Da, zaista je ostatak [inlmath]-18[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath]x+1[/inlmath] suvišan podatak. [inlmath]a=1[/inlmath] nije suvišan podatak, iz bobanexovog postupka se vidi da bi u opštem slučaju traženi moduo bio [inlmath]\sqrt{x_3x_4}=\frac{2}{\sqrt a}[/inlmath].
Pokazao bih još jedan način (ne baš tako jednostavan kao bobanexov, al' ne ni mnogo komplikovan). Uzeću namerno da [inlmath]a[/inlmath] nije jednako [inlmath]1[/inlmath], već da je nepoznato (lako se na kraju uvrsti [inlmath]a=1[/inlmath]).
Polinom možemo predstaviti u sledećem obliku:
[dispmath]P(x)=a(x+4)(x-2)\left(x^2+px+q\right)[/dispmath] gde faktor [inlmath]\left(x^2+px+q\right)[/inlmath] nema realne nule. Pošto je ostatak pri deljenju sa [inlmath]x[/inlmath] jednak [inlmath]-32[/inlmath], primenom Bezuove teoreme dobijamo:
[dispmath]P(0)=-8aq=-32\quad\Longrightarrow\quad q=\frac{4}{a}[/dispmath] Namerno neću primeniti onaj suvišan podatak, na osnovu kojeg bih mogao naći koliko je [inlmath]p[/inlmath]. Sada [inlmath]q=\frac{4}{a}[/inlmath] uvrstimo u faktor [inlmath]\left(x^2+px+q\right)[/inlmath] i nađemo njegove kompleksne nule:
[dispmath]x^2+px+\frac{4}{a}=0\\
x_{3,4}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-\frac{16}{a}}}{2}[/dispmath] Odavde se vidi da jedini uslov da [inlmath]x_3[/inlmath] i [inlmath]x_4[/inlmath] ne budu realni brojevi jeste taj da je [inlmath]0<a<\frac{16}{p^2}[/inlmath]. Iliti, za [inlmath]a=1[/inlmath], da je [inlmath]-4<p<4[/inlmath], što bismo i dobili ([inlmath]p=3[/inlmath]) ako bismo iskoristili onaj suvišan podatak. Taj podatak i pored toga jeste suvišan, jer je u tekstu zadatka lepo naglašeno da [inlmath]x_3[/inlmath] i [inlmath]x_4[/inlmath] nisu realne nule, pa se stoga podrazumeva da [inlmath]p[/inlmath] mora imati takvu vrednost koja to ispunjava.
[dispmath]x_{3,4}=\frac{-p\pm i\sqrt{\frac{16}{a}-p^2}}{2}[/dispmath]
Odatle je moduo tih nula jednak:
[dispmath]|x_3|=|x_4|=\sqrt{\frac{p^2}{4}+\frac{\frac{16}{a}-p^2}{4}}=\frac{2}{\sqrt a}[/dispmath] Dakle, definitivno ne zavisi od [inlmath]p[/inlmath]. A samim tim ni od onog suvišnog podatka.
bobanex je napisao:a i čudan mi je ovaj deo gde objašnjavaju da kompleksni brojevi nisu realni.
Nisam baš najbolje razumeo šta je u tom delu čudno. Kompleksni brojevi obuhvataju kako brojeve koji nisu realni, tako i realne brojeve – jer je skup kompleksnih brojeva nadskup skupa realnih brojeva. Ovde je naglašeno da su to kompleksni brojevi kojima je imaginaran deo različit od nule. Ne znam da li si na to mislio?