Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA POLINOMI

Predstavljanje polinoma sa realnim koeficijentima

[inlmath]P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0[/inlmath]

Predstavljanje polinoma sa realnim koeficijentima

Postod Gogele » Sreda, 08. Mart 2017, 10:14

Imam problem da dokažem sledeću tvrdnju (D. Adnađević, Z. Kadelburg: Matematička analiza 1):

˝Polinom [inlmath]Q(x)[/inlmath] sa realnim koeficijentima, od kojih je onaj uz najviši stepen promenljive jedinica, može se napisati u obliku
[dispmath]Q(x)=(x-a_1)^{k_1}\cdots(x-a_p)^{k_p}\left(x^2+b_1x+c_1\right)^{l_1}\cdots\left(x^2+b_qx+c_q\right)^{l_q},[/dispmath] gde je [inlmath]k_1+\cdots+k_p+2(l_1+\cdots+l_q)=n[/inlmath], [inlmath]n[/inlmath] je stepen polinoma [inlmath]Q[/inlmath], [inlmath]a_i[/inlmath], [inlmath]b_j[/inlmath], [inlmath]c_j[/inlmath] su realni brojevi i [inlmath]b_j^2-4c_j<0[/inlmath], [inlmath]i=1,2,\ldots,p[/inlmath], [inlmath]j=1,2,\ldots,q[/inlmath].˝

(Nisam dosad primetio, ali vidim da su različiti zarezi u običnom tekstu i Latehu, pa me zanima kakvi zarezi treba da budu? Da li treba da uvek budu obični, ili ne moraju?)

Evo šta sam ja dosad uradio u ovom dokazu:

Neka [inlmath]Q[/inlmath] ima [inlmath]m\,(m\le n)[/inlmath] različitih nula. Neka je od tog broja, [inlmath]p[/inlmath] nula realno, a [inlmath]q[/inlmath] kompleksno. Sledi da postoji još [inlmath]q[/inlmath] kompleksnih nula, koje su konjugovani brojevi datih [inlmath]q[/inlmath] kompleksnih nula. Neka su:
[dispmath]a_1,\ldots,a_p-\,\text{realne nule},\\
z_1,\ldots,z_q-\,\text{kompleksne nule},\\
\overline{z_1},\ldots,\overline{z_q}-\,\text{konjugovane kompleksne nule}.[/dispmath] Sada važi:
[dispmath]Q(x)=(x-a_1)^{k_1}\cdots(x-a_p)^{k_p}(x-z_1)^{s_1}\cdots(x-z_q)^{s_q}=\\
=(x-a_1)^{k_1}\cdots(x-a_p)^{k_p}(x-\overline{z_1})^{s_1}\cdots(x-\overline{z_q})^{s_q}=\\
=(x-a_1)^{k_1}\cdots(x-a_p)^{k_p}(x-z_1)^{\frac{s_1}{2}}(x-\overline{z_1})^{\frac{s_1}{2}}\cdots(x-z_q)^{\frac{s_q}{2}}(x-\overline{z_q})^{\frac{s_q}{2}}=\\
=(x-a_1)^{k_1}\cdots(x-a_p)^{k_p}\left(x^2+b_1x+c_1\right)^{l_1}\cdots\left(x^2+b_qx+c_q\right)^{l_q}.[/dispmath] Da bi ovaj niz jednakosti važio potrebno je da važi i [inlmath](x-z)^d=(x-\overline z)^d[/inlmath], gde je [inlmath]d\in\mathbb{N}[/inlmath], a [inlmath]z[/inlmath] i [inlmath]\overline z[/inlmath], kompleksni broj i njemu konjugovano kompleksni broj, redom. Dobio sam da ovo ne važi.

Molim vas, možete li mi reći kako da završim dokaz ove tvrdnje?
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Predstavljanje polinoma sa realnim koeficijentima

Postod ubavic » Sreda, 08. Mart 2017, 12:03

Greška je u prvoj jednakosti u dokazu. Upravo se konjugovani koreni nalaze među korenima koje si označio sa [inlmath]z_1,z_2,\dots,z_q[/inlmath]. Tih [inlmath]q[/inlmath] nula su zapravo konjugovani parovi kompleksnih brojeva.
Ključni korak u dokazu je dokaz sledećeg tvrđenja: Ako za kompleksan broj [inlmath]z[/inlmath] važi [inlmath]P(z)=0[/inlmath], gde je [inlmath]P[/inlmath] polinom sa realnim koeficijentima, tada važi i [inlmath]P(\bar z)=0[/inlmath].
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 623
Zahvalio se: 385 puta
Pohvaljen: 641 puta

Re: Predstavljanje polinoma sa realnim koeficijentima

Postod Gogele » Sreda, 08. Mart 2017, 16:22

Dakle, broj kompleksnih nula polinoma sa realnim koeficijentima je uvek paran, pa sledi da postoji [inlmath]r=\frac{q}{2}[/inlmath], [inlmath]r\in\mathbb{N}[/inlmath], tako da postoji [inlmath]r[/inlmath] kompleksnih brojeva koji su nule polinoma [inlmath]Q[/inlmath] i čiji su konjugovano kompleksni brojevi takođe nule polinoma [inlmath]Q[/inlmath]. Sada se dobija da važi:
[dispmath]Q(x)=(x-a_1)^{k_1}\cdots(x-a_p)^{k_p}(x-z_1)^{s_1}\cdots(x-z_r)^{s_r}(x-z_{r+1})^{s_{r+1}}\cdots(x-z_q)^{s_q}.[/dispmath]
Da li je sada [inlmath]s_1=s_{r + 1},\;s_2=s_{r+2},\;\ldots,\;s_{r - 1}=s_{q-1},\;s_r=s_q[/inlmath]? Ako jeste, onda se može dobiti traženi oblik polinoma, a ako nije šta treba da se uradi? Ako jeste zbog čega su jednaki?
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

  • +1

Re: Predstavljanje polinoma sa realnim koeficijentima

Postod Daniel » Četvrtak, 09. Mart 2017, 10:54

Gogele je napisao:pa sledi da postoji [inlmath]r=\frac{q}{2}[/inlmath], [inlmath]r\in\mathbb{N}[/inlmath], tako da postoji [inlmath]r[/inlmath] kompleksnih brojeva koji su nule polinoma [inlmath]Q[/inlmath] i čiji su konjugovano kompleksni brojevi takođe nule polinoma [inlmath]Q[/inlmath].

Nisam baš uspeo ovu rečenicu da protumačim. Najpreciznije bi bilo reći da među nulama polinoma [inlmath]Q(x)[/inlmath] postoji [inlmath]r[/inlmath] konjugovano kompleksnih parova, to jest da postoji ukupno [inlmath]2r[/inlmath] kompleksnih nula.

Gogele je napisao:[dispmath]Q(x)=(x-a_1)^{k_1}\cdots(x-a_p)^{k_p}(x-z_1)^{s_1}\cdots(x-z_r)^{s_r}(x-z_{r+1})^{s_{r+1}}\cdots(x-z_q)^{s_q}.[/dispmath]
Da li je sada [inlmath]s_1=s_{r + 1},\;s_2=s_{r+2},\;\ldots,\;s_{r - 1}=s_{q-1},\;s_r=s_q[/inlmath]?

Da, ukoliko je [inlmath]z_{r + 1}=\overline{z_1},\;z_{r+2}=\overline{z_2},\;\ldots,\;z_{q-1}=\overline{z_{r - 1}},\;z_q=\overline{z_r}[/inlmath]. Taj deo si izostavio.

Gogele je napisao:Ako jeste zbog čega su jednaki?

Da bi polinom imao realne koeficijente, potrebno je da svaka kompleksna nula i njoj konjugovano kompleksna nula budu nule istog stepena. Izmnoži, na primer, sledeća dva faktora,
[dispmath](x-z_i)^k(x-\overline{z_i})^k=\bigl((x-z_i)(x-\overline{z_i})\bigr)^k=\left(x^2-(z_i+\overline{z_i})x+z_i\overline{z_i}\right)^k=\left(x^2-2\text{Re}(z_i)x+|z_i|^2\right)^k[/dispmath] iz čega vidimo da ova dva faktora, kad se pomnože, daju [inlmath]k[/inlmath]-ti stepen kvadratnog trinoma s realnim koeficijentima, a to će, opet, biti neki polinom s realnim koeficijentima. To će važiti i za ostale konjugovano kompleksne parove nula s jednakim stepenima, pa kad se međusobno izmnože svi ti polinomi s realnim koeficijentima, dobija se nov polinom koji takođe ima realne koeficijente.

Nasuprot tome, ako bismo imali neku kompleksnu nulu [inlmath]k[/inlmath]-tog reda i njoj konjugovano kompleksnu nulu koja bi bila [inlmath]l[/inlmath]-tog reda, [inlmath]k>l[/inlmath] (čime nije umanjena opštost u odnosu na [inlmath]k\ne l[/inlmath]), imali bismo sledeću situaciju:
[dispmath](x-z_i)^k(x-\overline{z_i})^l=(x-z_i)^l(x-\overline{z_i})^l(x-z_i)^{k-l}=\left(x^2-2\text{Re}(z_i)x+|z_i|^2\right)^l(x-z_i)^{k-l}[/dispmath] Prvi faktor, kako već napisah, predstavljaće neki polinom s realnim koeficijentima, ali drugi faktor, kad se razvije po binomnoj formuli, predstavljaće polinom s kompleksnim koeficijentima. A kad se izmnože polinom s realnim i polinom s kompleksnim koeficijentima, dobiće se, naravno, polinom s kompleksnim koeficijentima.
Ovime je pokazano da svaka kompleksna nula nekog polinoma i njena konjugovano kompleksna nula moraju biti istog stepena da bi polinom imao realne koeficijente.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Predstavljanje polinoma sa realnim koeficijentima

Postod Gogele » Četvrtak, 09. Mart 2017, 14:50

Hvala!
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta


Povratak na POLINOMI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 40 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 15:14 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs