Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]
  • +1

Re: Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Postod Daniel » Subota, 07. Novembar 2015, 15:28

avdon1 je napisao:Nikako da mi formula fino ispadne, ali eto... :? ovo je na 19.

Kao što je i naglašeno u Latex-uputstvu (poglavlje o eksponentima, na samom početku), sve što je u eksponentu potrebno je da grupišeš unutar vitičastih zagrada. Znači, [inlmath]19[/inlmath] u eksponentu pišeš kao ^{19}.

Da li izraz, pravilno zapisan, glasi ovako?
[dispmath]\frac{\Bigl(\text{cis}\left(\frac{\pi}{5}\right)\Bigr)^{19}}{\Bigl(\text{cis}\left(\frac{\pi}{6}\right)\Bigr)^3}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Postod bobanex » Subota, 07. Novembar 2015, 17:06

[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x+y\right)^5=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5\\
\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)^5=\left(\cos\varphi\right)^5+5\left(\cos\varphi\right)^4i\sin\varphi+10\left(\cos\varphi\right)^3\left(i\sin\varphi\right)^2+10\left(\cos\varphi\right)^2\left(i\sin\varphi\right)^3+5\cos \varphi\left(i\sin\varphi\right)^4+\left(i\sin\varphi\right)^5\\
\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)^5=\cos^5\varphi+5\cos^4\varphi i\sin\varphi+10\cos^3\varphi\left(-\sin^2\varphi\right)+10\cos^2\varphi\left(-i\sin^3\varphi\right)+5\cos\varphi\sin^4\varphi+i\sin^5\varphi\\
\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)^5=\cos^5\varphi+i5\cos^4\varphi\sin\varphi-10\cos^3\varphi\sin^2\varphi-i10\cos^2\varphi\sin^3\varphi+ 5\cos\varphi\sin^4\varphi+i\sin^5\varphi\\
\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)^5=\cos^5\varphi-10\cos^3\varphi\sin^2\varphi+5\cos\varphi\sin^4\varphi+i\left(5\cos^4\varphi\sin\varphi-10\cos^2\varphi\sin^3\varphi+\sin^5\varphi\right)\\
\varphi=\frac{\pi}{5}\\
\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)^5=\cos\pi+i\sin\pi=-1\\
\cos^5\varphi-10\cos^3\varphi\sin^2\varphi+5\cos\varphi\sin^4\varphi=-1\\
5\cos^4\varphi\sin\varphi-10\cos^2\varphi\sin^3\varphi+\sin^5\varphi=0\\
\sin\varphi\left(5\cos^4\varphi-10\cos^2\varphi\sin^2\varphi+\sin^4\varphi\right)=0\\
5\cos^4\varphi-10\cos^2\varphi\sin^2\varphi+\sin^4\varphi=0\quad\left/\cdot\frac{1}{\cos^4\varphi}\right.\\
5-10\frac{\sin^2\varphi}{\cos^2\varphi}+\frac{\sin^4\varphi}{\cos^4\varphi}=0\\
t=\frac{\sin^2\varphi}{\cos^2\varphi}\\
t^2-10t+5=0\\
t=\frac{10\pm\sqrt{10^2-4\cdot5}}{2}\\
t=\frac{10\pm\sqrt{100-20}}{2}\\
t=\frac{10\pm\sqrt{80}}{2}\\
t=\frac{10\pm\sqrt{16\cdot5}}{2}\\
t=\frac{10\pm4\sqrt5}{2}=5\pm2\sqrt5\\
t=5-2\sqrt5\\
\frac{\sin^2\varphi}{\cos^2\varphi}=5-2\sqrt5\\
\sin^2\varphi=\left(5-2\sqrt5\right)\cos^2\varphi\\
\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1\\
\left(5-2\sqrt5\right)\cos^2\varphi+\cos^2\varphi=1\\
\left(6-2\sqrt5\right)\cos^2\varphi=1\\
\cos^2\varphi=\frac{1}{6-2\sqrt5}\\
\cos^2\varphi=\frac{1}{5-2\sqrt5+1}\\
\cos^2\varphi=\frac{1}{\left(\sqrt5-1\right)^2}\\
\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt5-1}\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5+1}\\
\cos\varphi=\frac{\sqrt5+1}{4}\\
\vdots
\end{array}[/dispmath]
bobanex  OFFLINE
BANOVAN
 
Postovi: 523
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 505 puta

Re: Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Postod bobanex » Subota, 07. Novembar 2015, 17:18

[dispmath]\begin{array}{l}
\sin^2\varphi=\frac{5-2\sqrt5}{6-2\sqrt5}\frac{6+2\sqrt5}{6+2\sqrt5}\\
\sin^2\varphi=\frac{30+10\sqrt5-12\sqrt5-20}{16}\\
\sin^2\varphi=\frac{10-2\sqrt5}{16}\\
\sin^2\varphi=\frac{10-2\sqrt5}{16}\\
\sin^2\varphi=\frac{10-2\sqrt5}{16}\\
\sin\varphi=\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4}
\end{array}[/dispmath]
bobanex  OFFLINE
BANOVAN
 
Postovi: 523
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 505 puta

  • +1

Re: Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Postod bobanex » Subota, 07. Novembar 2015, 17:19

Mozda nekom zatreba :)
bobanex  OFFLINE
BANOVAN
 
Postovi: 523
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 505 puta

  • +1

Re: Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Postod Daniel » Subota, 07. Novembar 2015, 19:22

@bobanex, mislim da korisnici Matemanije nisu retardirani pa da mora sve ovako postupno da im se piše, red po red.

Kada bi sve ovo trebalo da objasniš u par rečenica, tj. u formi uputstva, bez mnogo pisanja matematičkog računa – kako bi to glasilo? :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Prethodna

Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 33 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 02:46 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs