Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA POLINOMI

Deljivost polinoma četvrtog stepena – probni prijemni MATF 2017.

[inlmath]P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0[/inlmath]

Deljivost polinoma četvrtog stepena – probni prijemni MATF 2017.

Postod bobanex » Sreda, 14. Jun 2017, 20:02

Probni prijemni ispit MATF – 10. jun 2017.
3. zadatak


Polinom [inlmath]p\left(x\right)[/inlmath] četvrtog stepena sa realnim koeficijentima i vodećim koeficijentom jednakim [inlmath]1[/inlmath] ima dve realne nule [inlmath]x_1=-4[/inlmath] i [inlmath]x_2=2[/inlmath] i dve kompleksne nule [inlmath]x_3[/inlmath] i [inlmath]x_4[/inlmath] (koje nisu realne). Ukoliko je ostatak pri deljenju [inlmath]p\left(x\right)[/inlmath] polinomom [inlmath]x[/inlmath] jednak [inlmath]-32[/inlmath], a polinomom [inlmath]x+1[/inlmath] jednak [inlmath]-18[/inlmath], moduo kompleksnih nula, [inlmath]x_3[/inlmath], [inlmath]x_4[/inlmath] polinoma iznosi:
[inlmath]A)\;3\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;1\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;7\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;2\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;4[/inlmath]
Kako biste rešavali ovaj zadatak?
bobanex  OFFLINE
BANOVAN
 
Postovi: 523
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 505 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Deljivost polinoma četvrtog stepena – probni prijemni MATF 2017.

Postod Corba248 » Sreda, 14. Jun 2017, 20:10

Koji je odgovor tačan?

U svakom slučaju bih primenio Vietove formule jer je traženi moduo jednak [inlmath]\sqrt{x_3x_4}[/inlmath].
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 314
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 352 puta

  • +1

Re: Deljivost polinoma četvrtog stepena – probni prijemni MATF 2017.

Postod bobanex » Sreda, 14. Jun 2017, 20:14

Tačan odgovor je [inlmath]2[/inlmath]. Zadatak je sa probnog prijemnog na MATF-u.
Ovaj zadatak sam inače izdvojio jer sam primetio da ima višak podataka, a i čudan mi je ovaj deo gde objašnjavaju da kompleksni brojevi nisu realni.
bobanex  OFFLINE
BANOVAN
 
Postovi: 523
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 505 puta

  • +2

Re: Deljivost polinoma četvrtog stepena – probni prijemni MATF 2017.

Postod bobanex » Sreda, 14. Jun 2017, 20:25

Poznato je [inlmath]a=1[/inlmath] dok iz [inlmath]p(0)=-32[/inlmath] dobijamo da je [inlmath]e=-32[/inlmath].
Iz Vietovih formula imamo [inlmath]{x_1}{x_2}{x_3}{x_4} = \frac{e}{a} = - 32[/inlmath], pošto je [inlmath]{x_1}{x_2} = - 8[/inlmath] to je [inlmath]{x_3}{x_4} = 4[/inlmath].
Primećujete da jedan podatak nisam koristio.
bobanex  OFFLINE
BANOVAN
 
Postovi: 523
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 505 puta

Re: Deljivost polinoma četvrtog stepena – probni prijemni MATF 2017.

Postod Nađa » Sreda, 14. Jun 2017, 20:59

@Bobanex, resila sam bas danas taj zadatak, sada cu da posaljem postupak
Nađa  OFFLINE
 
Postovi: 255
Zahvalio se: 137 puta
Pohvaljen: 108 puta

Re: Deljivost polinoma četvrtog stepena – probni prijemni MATF 2017.

Postod Nađa » Sreda, 14. Jun 2017, 21:14

Polinom sam napisala ovako
[inlmath]P(x)=x^4+ax^2+bx^3+cx+d[/inlmath]
[inlmath]P(0)=-32[/inlmath], odakle sledi da je [inlmath]d=-32[/inlmath]
[inlmath]P(-1)=-18[/inlmath], odakle je [inlmath]1-a+b-c-32=-18[/inlmath], kada se sredi to je [inlmath]\enclose{box}{-a+b-c=13}[/inlmath]
[inlmath]P(2)=0[/inlmath], odakle je [inlmath]\enclose{box}{16+8a+4b+2c-32=0}[/inlmath] , podelicu ceo izraz sa [inlmath]2[/inlmath]
[inlmath]P(-4)=0[/inlmath], odakle je [inlmath]\enclose{box}{256-64a+16b-4c-32=0}[/inlmath] podelicu ceo izraz sa [inlmath]4[/inlmath]
dobija se sistem od tri jednacina, resava se Gausovom metodom, za marker sam uzela [inlmath]+c[/inlmath], samo se sabere sa gornjom i donjom jednacinom i dobija se
[inlmath]a=5[/inlmath], [inlmath]b=2[/inlmath], [inlmath]c=-16[/inlmath]
Sada se primene Vietove formule, [inlmath]x_1x_2x_3x_4=-32[/inlmath], a [inlmath]x_1+x_2+x_3+x_4=-5[/inlmath], [inlmath]x_1=2[/inlmath]; [inlmath]x_2=-4[/inlmath] (ove nule se zamene...) dobija se da je [inlmath]x_3x_4=4[/inlmath] i [inlmath]x_3+x_4=-3[/inlmath] sada napisemo jednacinu u kojoj bi ovo bila resenja (kompleksna)
[inlmath]x^2+3x+4=0[/inlmath]
jedno resenje je [inlmath]-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt7}{2}[/inlmath] drugo je konjugovano kompleksno, kada se zamene u formulu za moduo, dobija se [inlmath]\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{7}{4}}=\enclose{box}{4}[/inlmath]
Nađa  OFFLINE
 
Postovi: 255
Zahvalio se: 137 puta
Pohvaljen: 108 puta

Re: Deljivost polinoma četvrtog stepena – probni prijemni MATF 2017.

Postod bobanex » Sreda, 14. Jun 2017, 21:20

Ja verujem da to može i komplikovanije :)
bobanex  OFFLINE
BANOVAN
 
Postovi: 523
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 505 puta

Re: Deljivost polinoma četvrtog stepena – probni prijemni MATF 2017.

Postod Nađa » Sreda, 14. Jun 2017, 21:21

Zar nije poenta da se sto pre uradi, ipak je bio na probnom? :D
Nađa  OFFLINE
 
Postovi: 255
Zahvalio se: 137 puta
Pohvaljen: 108 puta

  • +1

Re: Deljivost polinoma četvrtog stepena – probni prijemni MATF 2017.

Postod bobanex » Sreda, 14. Jun 2017, 21:23

Ako bolje pogledaš videćeš da se zadatak radi u par koraka.
bobanex  OFFLINE
BANOVAN
 
Postovi: 523
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 505 puta

Re: Deljivost polinoma četvrtog stepena – probni prijemni MATF 2017.

Postod Nađa » Sreda, 14. Jun 2017, 21:32

Kako?
Nađa  OFFLINE
 
Postovi: 255
Zahvalio se: 137 puta
Pohvaljen: 108 puta

Sledeća

Povratak na POLINOMI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 38 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 15:53 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs