsko mesto, osim na pravcu [inlmath]3x-1[/inlmath], biti i na onom delu grafika gde im je [inlmath]y[/inlmath]-koordinata veća nego na pravcu [inlmath]3x-1[/inlmath], za zadato [inlmath]x[/inlmath]. A to upravo predstavlja deo iznad pravca.

Pošto je, u ovom slučaju, linearna funkcija rastuća, ono što je iznad tog pravca biće, ujedno, i levo od tog pravca.
Da je linearna funkcija opadajuća (tipa [inlmath]y=-x-1[/inlmath]), deo iznad pravca bi bio, ujedno, i deo desno od tog pravca.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Skiciranje skupa točaka u kompleksnoj ravnini

Postod eseper » Sreda, 09. Januar 2013, 10:39

Hvala na objašnjenju! :)

Da se vratim još na prvi zadatak u ovoj temi. Pošto se traži presjek, rješenje će biti ovo (?):
Prikačeni fajlovi
complex.png
complex.png (2.95 KiB) Pogledano 809 puta
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Skiciranje skupa točaka u kompleksnoj ravnini

Postod Daniel » Sreda, 09. Januar 2013, 10:51

Da, to što si obeležio crveno. Upravo to sam i napisao:
Daniel je napisao:Ako se traži da budu istovremeno zadovoljeni uslovi [inlmath]\left|\frac{z}{z+2}\right|<2[/inlmath] i [inlmath]\Re\left(\frac{z+1}{z}\right)\ge 1[/inlmath], tj. ako se traži njihov presek, taj presek će biti ovo drugo, tj. skup svih brojeva koji se nalaze na y-osi ili desno od y-ose, isključujući koordinatni početak.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Skiciranje skupa točaka u kompleksnoj ravnini

Postod eseper » Sreda, 09. Januar 2013, 15:52

Sljedeća dva, s tim ako mi ikako možeš objasniti kroz zadatak što znači ovaj logaritam i trigonometrijski izraz u ovakvim zadacima i kako ih se riješiti.

1.
[dispmath]2\log^2_{0.5}|z-i|+\log_{0.5}|z-i|-1<0[/dispmath] i
[dispmath]\mathrm{tg}\:\phi-3\mathrm{ctg}\:\phi\ge 0[/dispmath] gdje je [inlmath]\phi[/inlmath] argument [inlmath]z[/inlmath].

2.
[dispmath]|z-2i|>|z+4|[/dispmath] i
[dispmath]\cos^2\frac{8}{\pi}|z|-\sin^2\frac{8}{\pi}|z|\ge\frac{\sqrt{2}}{2},\;|z|<15[/dispmath]
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Skiciranje skupa točaka u kompleksnoj ravnini

Postod Daniel » Sreda, 09. Januar 2013, 21:13

eseper je napisao:1.
[dispmath]2\log^2_{0.5}|z-i|+\log_{0.5}|z-i|-1<0[/dispmath] i
[dispmath]\mathrm{tg}\:\phi-3\mathrm{ctg}\:\phi\ge 0[/dispmath] gdje je [inlmath]\phi[/inlmath] argument [inlmath]z[/inlmath].

Uvedeš smenu [inlmath]t=\log_{0,5}\left|z-i\right|[/inlmath] pa dobiješ kvadratnu nejednačinu po [inlmath]t[/inlmath] čije je rešenje [inlmath]-1<t<\frac{1}{2}[/inlmath].
Zatim odrediš rešenja po [inlmath]\left|z-i\right|[/inlmath], vodeći računa o tome da je logaritam opadajuća funkcija kada mu je osnova između nule i jedinice.
Dobije se [inlmath]\frac{\sqrt 2}{2}<\left|z-i\right|<2[/inlmath].
Dalje znaš...
Dobićeš da je geometrijsko mesto tačaka koje ispunjavaju te nejednakosti izvan jedne kružnice poluprečnika [inlmath]\frac{\sqrt 2}{2}[/inlmath], a unutar druge kružnice poluprečnika [inlmath]2[/inlmath], uz to da su te dve kružnice koncentrične s centrom u [inlmath]z=i[/inlmath]. Znači, geometrijsko mesto će imati izgled prstena.

Što se tiče [inlmath]\mathrm{tg}\:\phi-3\mathrm{ctg}\:\phi\ge 0[/inlmath], kotangens napišeš kao recipročnu vrednost tangensa, pa zatim, pre nego što obe strane pomnožiš tangensom, diskutuješ dva slučaja, kada je tangens veći i kada je manji od nule. Kada je veći od nule, [inlmath]\phi[/inlmath] će pripadati 1. i 3. kvadrantu i znak nejednakosti se neće menjati pri množenju, a kada je manji od nule, [inlmath]\phi[/inlmath] će pripadati 2. i 4. kvadrantu i znak nejednakosti će se menjati pri množenju. Nađeš presek rešenja svakog od ta dva slučaja s uslovima tog slučaja, a na kraju uniju svega toga – klasičan postupak kod takvih nejednačina.
Dobije se [inlmath]\phi\in\left[\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)\cup\left[\frac{2\pi}{3}+k\pi,\pi+k\pi\right)[/inlmath]

I na kraju u kompleksnoj ravni skiciraš presek rešenja za moduo i rešenja za argument – i to je to...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Sledeća

Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 41 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 08:12 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs