Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA POLINOMI

Dijeljenje polinoma s ostatkom

[inlmath]P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0[/inlmath]
  • +1

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

Postod Gosha » Subota, 27. Decembar 2014, 17:41

Jesmo, radili nekada u prvom srednje, ali veoma lagane primjere.
Uglavnom, ja dobijem ostatak tipa [inlmath]-2x(1-2a+4)+b[/inlmath]
Gosha  OFFLINE
 
Postovi: 64
Lokacija: Doboj
Zahvalio se: 44 puta
Pohvaljen: 5 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

Postod Gamma » Subota, 27. Decembar 2014, 19:28

Ni ovo nije teško nema ni 5 redova dijeljenja.Ovo definitivno nije tačno moraš u ostatku imati treći stepen. Stvarno ne znam kako si ovo dobio.Ako možeš ti da napišeš postupak.Evo ja sam pokušavao da napišem u latexu ali ne da mi se to napisati pregledno.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

Postod Gosha » Nedelja, 28. Decembar 2014, 12:40

Evo pokusavam i ja ali ni meni se nece nesto pregledno napisati :angry-fire:
Mozes li onda napisati samo koji ti je kolicnik ta dva polinoma, i koji ostatak dobijes, jer onda mogu vidjeti sta si tacno radio i gdje sam ja fulao.
Gosha  OFFLINE
 
Postovi: 64
Lokacija: Doboj
Zahvalio se: 44 puta
Pohvaljen: 5 puta

  • +1

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

Postod Gamma » Nedelja, 28. Decembar 2014, 14:23

Količnik mi je [inlmath]x^2+1[/inlmath] a ostatak je [inlmath](a-2)x^3+b-1[/inlmath].Uzmi malo to pogledaj to ti je tačno rješenje.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

Postod Gosha » Nedelja, 28. Decembar 2014, 14:39

Hvala, sad cu pokusati sa tim :)
Gosha  OFFLINE
 
Postovi: 64
Lokacija: Doboj
Zahvalio se: 44 puta
Pohvaljen: 5 puta

  • +1

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

Postod slaven » Nedelja, 28. Decembar 2014, 15:18

Gamma mozes li malo pojasniti svoje rjesenje? Zasto rjesenje bas mora imati [inlmath]x^3[/inlmath]? Mislim da je Gosha dobro uradio. Ne znam, mozda i grijesim, ali ni ja ne mogu doci do tvog rjesenja.
slaven  OFFLINE
 
Postovi: 5
Lokacija: Bosna i Hercegovina
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 5 puta

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

Postod Gamma » Nedelja, 28. Decembar 2014, 15:57

Ja sam radio na više načina i uvijek dobijem [inlmath]a=2[/inlmath] i [inlmath]b=1[/inlmath]. Rješenje je tačno sigurno provjerio sam ga par puta. A što se tiče trećeg stepena mora biti jer množiš [inlmath]x^2[/inlmath] sa [inlmath]x^2+2x[/inlmath].Koliko ja znam teći stepen u ostatku moraš dobiti.Ne znam kako ga Gosha nije dobio.Ili možda najbolje je da pričekaš nekoga stručnijeg od mene da ti odgovori.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

  • +1

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

Postod Daniel » Nedelja, 28. Decembar 2014, 17:47

@Gamma, stepen polinoma koji predstavlja ostatak uvek je strogo manji od stepena polinoma koji predstavlja delilac. Tj. ako polinom [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] deliš polinomom [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath] i pri tome dobijaš ostatak [inlmath]R\left(x\right)[/inlmath], tada stepen [inlmath]R\left(x\right)[/inlmath] mora biti strogo manji od stepena [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath].

Pošto je ovde polinom kojim se deli drugog stepena, to znači da ostatak mora biti najviše prvog stepena. I mene bi zanimalo kako si dobio da ostatak mora biti trećeg stepena. Inače, [inlmath]a=2[/inlmath] i [inlmath]b=1[/inlmath] ti je tačno, ali kad bi te (tačne) vrednosti uvrstio u ono što ti dobiješ kao ostatak, tj. [inlmath](a-2)x^3+b-1[/inlmath], dobio bi da je ostatak jednak nuli, a to je protivno uslovu zadatka koji kaže da je [inlmath]R\left(x\right)=-2x+1[/inlmath].

Evo postupka za deljenje ova dva polinoma (postupak deljenja polinoma po koracima pokazan je u ovoj temi).
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+b\right):\left(x^2+2x\right)=x^2+\left(a-2\right)x+5-2a\\
\phantom{\big(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{\big(x^4+}\left(a-2\right)x^3+x^2+b\\
\phantom{\big(x^4+}\underline{\left(a-2\right)x^3+\left(2a-4\right)x^2}\\
\phantom{\big(x^4+\left(a-2\right)x^3+}\left(5-2a\right)x^2+b\\
\phantom{\big(x^4+\left(a-2\right)x^3+}\underline{\left(5-2a\right)x^2+\left(10-4a\right)x}\\
\phantom{\big(x^4+\left(a-2\right)x^3+\left(5-2a\right)x^2+}\left(4a-10\right)x+b\\
\end{array}[/dispmath]
I, zatim se ostatak [inlmath]\left(4a-10\right)x+b[/inlmath] izjednači sa zadatim ostatkom, [inlmath]-2x+1[/inlmath], i odatle se odrede [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]...

Gosha je napisao:Uglavnom, ja dobijem ostatak tipa [inlmath]-2x(1-2a+4)+b[/inlmath]

To rešenje i jeste tačno, kad se malo sredi poklapa se s ovim koje sam ja dobio:
[dispmath]-2x\left(1-2a+4\right)+b=-2\left(5-2a\right)x+b=\left(4a-10\right)x+b[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8309
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4423 puta
Pohvaljen: 4426 puta

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

Postod Gamma » Nedelja, 28. Decembar 2014, 20:28

Vidim da ja došlo do zabune mislim da je najbolje da napišem čitav postupak. I ako ovaj moj način daje tačno rješenje po mome je i ispravan. Ali sada ne znam vidjećemo šta Daniel kaže!
[dispmath]P(x)=x^4+ax^3+x^2+b\\
Q(x)=x^2+2x\\
R(x)=-2x+1[/dispmath]
[dispmath]P(x)=P_1(x)\cdot Q(x)+R(x)\\
P(x)-R(x)=P_1(x)\cdot Q(x)[/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+b+2x-1\right):\left(x^2+2x\right)=x^2+1\\
\phantom{(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{(x^4}-2x^3+ax^3+x^2+b+2x-1\\
\phantom{(x^4}\underline{x^2+2x}\\
\phantom{(x^4}-2x^3+ax^3+b-1\\
\phantom{(x^4}(a-2)x^3+b-1
\end{array}[/dispmath]
I ostatak mora da bude jednak nuli a to će biti samo ako je [inlmath]a=2[/inlmath] i [inlmath]b=1[/inlmath]

Mada ovo je malo i kraći način ne znam da li bi mi ovo priznali kada bih polago prijemni?
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

  • +1

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

Postod Daniel » Nedelja, 28. Decembar 2014, 23:43

OK, ti si, znači, radio prema Milovanovom uputstvu, tako što si u jednačini [inlmath]P\left(x\right)=Q\left(x\right)\cdot P_1\left(x\right)+R\left(x\right)[/inlmath] ostatak [inlmath]R\left(x\right)[/inlmath] prebacio na levu stranu, pa si onda razliku polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] i ostatka delio sa [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath] i postavio uslov da je ostatak pri tom deljenju jednak nuli. To je sve OK, ali ti ne valja sâm postupak deljena polinoma. Kada si došao do
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right):\left(x^2+2x\right)=x^2\\
\phantom{(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{(x^4}-2x^3+ax^3+x^2+2x+b-1
\end{array}[/dispmath]
ti si iz dobijenog polinoma [inlmath]-2x^3+ax^3+x^2+2x+b-1[/inlmath] samo sabirak [inlmath]x^2[/inlmath] delio ovim [inlmath]x^2[/inlmath] iz polinoma [inlmath]\left(x^2+2x\right)[/inlmath] i dobio [inlmath]1[/inlmath]. Umesto toga, trebalo je da u polinomu [inlmath]-2x^3+ax^3+x^2+2x+b-1[/inlmath] prvo grupišeš sabirke s istim stepenom, čime dobijaš oblik [inlmath]\left(a-2\right)x^3+x^2+2x+b-1[/inlmath]:
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right):\left(x^2+2x\right)=x^2\\
\phantom{(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{(x^4+}\color{blue}{\left(a-2\right)x^3+x^2+2x+b-1}
\end{array}[/dispmath]
Zatim sabirak s najvećim stepenom, a to je [inlmath]\left(a-2\right)x^3[/inlmath], deliš onim [inlmath]x^2[/inlmath] iz polinoma [inlmath]\left(x^2+2x\right)[/inlmath]:
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right):\left(x^2+2x\right)=x^2\color{blue}{+\left(a-2\right)x}\\
\phantom{(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{(x^4+}\left(a-2\right)x^3+x^2+2x+b-1
\end{array}[/dispmath]
Znači, ne deliš sabirak [inlmath]x^2[/inlmath] kao što si ti radio (jer to nije sabirak najvećeg stepena polinoma [inlmath]\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right)[/inlmath]), već deliš sabirak [inlmath]\left(a-2\right)x^3[/inlmath] jer to jeste sabirak najvećeg (trećeg) stepena tog polinoma. Zatim [inlmath]\left(a-2\right)x[/inlmath] množimo sa [inlmath]\left(x^2+2x\right)[/inlmath] i to potpisujemo:
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right):\left(x^2+2x\right)=x^2+\left(a-2\right)x\\
\phantom{(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{(x^4+}\left(a-2\right)x^3+x^2+2x+b-1\\
\phantom{(x^4+}\color{blue}{\underline{\left(a-2\right)x^3+\left(2a-4\right)x^2}}
\end{array}[/dispmath]
Oduzmemo,
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right):\left(x^2+2x\right)=x^2+\left(a-2\right)x\\
\phantom{(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{(x^4+}\left(a-2\right)x^3+x^2+2x+b-1\\
\phantom{(x^4+}\underline{\left(a-2\right)x^3+\left(2a-4\right)x^2}\\
\phantom{(x^4+\left(a-2\right)x^3+}\color{blue}{\left(5-2a\right)x^2+2x+b-1}
\end{array}[/dispmath]
I sada opet sabirak s najvećim stepenom, a to je ovaj put [inlmath]\left(5-2a\right)x^2[/inlmath], delimo sabirkom najvećeg stepena polinoma [inlmath]\left(x^2+2x\right)[/inlmath], a to je [inlmath]x^2[/inlmath]:
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right):\left(x^2+2x\right)=x^2+\left(a-2\right)x\color{blue}{+5-2a}\\
\phantom{(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{(x^4+}\left(a-2\right)x^3+x^2+2x+b-1\\
\phantom{(x^4+}\underline{\left(a-2\right)x^3+\left(2a-4\right)x^2}\\
\phantom{(x^4+\left(a-2\right)x^3+}\left(5-2a\right)x^2+2x+b-1
\end{array}[/dispmath]
Sada [inlmath]5-2a[/inlmath] množimo sa [inlmath]\left(x^2+2x\right)[/inlmath] i to potpisujemo:
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right):\left(x^2+2x\right)=x^2+\left(a-2\right)x+5-2a\\
\phantom{(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{(x^4+}\left(a-2\right)x^3+x^2+2x+b-1\\
\phantom{(x^4+}\underline{\left(a-2\right)x^3+\left(2a-4\right)x^2}\\
\phantom{(x^4+\left(a-2\right)x^3+}\left(5-2a\right)x^2+2x+b-1\\
\phantom{(x^4+\left(a-2\right)x^3+}\color{blue}{\underline{\left(5-2a\right)x^2+\left(10-4a\right)x}}
\end{array}[/dispmath]
I, na kraju, to oduzmemo:
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right):\left(x^2+2x\right)=x^2+\left(a-2\right)x+5-2a\\
\phantom{(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{(x^4+}\left(a-2\right)x^3+x^2+2x+b-1\\
\phantom{(x^4+}\underline{\left(a-2\right)x^3+\left(2a-4\right)x^2}\\
\phantom{(x^4+\left(a-2\right)x^3+}\left(5-2a\right)x^2+2x+b-1\\
\phantom{(x^4+\left(a-2\right)x^3+}\underline{\left(5-2a\right)x^2+\left(10-4a\right)x}\\
\phantom{(x^4+\left(a-2\right)x^3+\left(5-2a\right)x^2+}\color{blue}{\left(4a-8\right)x+b-1}
\end{array}[/dispmath]
E, i onda postavljaš uslov da je taj ostatak koji si dobio, [inlmath]\left(4a-8\right)x+b-1[/inlmath], jednak nuli, odakle dobiješ da je [inlmath]\left(a,b\right)=\left(2,1\right)[/inlmath].



Tvoj postupak deljenja polinoma, iako pogrešan što se tiče samog deljenja, jeste primenjiv u ovom zadatku, zbog čega si i dobio tačna rešenja. Primenjiv je, zbog toga što time jeste očuvana tačnost jednakosti [inlmath]P\left(x\right)=Q\left(x\right)\cdot P_1\left(x\right)+R\left(x\right)[/inlmath]. Međutim, što se tiče traženja količnika i ostatka, to je isto kao kad bi za [inlmath]11[/inlmath] podeljeno sa [inlmath]2[/inlmath] dobio da je to jednako [inlmath]3[/inlmath], s ostatkom [inlmath]5[/inlmath]. :) Jer, zadovoljeno je da je [inlmath]11=3\cdot2+5[/inlmath]. Ili, [inlmath]4[/inlmath] s ostatkom [inlmath]3[/inlmath] (jer je takođe zadovoljeno i [inlmath]11=4\cdot2+3[/inlmath]). Ali, znamo da je jedini tačan rezultat tog deljenja [inlmath]5[/inlmath] s ostatkom [inlmath]1[/inlmath].
Kao što ti u deljenju prirodnih brojeva, ako si sve uradio kako treba, ostatak mora biti manji od delioca, tako isto i kod deljenja polinoma ostatak mora biti manjeg stepena od stepena delioca.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8309
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4423 puta
Pohvaljen: 4426 puta

PrethodnaSledeća

Povratak na POLINOMI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 12. Jul 2020, 05:38 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs