eseper je napisao:Savladavam Latex
Vidim.
Odlično ti ide, svaka čast.
[dispmath]\left|\frac{z}{z+2}\right|<2[/dispmath]
[dispmath]\frac{\left|z\right|}{\left|z+2\right|}<2[/dispmath]
[dispmath]\frac{\left|x+iy\right|}{\left|x+2+iy\right|}<2[/dispmath]
[dispmath]\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{\left(x+2\right)^2+y^2}}<2[/dispmath]
Pošto su i leva i desna strana pozitivne, možemo ih kvadrirati, ne menjajući znak nejednakosti:
[dispmath]\frac{x^2+y^2}{\left(x+2\right)^2+y^2}<4[/dispmath]
[dispmath]x^2+y^2<4\left[\left(x+2\right)^2+y^2\right][/dispmath]
[dispmath]x^2+y^2<4\left(x^2+4x+4+y^2\right)[/dispmath]
[dispmath]x^2+y^2<4x^2+16x+16+4y^2[/dispmath]
[dispmath]3x^2+16x+16+3y^2>0[/dispmath]
[dispmath]x^2+\frac{16}{3}x+\frac{16}{3}+y^2>0[/dispmath]
Ovo je očigledno jednačina kružnice, samo je treba svesti na pogodniji oblik:
[dispmath]x^2+2\frac{8}{3}x+\frac{8^2}{3^2}-\frac{8^2}{3^2}+\frac{16}{3}+y^2>0[/dispmath]
[dispmath]\left(x+\frac{8}{3}\right)^2+y^2>\frac{8^2}{3^2}-\frac{16}{3}[/dispmath]
[dispmath]\left(x+\frac{8}{3}\right)^2+y^2>\frac{16}{9}[/dispmath]
[dispmath]\left(x+\frac{8}{3}\right)^2+y^2>\left(\frac{4}{3}\right)^2[/dispmath]
Ovo bi predstavljalo sve kružnice čije je središte u tački [inlmath]x=-\frac{8}{3}[/inlmath], [inlmath]y=0[/inlmath], s poluprečnikom većim od [inlmath]\frac{4}{3}[/inlmath].
U kompleksnoj ravni to bi bio skup svih brojeva [inlmath]z=x+iy[/inlmath] takvih da je [inlmath]\left|z+\frac{8}{3}\right|>\frac{4}{3}[/inlmath].
Na skici je geometrijsko mesto takvih brojeva obojeno plavom bojom:
- complex.png (871 Bajta) Pogledano 832 puta
[dispmath]\Re\left(\frac{z+1}{z}\right)\ge 1[/dispmath]
[dispmath]\Re\left(\frac{x+1+iy}{x+iy}\right)\ge 1[/dispmath]
Moramo postaviti uslov da ne sme biti istovremeno [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]y=0[/inlmath], tj. ne sme biti [inlmath]z=0[/inlmath].
[dispmath]\Re\left(\frac{x+1+iy}{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy}\right)\ge 1[/dispmath]
[dispmath]\Re\left(\frac{x^2+x+y^2+i\left[xy-\left(x+1\right)y\right]}{x^2+y^2}\right)\ge 1[/dispmath]
[dispmath]\frac{x^2+x+y^2}{x^2+y^2}\ge 1[/dispmath]
Pošto je [inlmath]x^2+y^2\ge 0[/inlmath], znak nejedankosti se neće promeniti ako obe strane pomnožimo tom vrednošću:
[dispmath]x^2+x+y^2\ge x^2+y^2[/dispmath]
[dispmath]x\ge 0[/dispmath]
U kompleksnoj ravni to bi bio skup svih brojeva koji se nalaze na y-osi ili desno od y-ose, isključujući koordinatni početak (jer, prema ranijem uslovu, ne sme biti [inlmath]z=0[/inlmath]).
Ako se traži da budu istovremeno zadovoljeni uslovi [inlmath]\left|\frac{z}{z+2}\right|<2[/inlmath] i [inlmath]\Re\left(\frac{z+1}{z}\right)\ge 1[/inlmath], tj. ako se traži njihov presek, taj presek će biti ovo drugo, tj. skup svih brojeva koji se nalaze na y-osi ili desno od y-ose, isključujući koordinatni početak.