Dijeljenje polinoma s ostatkom

PostPoslato: Nedelja, 21. Decembar 2014, 16:22
od Gosha
Ako polinom [inlmath]P\left(x\right)=x^4+ax^3+x^2+b[/inlmath] pri dijeljenju sa polinomom [inlmath]Q\left(x\right)=x^2+2x[/inlmath] daje ostatak [inlmath]R\left(x\right)=-2x+1[/inlmath], onda je [inlmath]a+b[/inlmath] jednako?
Odgovor mi kaze [inlmath]3[/inlmath].

Moze li neko da mi da prijedlog kako da pocnem zadatak jer nemam ideju :angry-fire:

Hvala unaprijed.

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

PostPoslato: Ponedeljak, 22. Decembar 2014, 01:14
od Milovan
Posto je [inlmath]P(x)=Q(x)\cdot P_1(x)+R(x)[/inlmath], [inlmath]Q(x)[/inlmath] deli polinom [inlmath]P_2(x)=P(x)-R(x)[/inlmath]. Odatle sledi da je [inlmath]P_2(0)=0[/inlmath] i [inlmath]P(-2)=0[/inlmath], odakle dalje mozes odrediti nepoznate koeficijente, kao i njihov zbir.

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

PostPoslato: Ponedeljak, 22. Decembar 2014, 02:12
od Daniel
Ima još načina za rešavanje ovog zadatka, jedan je Bezuovom teoremom (polinom [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath] se napiše kao [inlmath]x\left(x+2\right)[/inlmath]), drugi je da se jednostavno izvrši deljenje polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] polinomom [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath] i zatim se polinom koji se dobije kao ostatak izjednači sa zadatim ostatkom, [inlmath]-2x+1[/inlmath]. Na koji god način da radiš, na kraju ćeš dobiti sistem od dve jednačine s nepoznatama [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], koji zatim rešiš...

Ima u ovoj forumskoj rubrici o polinomima baš dosta zadataka sličnih ovome, a evo nekih od tema iz te rubrike koje bih ti preporučio da pogledaš:
viewtopic.php?t=821
viewtopic.php?t=743
viewtopic.php?t=426
viewtopic.php?t=440
viewtopic.php?t=296

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

PostPoslato: Četvrtak, 25. Decembar 2014, 01:59
od Gamma
Malo sam zakasnio. Ali pošto vidim niko ne daje konačno rješenje. Evo ja sam uradio zadatak.Pa me interesuje par stvari.

Milovane uopšte mi nije jasno šta znači [inlmath]P_2(0)=0[/inlmath] i [inlmath]P(-2)=0[/inlmath].Kako se došlo do toga ?
Ja sam uradio zadatak na istu foru kada podjelim dobijem ostatak [inlmath](-2+a)x^3+b-1[/inlmath] i zato što ostatak treba da bude [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]a=2\;b=1[/inlmath]
Ja sam to tako uradio,sada ne znam koliko je ovo ispravno ali volio bih i znati taj tvoj način.

Daniele isto kada ostatak izjdnačim sa tim ostatkom dobijem isto rješenje kao gore. Znači sve se to svodi na isto. I nije mi jasno ,kakve dvije jednačine sa dvije nepoznate? Ako može tu malo detaljnije?

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

PostPoslato: Četvrtak, 25. Decembar 2014, 02:30
od Daniel
Gamma je napisao:Daniele isto kada ostatak izjdnačim sa tim ostatkom dobijem isto rješenje kao gore. Znači sve se to svodi na isto. I nije mi jasno ,kakve dvije jednačine sa dvije nepoznate? Ako može tu malo detaljnije?

Dobijeni ostatak izjednačiš sa zadatim ostatkom; izjednačiš koeficijente uz linearne članove (jedna jednačina) i izjednačiš slobodne članove (druga jednačina).

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

PostPoslato: Četvrtak, 25. Decembar 2014, 08:13
od Gamma
E sada mi je jasno :) Tako sam i ja radio. Vidim u ovim dole temama i ti si radio kao Milovan na taj neki isti fazon.Pa ako možeš to da objasniš jer Milovan i nije toliko često online.A mislim da ti to znaš sigurno.

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

PostPoslato: Petak, 26. Decembar 2014, 12:26
od Daniel
Na nekim od tih linkova sam dao prilično detaljna objašnjenja. Možeš li precizirati koji je tačno deo potrebno pojasniti?

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

PostPoslato: Subota, 27. Decembar 2014, 01:12
od Gamma
Evo pregledao sam sve linkove. I mogu ti reći da mi je sada jasno :)

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

PostPoslato: Subota, 27. Decembar 2014, 16:54
od Gosha
Gamma mozes li napisati postupak kako si dosao do tog ostatka, jer ne mogu nikako da ga dobijem.

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

PostPoslato: Subota, 27. Decembar 2014, 17:17
od Gamma
Fino,samo uzmeš i podjeliš polinom i dobiješ ostatak.Ne znam šta ti tu nije jasno? Jeste li učili djeljenje polinoma?

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

PostPoslato: Subota, 27. Decembar 2014, 17:41
od Gosha
Jesmo, radili nekada u prvom srednje, ali veoma lagane primjere.
Uglavnom, ja dobijem ostatak tipa [inlmath]-2x(1-2a+4)+b[/inlmath]

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

PostPoslato: Subota, 27. Decembar 2014, 19:28
od Gamma
Ni ovo nije teško nema ni 5 redova dijeljenja.Ovo definitivno nije tačno moraš u ostatku imati treći stepen. Stvarno ne znam kako si ovo dobio.Ako možeš ti da napišeš postupak.Evo ja sam pokušavao da napišem u latexu ali ne da mi se to napisati pregledno.

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

PostPoslato: Nedelja, 28. Decembar 2014, 12:40
od Gosha
Evo pokusavam i ja ali ni meni se nece nesto pregledno napisati :angry-fire:
Mozes li onda napisati samo koji ti je kolicnik ta dva polinoma, i koji ostatak dobijes, jer onda mogu vidjeti sta si tacno radio i gdje sam ja fulao.

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

PostPoslato: Nedelja, 28. Decembar 2014, 14:23
od Gamma
Količnik mi je [inlmath]x^2+1[/inlmath] a ostatak je [inlmath](a-2)x^3+b-1[/inlmath].Uzmi malo to pogledaj to ti je tačno rješenje.

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

PostPoslato: Nedelja, 28. Decembar 2014, 14:39
od Gosha
Hvala, sad cu pokusati sa tim :)

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

PostPoslato: Nedelja, 28. Decembar 2014, 15:18
od slaven
Gamma mozes li malo pojasniti svoje rjesenje? Zasto rjesenje bas mora imati [inlmath]x^3[/inlmath]? Mislim da je Gosha dobro uradio. Ne znam, mozda i grijesim, ali ni ja ne mogu doci do tvog rjesenja.

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

PostPoslato: Nedelja, 28. Decembar 2014, 15:57
od Gamma
Ja sam radio na više načina i uvijek dobijem [inlmath]a=2[/inlmath] i [inlmath]b=1[/inlmath]. Rješenje je tačno sigurno provjerio sam ga par puta. A što se tiče trećeg stepena mora biti jer množiš [inlmath]x^2[/inlmath] sa [inlmath]x^2+2x[/inlmath].Koliko ja znam teći stepen u ostatku moraš dobiti.Ne znam kako ga Gosha nije dobio.Ili možda najbolje je da pričekaš nekoga stručnijeg od mene da ti odgovori.

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

PostPoslato: Nedelja, 28. Decembar 2014, 17:47
od Daniel
@Gamma, stepen polinoma koji predstavlja ostatak uvek je strogo manji od stepena polinoma koji predstavlja delilac. Tj. ako polinom [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] deliš polinomom [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath] i pri tome dobijaš ostatak [inlmath]R\left(x\right)[/inlmath], tada stepen [inlmath]R\left(x\right)[/inlmath] mora biti strogo manji od stepena [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath].

Pošto je ovde polinom kojim se deli drugog stepena, to znači da ostatak mora biti najviše prvog stepena. I mene bi zanimalo kako si dobio da ostatak mora biti trećeg stepena. Inače, [inlmath]a=2[/inlmath] i [inlmath]b=1[/inlmath] ti je tačno, ali kad bi te (tačne) vrednosti uvrstio u ono što ti dobiješ kao ostatak, tj. [inlmath](a-2)x^3+b-1[/inlmath], dobio bi da je ostatak jednak nuli, a to je protivno uslovu zadatka koji kaže da je [inlmath]R\left(x\right)=-2x+1[/inlmath].

Evo postupka za deljenje ova dva polinoma (postupak deljenja polinoma po koracima pokazan je u ovoj temi).
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+b\right):\left(x^2+2x\right)=x^2+\left(a-2\right)x+5-2a\\
\phantom{\big(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{\big(x^4+}\left(a-2\right)x^3+x^2+b\\
\phantom{\big(x^4+}\underline{\left(a-2\right)x^3+\left(2a-4\right)x^2}\\
\phantom{\big(x^4+\left(a-2\right)x^3+}\left(5-2a\right)x^2+b\\
\phantom{\big(x^4+\left(a-2\right)x^3+}\underline{\left(5-2a\right)x^2+\left(10-4a\right)x}\\
\phantom{\big(x^4+\left(a-2\right)x^3+\left(5-2a\right)x^2+}\left(4a-10\right)x+b\\
\end{array}[/dispmath]
I, zatim se ostatak [inlmath]\left(4a-10\right)x+b[/inlmath] izjednači sa zadatim ostatkom, [inlmath]-2x+1[/inlmath], i odatle se odrede [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]...

Gosha je napisao:Uglavnom, ja dobijem ostatak tipa [inlmath]-2x(1-2a+4)+b[/inlmath]

To rešenje i jeste tačno, kad se malo sredi poklapa se s ovim koje sam ja dobio:
[dispmath]-2x\left(1-2a+4\right)+b=-2\left(5-2a\right)x+b=\left(4a-10\right)x+b[/dispmath]

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

PostPoslato: Nedelja, 28. Decembar 2014, 20:28
od Gamma
Vidim da ja došlo do zabune mislim da je najbolje da napišem čitav postupak. I ako ovaj moj način daje tačno rješenje po mome je i ispravan. Ali sada ne znam vidjećemo šta Daniel kaže!
[dispmath]P(x)=x^4+ax^3+x^2+b\\
Q(x)=x^2+2x\\
R(x)=-2x+1[/dispmath]
[dispmath]P(x)=P_1(x)\cdot Q(x)+R(x)\\
P(x)-R(x)=P_1(x)\cdot Q(x)[/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+b+2x-1\right):\left(x^2+2x\right)=x^2+1\\
\phantom{(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{(x^4}-2x^3+ax^3+x^2+b+2x-1\\
\phantom{(x^4}\underline{x^2+2x}\\
\phantom{(x^4}-2x^3+ax^3+b-1\\
\phantom{(x^4}(a-2)x^3+b-1
\end{array}[/dispmath]
I ostatak mora da bude jednak nuli a to će biti samo ako je [inlmath]a=2[/inlmath] i [inlmath]b=1[/inlmath]

Mada ovo je malo i kraći način ne znam da li bi mi ovo priznali kada bih polago prijemni?

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

PostPoslato: Nedelja, 28. Decembar 2014, 23:43
od Daniel
OK, ti si, znači, radio prema Milovanovom uputstvu, tako što si u jednačini [inlmath]P\left(x\right)=Q\left(x\right)\cdot P_1\left(x\right)+R\left(x\right)[/inlmath] ostatak [inlmath]R\left(x\right)[/inlmath] prebacio na levu stranu, pa si onda razliku polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] i ostatka delio sa [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath] i postavio uslov da je ostatak pri tom deljenju jednak nuli. To je sve OK, ali ti ne valja sâm postupak deljena polinoma. Kada si došao do
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right):\left(x^2+2x\right)=x^2\\
\phantom{(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{(x^4}-2x^3+ax^3+x^2+2x+b-1
\end{array}[/dispmath]
ti si iz dobijenog polinoma [inlmath]-2x^3+ax^3+x^2+2x+b-1[/inlmath] samo sabirak [inlmath]x^2[/inlmath] delio ovim [inlmath]x^2[/inlmath] iz polinoma [inlmath]\left(x^2+2x\right)[/inlmath] i dobio [inlmath]1[/inlmath]. Umesto toga, trebalo je da u polinomu [inlmath]-2x^3+ax^3+x^2+2x+b-1[/inlmath] prvo grupišeš sabirke s istim stepenom, čime dobijaš oblik [inlmath]\left(a-2\right)x^3+x^2+2x+b-1[/inlmath]:
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right):\left(x^2+2x\right)=x^2\\
\phantom{(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{(x^4+}\color{blue}{\left(a-2\right)x^3+x^2+2x+b-1}
\end{array}[/dispmath]
Zatim sabirak s najvećim stepenom, a to je [inlmath]\left(a-2\right)x^3[/inlmath], deliš onim [inlmath]x^2[/inlmath] iz polinoma [inlmath]\left(x^2+2x\right)[/inlmath]:
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right):\left(x^2+2x\right)=x^2\color{blue}{+\left(a-2\right)x}\\
\phantom{(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{(x^4+}\left(a-2\right)x^3+x^2+2x+b-1
\end{array}[/dispmath]
Znači, ne deliš sabirak [inlmath]x^2[/inlmath] kao što si ti radio (jer to nije sabirak najvećeg stepena polinoma [inlmath]\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right)[/inlmath]), već deliš sabirak [inlmath]\left(a-2\right)x^3[/inlmath] jer to jeste sabirak najvećeg (trećeg) stepena tog polinoma. Zatim [inlmath]\left(a-2\right)x[/inlmath] množimo sa [inlmath]\left(x^2+2x\right)[/inlmath] i to potpisujemo:
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right):\left(x^2+2x\right)=x^2+\left(a-2\right)x\\
\phantom{(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{(x^4+}\left(a-2\right)x^3+x^2+2x+b-1\\
\phantom{(x^4+}\color{blue}{\underline{\left(a-2\right)x^3+\left(2a-4\right)x^2}}
\end{array}[/dispmath]
Oduzmemo,
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right):\left(x^2+2x\right)=x^2+\left(a-2\right)x\\
\phantom{(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{(x^4+}\left(a-2\right)x^3+x^2+2x+b-1\\
\phantom{(x^4+}\underline{\left(a-2\right)x^3+\left(2a-4\right)x^2}\\
\phantom{(x^4+\left(a-2\right)x^3+}\color{blue}{\left(5-2a\right)x^2+2x+b-1}
\end{array}[/dispmath]
I sada opet sabirak s najvećim stepenom, a to je ovaj put [inlmath]\left(5-2a\right)x^2[/inlmath], delimo sabirkom najvećeg stepena polinoma [inlmath]\left(x^2+2x\right)[/inlmath], a to je [inlmath]x^2[/inlmath]:
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right):\left(x^2+2x\right)=x^2+\left(a-2\right)x\color{blue}{+5-2a}\\
\phantom{(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{(x^4+}\left(a-2\right)x^3+x^2+2x+b-1\\
\phantom{(x^4+}\underline{\left(a-2\right)x^3+\left(2a-4\right)x^2}\\
\phantom{(x^4+\left(a-2\right)x^3+}\left(5-2a\right)x^2+2x+b-1
\end{array}[/dispmath]
Sada [inlmath]5-2a[/inlmath] množimo sa [inlmath]\left(x^2+2x\right)[/inlmath] i to potpisujemo:
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right):\left(x^2+2x\right)=x^2+\left(a-2\right)x+5-2a\\
\phantom{(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{(x^4+}\left(a-2\right)x^3+x^2+2x+b-1\\
\phantom{(x^4+}\underline{\left(a-2\right)x^3+\left(2a-4\right)x^2}\\
\phantom{(x^4+\left(a-2\right)x^3+}\left(5-2a\right)x^2+2x+b-1\\
\phantom{(x^4+\left(a-2\right)x^3+}\color{blue}{\underline{\left(5-2a\right)x^2+\left(10-4a\right)x}}
\end{array}[/dispmath]
I, na kraju, to oduzmemo:
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^4+ax^3+x^2+2x+b-1\right):\left(x^2+2x\right)=x^2+\left(a-2\right)x+5-2a\\
\phantom{(}\underline{x^4+2x^3}\\
\phantom{(x^4+}\left(a-2\right)x^3+x^2+2x+b-1\\
\phantom{(x^4+}\underline{\left(a-2\right)x^3+\left(2a-4\right)x^2}\\
\phantom{(x^4+\left(a-2\right)x^3+}\left(5-2a\right)x^2+2x+b-1\\
\phantom{(x^4+\left(a-2\right)x^3+}\underline{\left(5-2a\right)x^2+\left(10-4a\right)x}\\
\phantom{(x^4+\left(a-2\right)x^3+\left(5-2a\right)x^2+}\color{blue}{\left(4a-8\right)x+b-1}
\end{array}[/dispmath]
E, i onda postavljaš uslov da je taj ostatak koji si dobio, [inlmath]\left(4a-8\right)x+b-1[/inlmath], jednak nuli, odakle dobiješ da je [inlmath]\left(a,b\right)=\left(2,1\right)[/inlmath].



Tvoj postupak deljenja polinoma, iako pogrešan što se tiče samog deljenja, jeste primenjiv u ovom zadatku, zbog čega si i dobio tačna rešenja. Primenjiv je, zbog toga što time jeste očuvana tačnost jednakosti [inlmath]P\left(x\right)=Q\left(x\right)\cdot P_1\left(x\right)+R\left(x\right)[/inlmath]. Međutim, što se tiče traženja količnika i ostatka, to je isto kao kad bi za [inlmath]11[/inlmath] podeljeno sa [inlmath]2[/inlmath] dobio da je to jednako [inlmath]3[/inlmath], s ostatkom [inlmath]5[/inlmath]. :) Jer, zadovoljeno je da je [inlmath]11=3\cdot2+5[/inlmath]. Ili, [inlmath]4[/inlmath] s ostatkom [inlmath]3[/inlmath] (jer je takođe zadovoljeno i [inlmath]11=4\cdot2+3[/inlmath]). Ali, znamo da je jedini tačan rezultat tog deljenja [inlmath]5[/inlmath] s ostatkom [inlmath]1[/inlmath].
Kao što ti u deljenju prirodnih brojeva, ako si sve uradio kako treba, ostatak mora biti manji od delioca, tako isto i kod deljenja polinoma ostatak mora biti manjeg stepena od stepena delioca.

Re: Dijeljenje polinoma s ostatkom

PostPoslato: Ponedeljak, 29. Decembar 2014, 00:40
od Gamma
Sada mi je sve jasno.Uradio sam zadatak i na ovaj pravilni način. Ne znam meni je nekako pošlo za okom kada stavim jedinicu da ću dva odjednog sabirka poništiti. Mislio sam nekako to skratiti ali izgleda da to ne može baš tako.