Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA POLINOMI

Djeljivost polinoma

[inlmath]P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0[/inlmath]

Djeljivost polinoma

Postod elektricar » Četvrtak, 19. Januar 2017, 22:13

Zdravo svima. Pokusavo sam da uradim ovaj zadatak faktorizacijom medutim to nikako nije islo. Posto nemam puno iskustva sa ovim zadacima odlucio sam da pitam Vas. Zadatak glasi: Dokazati da je polinom [inlmath](a+b+c)^{333}-a^{333}-b^{333}-c^{333}[/inlmath] djeljiv sa [inlmath](a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3[/inlmath]. LP
 
Postovi: 25
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Djeljivost polinoma

Postod mala_mu » Petak, 20. Januar 2017, 00:37

Hej, hej :D

Prvo uočimo da je [inlmath](a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)\cdot(a+c)\cdot(b+c)[/inlmath], odakle zaključujemo da je [inlmath](a+b+c)^{333}-a^{333}-b^{333}-c^{333}\;(1)[/inlmath], djeljiv sa [inlmath](a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3[/inlmath], ako je djeljiv [inlmath]3(a+b)\cdot(a+c)\cdot(b+c)[/inlmath], odnosno [inlmath](a+b)\cdot(a+c)\cdot(b+c)[/inlmath].

Sada uzmimo da je [inlmath]a=-b[/inlmath], i uvrstimo u [inlmath](1)[/inlmath], pa dobijamo
[dispmath](-b+b+c)^{333}-(-b)^{333}-b^{333}-c^{333}=c^{333}+b^{333}-b^{333}-c^{333}=0[/dispmath] Što će reći da [inlmath]a+b[/inlmath] dijeli [inlmath](1)[/inlmath]

Analogno dokažemo da za [inlmath]b=-c[/inlmath], i [inlmath]c=-a[/inlmath], da je [inlmath](1)[/inlmath] djeljiv sa [inlmath]b+c[/inlmath], i [inlmath]c+a[/inlmath], što smo i trebali dokazati.
:D
Sorry I'm late a black cat blocked my path so I had to take a different way then a dragon came down and blocked my path then I saw an old lady having trouble crossing the street so I helped her then a cat was stuck in a tree and the owners asked me to help then I got lost on the road of life
Korisnikov avatar
mala_mu  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 50
Lokacija: Banja Luka
Zahvalio se: 23 puta
Pohvaljen: 72 puta

Re: Djeljivost polinoma

Postod elektricar » Petak, 20. Januar 2017, 20:51

Da li onda znaci da ce taj polinom bit djeljiv samo ako je [inlmath]a=-b[/inlmath] ili [inlmath]b=-c[/inlmath] ili [inlmath]c=-a[/inlmath]
 
Postovi: 25
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Djeljivost polinoma

Postod mala_mu » Subota, 21. Januar 2017, 18:27

U principu to je to, jer
[dispmath]a=-b\;\Longrightarrow\;a+b=0[/dispmath] Pa je [inlmath](1)[/inlmath] djeljiv sa [inlmath]a+b[/inlmath], tj. [inlmath]a=-b[/inlmath]
Sorry I'm late a black cat blocked my path so I had to take a different way then a dragon came down and blocked my path then I saw an old lady having trouble crossing the street so I helped her then a cat was stuck in a tree and the owners asked me to help then I got lost on the road of life
Korisnikov avatar
mala_mu  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 50
Lokacija: Banja Luka
Zahvalio se: 23 puta
Pohvaljen: 72 puta

Re: Djeljivost polinoma

Postod Daniel » Nedelja, 22. Januar 2017, 01:23

elektricar je napisao:Da li onda znaci da ce taj polinom bit djeljiv samo ako je [inlmath]a=-b[/inlmath] ili [inlmath]b=-c[/inlmath] ili [inlmath]c=-a[/inlmath]

Ne, ne znači. Ako uvrštavanjem [inlmath]a=-b[/inlmath] dobijemo da je vrednost polinoma jednaka nuli, to znači da taj polinom mora sadržati faktor [inlmath](a+b)[/inlmath].
Jer, kada u tom faktoru [inlmath]a[/inlmath] zamenimo sa [inlmath]-b[/inlmath], tada taj faktor dobija vrednost nula i daje vrednost nula celom polinomu.
A čim polinom sadrži faktor [inlmath](a+b)[/inlmath], znači da mora biti i deljiv tim faktorom.

To je u suštini Bezuova teorema, koja kaže da je polinom [inlmath]P(x)[/inlmath] deljiv binomom [inlmath](x-a)[/inlmath] akko je [inlmath]P(a)=0[/inlmath].
Što je i logično – ako je [inlmath]P(x)[/inlmath] deljiv sa [inlmath](x-a)[/inlmath], to znači da je [inlmath](x-a)[/inlmath] jedan od faktora polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath], pa kad u [inlmath]P(x)[/inlmath] umesto [inlmath]x[/inlmath] uvrstimo [inlmath]a[/inlmath] tada dobijemo [inlmath]P(a)[/inlmath] a njegov faktor [inlmath](x-a)[/inlmath] postaje [inlmath](a-a)[/inlmath], tj. nula, pa je i vrednost celog polinoma nula.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Djeljivost polinoma

Postod elektricar » Nedelja, 22. Januar 2017, 14:30

Hvala puno, jasno mi je
 
Postovi: 25
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na POLINOMI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: nikolajovanovicc i 30 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 20:49 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs