Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA POLINOMI

Dvostruke nule polinoma

[inlmath]P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0[/inlmath]

Moderator: Corba248

Dvostruke nule polinoma

Postod markoskoric916 » Utorak, 14. Novembar 2017, 14:48

Odrediti brojeve [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] tako da polinom [inlmath]P(x)=x^4+a\cdot x^3+b\cdot x^2-8\cdot x+4[/inlmath] ima dvostruke nule i odrediti ih, mene interesuje viste tekst zadatka. Kada kaze dvostruke nule da li se misli da ima dvije dvostruke nule odnosno, [inlmath]x_1=x_2[/inlmath] i [inlmath]x_3=x_4[/inlmath], ako ovo vazi lako je uraditi zadatak, ali ako vazi da je [inlmath]x_1=x_2[/inlmath], dosta teze.
Poslednji put menjao Daniel dana Utorak, 14. Novembar 2017, 20:49, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje Latexa – tačka 13. Pravilnika!
 
Postovi: 13
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Dvostruke nule polinoma

Postod miletrans » Utorak, 14. Novembar 2017, 17:21

Opet LaTex... Bar je za ovakve stvari jednostavno. Samo staviš svoj polinom između odgovarajućih tagova i to je to.

Što se tiče teksta zadatka, ja ga shvatam kao da polinom ima dve dvostruke nule, odnosno da je [inlmath]x_1=x_2[/inlmath] i [inlmath]x_3=x_4[/inlmath]. U tekstu piše da polinom "...ima dvostrukE nulE...", što znači da mora da ih ima bar dve. Pošto je polinom četvrtog stepena, on će imati četiri nule, odnosno sa ovako definisanim zadatkom "dva para" dvostrukih nula.
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 133
Zahvalio se: 16 puta
Pohvaljen: 159 puta

Re: Dvostruke nule polinoma

Postod markoskoric916 » Utorak, 14. Novembar 2017, 17:24

Pa i ja sam tako shvatio zadatak, ali znas i sam nikada nisi siguran sta su oni mislili a kada ih pitas na ispitu, kazu sve ti pise, i inace hvala!
 
Postovi: 13
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Dvostruke nule polinoma

Postod Subject » Utorak, 14. Novembar 2017, 18:46

Ako sam dobro uradio zadatak trazene nule polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath] su: [inlmath]x_{12}=1+i[/inlmath] i [inlmath]x_{34}=1-i[/inlmath] odakle su i konstante [inlmath]a=-4[/inlmath] i [inlmath]b=8[/inlmath] za vrednost [inlmath]x_1x_2=2[/inlmath] jer primenom Vijetovih formula, iz zadnjeg izraza bice: [inlmath]x_1x_2=2[/inlmath] i [inlmath]x_1x_2=-2[/inlmath]. Ostale Vijetove formule su u obliku:
[dispmath]2x_1+2x_2=-a[/dispmath][dispmath]x_1x_2+x_1^2+x_1x_2+x_1x_2+x_2^2+x_1x_2=b[/dispmath][dispmath]x_1^2x_2+x_1x_2^2+x_1^2x_2+x_1x_2^2=8[/dispmath][dispmath]x_1^2x_2^2=4[/dispmath] gde ocigledno vazi [inlmath]x_1=x_3[/inlmath] i [inlmath]x_2=x_4[/inlmath] po uslovu zadatka. Treba samo da se resi sistem jednacina.
Inace za [inlmath]x_1x_2=-2[/inlmath] dobija se [inlmath]a=4[/inlmath] i [inlmath]b=0[/inlmath] odakle su nule polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath]: [inlmath]x_{12}=-1-\sqrt3[/inlmath] i [inlmath]x_{34}=-1+\sqrt3[/inlmath]
"All we have to decide is what to do with the time that is given to us." - J.R.R.Tolkien
"The right man in the wrong place can make all the difference in the world." - G.Man
Korisnikov avatar
Subject  OFFLINE
 
Postovi: 32
Lokacija: Nis
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 17 puta

Re: Dvostruke nule polinoma

Postod Subject » Utorak, 14. Novembar 2017, 19:14

Upravo sam uvideo gresku... u zadnjem izrazu se dobija [inlmath]x_1^2x_2^2=-4[/inlmath], pa su onda vrednosti [inlmath]x_1x_2=2i[/inlmath], [inlmath]x_1x_2=-2i[/inlmath]. Inace princip resavanja sistema jednacina je isti, samo ima drugacije vrednosti za [inlmath]x_1x_2[/inlmath], a naravno i drugacije vrednosti nula i koeficijenata [inlmath]a,b[/inlmath].
Srednjvanjem, sistem postaje:
[dispmath]x_1+x_2=\frac{-a}{2}[/dispmath][dispmath]4x_1x_2+x_1^2+x_2^2=b[/dispmath][dispmath]x_1x_2(x_1+x_2)=4[/dispmath] odakle se traze resenja.
"All we have to decide is what to do with the time that is given to us." - J.R.R.Tolkien
"The right man in the wrong place can make all the difference in the world." - G.Man
Korisnikov avatar
Subject  OFFLINE
 
Postovi: 32
Lokacija: Nis
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 17 puta

  • +1

Re: Dvostruke nule polinoma

Postod Daniel » Utorak, 14. Novembar 2017, 20:45

Subject je napisao:Upravo sam uvideo gresku... u zadnjem izrazu se dobija [inlmath]x_1^2x_2^2=-4[/inlmath],

Ne, ne, dobro ti je onako kako si prvobitno uradio. U opštem slučaju [inlmath]x_1x_2\cdots x_n=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}[/inlmath], tj. ovde je [inlmath]x_1x_2x_3x_4=x_1^2x_2^2=(-1)^4\cdot\frac{4}{1}=4[/inlmath].



@markoskoric916, budući da ti je već rečeno da treba da koristiš Latex, a da to pravilo i dalje uporno ignorišeš, dobio si trodnevni ban upozorenja (do 18.11.2017). Ukoliko i nakon toga budeš nastavio s kršenjem forumskih pravila, sledeći ban biće trajan.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 6717
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3516 puta
Pohvaljen: 3699 puta

Re: Dvostruke nule polinoma

Postod Subject » Utorak, 14. Novembar 2017, 20:53

Daniel je napisao:Ne, ne, dobro ti je onako kako si prvobitno uradio. U opštem slučaju [inlmath]x_1x_2\cdots x_n=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}[/inlmath], tj. ovde je [inlmath]x_1x_2x_3x_4=x_1^2x_2^2=(-1)^4\cdot\frac{4}{1}=4[/inlmath].

ehh...Pa da, to sam imao u vidu kad sam prvi put radio zadatak, ali sam nesto izgleda prebacio posle. :unsure:
Nema veze, vazno mi da sam bio razumljiv... :lol:
"All we have to decide is what to do with the time that is given to us." - J.R.R.Tolkien
"The right man in the wrong place can make all the difference in the world." - G.Man
Korisnikov avatar
Subject  OFFLINE
 
Postovi: 32
Lokacija: Nis
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 17 puta

  • +1

Re: Dvostruke nule polinoma

Postod Daniel » Četvrtak, 16. Novembar 2017, 15:45

Predložio bih i način bez Vietovih formula (od viška načina ne boli glava – bar ne bi trebalo). Pošto su dve nule dvostruke, a koeficijent uz vodeći član jednak jedinici, polinom [inlmath]P(x)[/inlmath] se može faktorisati kao:
[dispmath]P(x)=\left(x^2+px+q\right)^2[/dispmath] a zatim se, razvijanjem ovog izraza i upoređivanjem koeficijenata s onima u zadatom obliku, dolazi do sistema jednačina
[dispmath]2p=a\\
p^2+2q=b\\
2pq=-8\\
q^2=4[/dispmath] koji se sasvim lako rešava. Potrebno je samo pretpostaviti dva slučaja, za [inlmath]q=-2[/inlmath] i za [inlmath]q=2[/inlmath].

[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]q=-2[/inlmath]
Dobijaju se rešenja [inlmath](a,b,p,q)=(4,0,2,-2)[/inlmath], pa je traženi polinom jednak [inlmath]P(x)=x^2+4x^3-8x+4[/inlmath], a pošto će njegov oblik [inlmath]P(x)=\left(x^2+px+q\right)^2[/inlmath] sada glasiti [inlmath]P(x)=\left(x^2+2x-2\right)^2[/inlmath], njegove dvostruke nule se mogu odrediti rešavanjem kvadratne jednačine [inlmath]x^2+2x-2=0[/inlmath] i one iznose [inlmath]-1\pm\sqrt3[/inlmath].

[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]q=2[/inlmath]
Dobijaju se rešenja [inlmath](a,b,p,q)=(-4,8,-2,2)[/inlmath], pa je traženi polinom jednak [inlmath]P(x)=x^2-4x^3+8x^2-8x+4[/inlmath], a pošto će njegov oblik [inlmath]P(x)=\left(x^2+px+q\right)^2[/inlmath] sada glasiti [inlmath]P(x)=\left(x^2-2x+2\right)^2[/inlmath], njegove dvostruke nule se mogu odrediti rešavanjem kvadratne jednačine [inlmath]x^2-2x+2=0[/inlmath] i one iznose [inlmath]1\pm i[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 6717
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3516 puta
Pohvaljen: 3699 puta


Povratak na POLINOMI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 16. Decembar 2017, 17:41 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs