OK, ti si, znači, radio prema
Milovanovom uputstvu, tako što si u jednačini [inlmath]P(x)=Q(x)\cdot P_1(x)+R(x)[/inlmath] ostatak [inlmath]R(x)[/inlmath] prebacio na levu stranu, pa si onda razliku polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath] i ostatka delio sa [inlmath]Q(x)[/inlmath] i postavio uslov da je ostatak pri tom deljenju jednak nuli. To je sve OK, ali ti ne valja sâm postupak deljena polinoma. Kada si došao do
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right):\left(x^2+2x\right)=x^2\\
\phantom{(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{(x^4}-2x^3+ax^3+x^2+2x+b-1
\end{array}[/dispmath] ti si iz dobijenog polinoma [inlmath]-2x^3+ax^3+x^2+2x+b-1[/inlmath] samo sabirak [inlmath]x^2[/inlmath] delio ovim [inlmath]x^2[/inlmath] iz polinoma [inlmath]\left(x^2+2x\right)[/inlmath] i dobio [inlmath]1[/inlmath]. Umesto toga, trebalo je da u polinomu [inlmath]-2x^3+ax^3+x^2+2x+b-1[/inlmath] prvo grupišeš sabirke s istim stepenom, čime dobijaš oblik [inlmath](a-2)x^3+x^2+2x+b-1[/inlmath]:
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right):\left(x^2+2x\right)=x^2\\
\phantom{(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{(x^4+}\color{blue}{(a-2)x^3+x^2+2x+b-1}
\end{array}[/dispmath] Zatim
sabirak s najvećim stepenom, a to je [inlmath](a-2)x^3[/inlmath], deliš onim [inlmath]x^2[/inlmath] iz polinoma [inlmath]\left(x^2+2x\right)[/inlmath]:
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right):\left(x^2+2x\right)=x^2\color{blue}{+(a-2)x}\\
\phantom{(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{(x^4+}(a-2)x^3+x^2+2x+b-1
\end{array}[/dispmath] Znači, ne deliš sabirak [inlmath]x^2[/inlmath] kao što si ti radio (jer to nije sabirak najvećeg stepena polinoma [inlmath]\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right)[/inlmath]), već deliš sabirak [inlmath](a-2)x^3[/inlmath] jer to jeste sabirak najvećeg (trećeg) stepena tog polinoma. Zatim [inlmath](a-2)x[/inlmath] množimo sa [inlmath]\left(x^2+2x\right)[/inlmath] i to potpisujemo:
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right):\left(x^2+2x\right)=x^2+(a-2)x\\
\phantom{(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{(x^4+}(a-2)x^3+x^2+2x+b-1\\
\phantom{(x^4+}\color{blue}{\underline{(a-2)x^3+(2a-4)x^2}}
\end{array}[/dispmath] Oduzmemo,
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right):\left(x^2+2x\right)=x^2+(a-2)x\\
\phantom{(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{(x^4+}(a-2)x^3+x^2+2x+b-1\\
\phantom{(x^4+}\underline{(a-2)x^3+(2a-4)x^2}\\
\phantom{(x^4+(a-2)x^3+}\color{blue}{(5-2a)x^2+2x+b-1}
\end{array}[/dispmath] I sada opet sabirak s najvećim stepenom, a to je ovaj put [inlmath](5-2a)x^2[/inlmath], delimo sabirkom najvećeg stepena polinoma [inlmath]\left(x^2+2x\right)[/inlmath], a to je [inlmath]x^2[/inlmath]:
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right):\left(x^2+2x\right)=x^2+(a-2)x\color{blue}{+5-2a}\\
\phantom{(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{(x^4+}(a-2)x^3+x^2+2x+b-1\\
\phantom{(x^4+}\underline{(a-2)x^3+(2a-4)x^2}\\
\phantom{(x^4+(a-2)x^3+}(5-2a)x^2+2x+b-1
\end{array}[/dispmath] Sada [inlmath]5-2a[/inlmath] množimo sa [inlmath]\left(x^2+2x\right)[/inlmath] i to potpisujemo:
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right):\left(x^2+2x\right)=x^2+(a-2)x+5-2a\\
\phantom{(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{(x^4+}(a-2)x^3+x^2+2x+b-1\\
\phantom{(x^4+}\underline{(a-2)x^3+(2a-4)x^2}\\
\phantom{(x^4+(a-2)x^3+}(5-2a)x^2+2x+b-1\\
\phantom{(x^4+(a-2)x^3+}\color{blue}{\underline{(5-2a)x^2+(10-4a)x}}
\end{array}[/dispmath] I, na kraju, to oduzmemo:
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right):\left(x^2+2x\right)=x^2+(a-2)x+5-2a\\
\phantom{(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{(x^4+}(a-2)x^3+x^2+2x+b-1\\
\phantom{(x^4+}\underline{(a-2)x^3+(2a-4)x^2}\\
\phantom{(x^4+(a-2)x^3+}(5-2a)x^2+2x+b-1\\
\phantom{(x^4+(a-2)x^3+}\underline{(5-2a)x^2+(10-4a)x}\\
\phantom{(x^4+(a-2)x^3+(5-2a)x^2+}\color{blue}{(4a-8)x+b-1}
\end{array}[/dispmath] E, i onda postavljaš uslov da je taj ostatak koji si dobio, [inlmath](4a-8)x+b-1[/inlmath], jednak nuli, odakle dobiješ da je [inlmath](a,b)=(2,1)[/inlmath].
Tvoj postupak deljenja polinoma, iako pogrešan što se tiče samog deljenja, jeste primenjiv u ovom zadatku, zbog čega si i dobio tačna rešenja. Primenjiv je, zbog toga što time jeste očuvana tačnost jednakosti [inlmath]P(x)=Q(x)\cdot P_1(x)+R(x)[/inlmath]. Međutim, što se tiče traženja količnika i ostatka, to je isto kao kad bi za [inlmath]11[/inlmath] podeljeno sa [inlmath]2[/inlmath] dobio da je to jednako [inlmath]3[/inlmath], s ostatkom [inlmath]5[/inlmath].
Jer, zadovoljeno je da je [inlmath]11=3\cdot2+5[/inlmath]. Ili, [inlmath]4[/inlmath] s ostatkom [inlmath]3[/inlmath] (jer je takođe zadovoljeno i [inlmath]11=4\cdot2+3[/inlmath]). Ali, znamo da je jedini tačan rezultat tog deljenja [inlmath]5[/inlmath] s ostatkom [inlmath]1[/inlmath].
Kao što ti u deljenju prirodnih brojeva, ako si sve uradio kako treba, ostatak mora biti manji od delioca, tako isto i kod deljenja polinoma ostatak mora biti manjeg stepena od stepena delioca.