Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA POLINOMI

Rastaviti polinom na proizvod dva polinoma

[inlmath]P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0[/inlmath]

Rastaviti polinom na proizvod dva polinoma

Postod kristina97 » Ponedeljak, 24. Jul 2017, 11:19

Dat je polinom [inlmath]P(x)=x^{2n}-2x^na^n\cos\theta+a^{2n}[/inlmath]. Rastaviti taj polinom na proizvod dva polinoma [inlmath]n[/inlmath]-tog stepena.
Nemam ideju kako poceti zadatak. Lici na kvadrat razlike, ali ne znam sta s kosinusom. Jedino sto bi se mozda moglo iskoristiti je [inlmath]e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta[/inlmath].

Resenje je [inlmath]\left(x^n-a^ne^{i\theta}\right)\left(x^n-a^ne^{-i\theta}\right)[/inlmath].
 
Postovi: 7
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Rastaviti polinom na proizvod dva polinoma

Postod wolf11 » Ponedeljak, 24. Jul 2017, 12:08

Iskoristis pravilo da je [inlmath]\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}[/inlmath]

Onda imas
[dispmath]x^{2n}-2x^na^n\cos\theta+a^{2n}[/dispmath][dispmath]x^{2n}-2x^na^n\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}+a^{2n}[/dispmath][dispmath]x^{2n}-x^na^n\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right)+a^{2n}\left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right)[/dispmath][dispmath]x^{2n}-x^na^ne^{i\theta}-x^na^ne^{-i\theta}+a^{2n}(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)(\cos\theta-i\cdot\sin\theta)[/dispmath][dispmath]x^{2n}-x^na^ne^{i\theta}-x^na^ne^{-i\theta}+a^{2n}(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)\bigl(\cos(-\theta)+i\cdot\sin(-\theta)\bigr)[/dispmath][dispmath]x^{2n}-x^na^ne^{i\theta}-x^na^ne^{-i\theta}+a^{2n}e^{i\theta}e^{-i\theta}[/dispmath][dispmath]\left(x^n-a^ne^{i\theta}\right)\left(x^n-a^ne^{-i\theta}\right)[/dispmath] Nek jos neko pogleda da li je ovo dobro mada ja mislim da je to rjesenje za tvoj zadatak ;)
wolf11  OFFLINE
 
Postovi: 37
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 3 puta

  • +1

Re: Rastaviti polinom na proizvod dva polinoma

Postod Daniel » Ponedeljak, 24. Jul 2017, 13:30

Dobro je, :correct: samo mislim da je nepotrebno iskomplikovano. :) Kad si došao do koraka
wolf11 je napisao:[dispmath]x^{2n}-2x^{n}a^{n}\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2} +a^{2n}[/dispmath]

nakon kraćenja dvojaka to je dalje jednako
[dispmath]P(x)=x^{2n}-x^na^ne^{i\theta}-x^na^ne^{-i\theta}+a^{2n}\\
P(x)=x^n\left(x^n-a^ne^{i\theta}\right)-a^ne^{-i\theta}\left(x^n-a^ne^{i\theta}\right)\\
\enclose{box}{P(x)=\left(x^n-a^ne^{i\theta}\right)\left(x^n-a^ne^{-i\theta}\right)}[/dispmath] Zapravo, umesto što si [inlmath]a^{2n}[/inlmath] množio sa [inlmath]\left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right)[/inlmath] pa posle taj faktor sveo na [inlmath]e^{i\theta}e^{-i\theta}[/inlmath], bilo je dovoljno odmah da [inlmath]a^{2n}[/inlmath] pomnožiš sa [inlmath]e^{i\theta}e^{-i\theta}[/inlmath] (jer je očigledno da je to jednako jedinici – [inlmath]1=e^0=e^{i\theta-i\theta}=e^{i\theta}e^{-i\theta}[/inlmath]).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Rastaviti polinom na proizvod dva polinoma

Postod bobanex » Ponedeljak, 24. Jul 2017, 15:09

[dispmath]P(x)=x^{2n}-2x^na^n\cos\theta+a^{2n}\\
x^n=y\\
y^2-2ya^n\cos\theta+a^{2n}=0\\
y_{1/2}=a^ne^{\pm i\theta}\\
\left(y-y_1\right)\left(y-y_2\right)=\left(x^n-a^ne^{i\theta}\right)\left(x^n-a^ne^{-i\theta}\right)[/dispmath] Ja bih ovako.
bobanex  OFFLINE
BANOVAN
 
Postovi: 523
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 505 puta

Re: Rastaviti polinom na proizvod dva polinoma

Postod kristina97 » Ponedeljak, 24. Jul 2017, 23:04

Hvala svima na pomoci. :D
 
Postovi: 7
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na POLINOMI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 41 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 20:03 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs