Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA POLINOMI

Deljivost polinoma četvrtog stepena – probni prijemni MATF 2017.

[inlmath]P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0[/inlmath]

Re: Deljivost polinoma četvrtog stepena – probni prijemni MATF 2017.

Postod bobanex » Sreda, 14. Jun 2017, 21:34

Pogledaj drugi i četvrti post.
bobanex  OFFLINE
BANOVAN
 
Postovi: 523
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 505 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Deljivost polinoma četvrtog stepena – probni prijemni MATF 2017.

Postod Corba248 » Sreda, 14. Jun 2017, 22:59

I mene je zbunio višak podataka, zato sam i pitao koje je tačno rešenje. Mada, da li bi neku razliku pravilo i da vodeći koeficijent nije [inlmath]1[/inlmath]? Hoću reći da li je i to suvišno?
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 314
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 352 puta

Re: Deljivost polinoma četvrtog stepena – probni prijemni MATF 2017.

Postod Daniel » Četvrtak, 15. Jun 2017, 11:06

Da, zaista je ostatak [inlmath]-18[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath]x+1[/inlmath] suvišan podatak. [inlmath]a=1[/inlmath] nije suvišan podatak, iz bobanexovog postupka se vidi da bi u opštem slučaju traženi moduo bio [inlmath]\sqrt{x_3x_4}=\frac{2}{\sqrt a}[/inlmath].

Pokazao bih još jedan način (ne baš tako jednostavan kao bobanexov, al' ne ni mnogo komplikovan). Uzeću namerno da [inlmath]a[/inlmath] nije jednako [inlmath]1[/inlmath], već da je nepoznato (lako se na kraju uvrsti [inlmath]a=1[/inlmath]).
Polinom možemo predstaviti u sledećem obliku:
[dispmath]P(x)=a(x+4)(x-2)\left(x^2+px+q\right)[/dispmath] gde faktor [inlmath]\left(x^2+px+q\right)[/inlmath] nema realne nule. Pošto je ostatak pri deljenju sa [inlmath]x[/inlmath] jednak [inlmath]-32[/inlmath], primenom Bezuove teoreme dobijamo:
[dispmath]P(0)=-8aq=-32\quad\Longrightarrow\quad q=\frac{4}{a}[/dispmath] Namerno neću primeniti onaj suvišan podatak, na osnovu kojeg bih mogao naći koliko je [inlmath]p[/inlmath]. Sada [inlmath]q=\frac{4}{a}[/inlmath] uvrstimo u faktor [inlmath]\left(x^2+px+q\right)[/inlmath] i nađemo njegove kompleksne nule:
[dispmath]x^2+px+\frac{4}{a}=0\\
x_{3,4}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-\frac{16}{a}}}{2}[/dispmath] Odavde se vidi da jedini uslov da [inlmath]x_3[/inlmath] i [inlmath]x_4[/inlmath] ne budu realni brojevi jeste taj da je [inlmath]0<a<\frac{16}{p^2}[/inlmath]. Iliti, za [inlmath]a=1[/inlmath], da je [inlmath]-4<p<4[/inlmath], što bismo i dobili ([inlmath]p=3[/inlmath]) ako bismo iskoristili onaj suvišan podatak. Taj podatak i pored toga jeste suvišan, jer je u tekstu zadatka lepo naglašeno da [inlmath]x_3[/inlmath] i [inlmath]x_4[/inlmath] nisu realne nule, pa se stoga podrazumeva da [inlmath]p[/inlmath] mora imati takvu vrednost koja to ispunjava.
[dispmath]x_{3,4}=\frac{-p\pm i\sqrt{\frac{16}{a}-p^2}}{2}[/dispmath]

Odatle je moduo tih nula jednak:
[dispmath]|x_3|=|x_4|=\sqrt{\frac{p^2}{4}+\frac{\frac{16}{a}-p^2}{4}}=\frac{2}{\sqrt a}[/dispmath] Dakle, definitivno ne zavisi od [inlmath]p[/inlmath]. A samim tim ni od onog suvišnog podatka.

bobanex je napisao:a i čudan mi je ovaj deo gde objašnjavaju da kompleksni brojevi nisu realni.

Nisam baš najbolje razumeo šta je u tom delu čudno. Kompleksni brojevi obuhvataju kako brojeve koji nisu realni, tako i realne brojeve – jer je skup kompleksnih brojeva nadskup skupa realnih brojeva. Ovde je naglašeno da su to kompleksni brojevi kojima je imaginaran deo različit od nule. Ne znam da li si na to mislio?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Deljivost polinoma četvrtog stepena – probni prijemni MATF 2017.

Postod bobanex » Četvrtak, 15. Jun 2017, 11:40

Ne znam, čudno mi je zazvučalo, mada znam šta su hteli reći.
bobanex  OFFLINE
BANOVAN
 
Postovi: 523
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 505 puta

Re: Deljivost polinoma četvrtog stepena – probni prijemni MATF 2017.

Postod Marko2001 » Sreda, 24. Jun 2020, 06:43

- Dve kompleksne nule x3, x4 (koje nisu realne) znači da su to brojevi oblika a+bi i a-bi gde b nije 0 (i brojevi -4 I 2 su
kompleksni sa imaginarnim delom koji je jednak 0!) s obzirom da je polinom sa realnim koeficijentima .
Ako plinom p(x) predstavimo u obliku p(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4) i znajući da je a=1, x1=-4, x2=2, x3=a+bi i x4=a-bi,
dobijamo p(x)= (x+4)(x-2)(x2-2ax+a2+b2) jer je (x-x3)(x-x4)=x2-x(x3+x4)+x3x4. Ukoliko je ostatak pri deljenju p(x) polinomom x
jednak −32, primenom Bezuovog stava je p(0)=-32, pa dobijamo -8(a2+b2)=-32 tj (a2+b2)=4.
(a2+b2) je kvadrat modula kompleksnog broja što nam daje odgovor da je moduo kompleksnog broja 2. Drugi pdatak
„ostatak pri deljenju p(x) polinomom x+1 jednak −18“ je suvišan!
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Deljivost polinoma četvrtog stepena – probni prijemni MATF 2017.

Postod Daniel » Sreda, 24. Jun 2020, 10:14

@Marko2001, sve je to tačno, ali bih te podsetio na jedno od osnovnih pravila ovog foruma, a to je da treba koristiti Latex (što sam te takođe zamolio i u sinoćnjoj privatnoj poruci koju još nisi pogledao).

Ovo bode oči koliko je nečitko i teško razumljivo – npr. negde ti x2 predstavlja [inlmath]x_2[/inlmath], a negde predstavlja [inlmath]x^2[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Prethodna

Povratak na POLINOMI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 26 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 09:46 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs