Imam problem da dokažem sledeću tvrdnju (D. Adnađević, Z. Kadelburg: Matematička analiza 1):
˝Polinom [inlmath]Q(x)[/inlmath] sa realnim koeficijentima, od kojih je onaj uz najviši stepen promenljive jedinica, može se napisati u obliku
[dispmath]Q(x)=(x-a_1)^{k_1}\cdots(x-a_p)^{k_p}\left(x^2+b_1x+c_1\right)^{l_1}\cdots\left(x^2+b_qx+c_q\right)^{l_q},[/dispmath] gde je [inlmath]k_1+\cdots+k_p+2(l_1+\cdots+l_q)=n[/inlmath], [inlmath]n[/inlmath] je stepen polinoma [inlmath]Q[/inlmath], [inlmath]a_i[/inlmath], [inlmath]b_j[/inlmath], [inlmath]c_j[/inlmath] su realni brojevi i [inlmath]b_j^2-4c_j<0[/inlmath], [inlmath]i=1,2,\ldots,p[/inlmath], [inlmath]j=1,2,\ldots,q[/inlmath].˝
(Nisam dosad primetio, ali vidim da su različiti zarezi u običnom tekstu i Latehu, pa me zanima kakvi zarezi treba da budu? Da li treba da uvek budu obični, ili ne moraju?)
Evo šta sam ja dosad uradio u ovom dokazu:
Neka [inlmath]Q[/inlmath] ima [inlmath]m\,(m\le n)[/inlmath] različitih nula. Neka je od tog broja, [inlmath]p[/inlmath] nula realno, a [inlmath]q[/inlmath] kompleksno. Sledi da postoji još [inlmath]q[/inlmath] kompleksnih nula, koje su konjugovani brojevi datih [inlmath]q[/inlmath] kompleksnih nula. Neka su:
[dispmath]a_1,\ldots,a_p-\,\text{realne nule},\\
z_1,\ldots,z_q-\,\text{kompleksne nule},\\
\overline{z_1},\ldots,\overline{z_q}-\,\text{konjugovane kompleksne nule}.[/dispmath] Sada važi:
[dispmath]Q(x)=(x-a_1)^{k_1}\cdots(x-a_p)^{k_p}(x-z_1)^{s_1}\cdots(x-z_q)^{s_q}=\\
=(x-a_1)^{k_1}\cdots(x-a_p)^{k_p}(x-\overline{z_1})^{s_1}\cdots(x-\overline{z_q})^{s_q}=\\
=(x-a_1)^{k_1}\cdots(x-a_p)^{k_p}(x-z_1)^{\frac{s_1}{2}}(x-\overline{z_1})^{\frac{s_1}{2}}\cdots(x-z_q)^{\frac{s_q}{2}}(x-\overline{z_q})^{\frac{s_q}{2}}=\\
=(x-a_1)^{k_1}\cdots(x-a_p)^{k_p}\left(x^2+b_1x+c_1\right)^{l_1}\cdots\left(x^2+b_qx+c_q\right)^{l_q}.[/dispmath] Da bi ovaj niz jednakosti važio potrebno je da važi i [inlmath](x-z)^d=(x-\overline z)^d[/inlmath], gde je [inlmath]d\in\mathbb{N}[/inlmath], a [inlmath]z[/inlmath] i [inlmath]\overline z[/inlmath], kompleksni broj i njemu konjugovano kompleksni broj, redom. Dobio sam da ovo ne važi.
Molim vas, možete li mi reći kako da završim dokaz ove tvrdnje?