Treba naći broj parova [inlmath](p,q)[/inlmath] ako [inlmath]p,q\in\mathbb{R}[/inlmath] takvih da je polinom [inlmath]x^4+px^2+q[/inlmath] deljiv polinomom [inlmath]x^2+px+q[/inlmath].
Znači, imamo polinome:
[dispmath]P(x)=x^4+px^2+q\\
Q(x)=x^2+px+q[/dispmath]
Pošto je delilac polinom drugog stepena, ostatak će biti polinom prvog stepena, tj. oblika [inlmath]R(x)=Ax+B[/inlmath], a nakon deljenja polinoma to bi trebalo da izgleda ovako:[dispmath]\frac{P(x)}{Q(x)}=G(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}\\
\frac{x^4+px^2+q}{x^2+px+q}=x^2-px+\left(p-q+p^2\right)+\frac{\left(2pq-p^2-p^3\right)x+\left(q-pq+q^2-qp^2\right)}{x^2+px+q}[/dispmath]
Sad, da bi polinom [inlmath]P(x)[/inlmath] bio deljiv polinomom [inlmath]Q(x)[/inlmath] ostatak [inlmath]R(x)[/inlmath] mora biti jednak [inlmath]0[/inlmath]:
[dispmath]\left(2pq-p^2-p^3\right)x+\left(q-pq+q^2-qp^2\right)=0\\
2pq-p^2-p^3=0\quad\lor\quad q-pq+q^2-qp^2=0\\
q=\frac{p^3+p^2}{2p}\quad\lor\quad p^3\left(-p^2+1\right)(p+2)=0[/dispmath]
Iz druge jednačine dobijamo da [inlmath]p\in\{-2,-1,0,1\}[/inlmath], a kada to zamenimo u jednačinu po [inlmath]q[/inlmath] dobijamo da [inlmath]q\in\{1,0,0,1\}[/inlmath], što na kraju daje četiri para [inlmath](p,q)[/inlmath]:
[dispmath](-2,1)\\
(-1,0)\\
(0,0)\\
(1,1)[/dispmath]
Međutim, rešenje je da ima pet parova [inlmath](p,q)[/inlmath]. Wolfram kao peti par izbacuje [inlmath](0,-1)[/inlmath]. Nije mi jasno gde grešim.