Nađa je napisao:Polinom [inlmath]x^5+3x^3-4x[/inlmath] izjednačila sam sa nulom i tako sam videla da je nula za [inlmath]x=1[/inlmath] i [inlmath]x=-1[/inlmath] i da zaboravila sam [inlmath]x=0[/inlmath].
I dalje ne vidim kako je odatle moguće „lako“ i „odmah“ uočiti rešenja [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath], a da to nije „napipavanje“ rešenja, a očigledno nisi svodila na bikvadratnu, što bi po meni bilo najjednostavnije... No, dobro...
Nađa je napisao:Da li je neko od vas izračunao [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath], [inlmath]c[/inlmath]? Možda sam tu pogrešila dobila sam da su [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] nula.
Tačna si rešenja dobila za [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath]. S tim da ti [inlmath]P(-i)=R(-i)[/inlmath], kao što već rekoh, nije bio potreban, dovoljni su ti bili [inlmath]P(2)=R(2)[/inlmath] i [inlmath]P(i)=R(i)[/inlmath]. Odatle dobiješ sistem jednačina
[dispmath]8a+4b+c=24\\
-ai-b+c=-3i[/dispmath] znači, bez one treće, nepotrebne [inlmath]ai-b+c=3i[/inlmath]. Pošto u drugoj jednačini sistema imaš i realne i imaginarne sabirke, ta jednačina se zapravo može razdvojiti na dve nezavisne jednačine, jednu s realnim i drugu s imaginarnim sabircima: [inlmath]-b+c=0[/inlmath] i [inlmath]-ai=-3i[/inlmath]. Ovime je dobijen sistem od tri jednačine s tri nepoznate iz kojeg je moguće jednoznačno odrediti sve tri nepoznate.
Nepotrebnim izjednačavanjem [inlmath]P(-i)[/inlmath] sa [inlmath]R(-i)[/inlmath] dobila si suvišnu jednačinu [inlmath]ai-b+c=3i[/inlmath] koja, kad se rastavi na realni i imaginarni deo, daje zapravo iste jednačine kao i jednačine koje slede iz [inlmath]P(i)=R(i)[/inlmath] (s tim što bi imaginarna jednačina bila pomnožena sa [inlmath](-1)[/inlmath] u odnosu na onu koja se dobije iz [inlmath]P(i)=R(-i)[/inlmath]). To jest, dobilo bi se [inlmath]-b+c=0[/inlmath] (što je identično jednačini koja se dobije za [inlmath]P(i)=R(i)[/inlmath]) i dobilo bi se [inlmath]ai=3i[/inlmath], što je identično jednačini [inlmath]-ai=-3i[/inlmath] koja se takođe dobije iz [inlmath]P(i)=R(i)[/inlmath], samo što je još pomnožena sa [inlmath](-1)[/inlmath].
Nađa je napisao:Da li možete Daniele da pojasnite kako je [inlmath]P(i)=R(i)[/inlmath] isto što i [inlmath]P(-i)=R(-i)[/inlmath]?(Hvala)
Evo i u opštem slučaju. Ako imaš polinom [inlmath]P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/inlmath], tada je [inlmath]P(i)=a_ni^n+a_{n-1}i^{n-1}+\cdots+a_3i^3+a_2i^2+a_1i+a_0[/inlmath], a što se tiče [inlmath]P(-i)[/inlmath]:
[dispmath]P(-i)=a_n(-i)^n+a_{n-1}(-i)^{n-1}+\cdots+a_3(-i)^3+a_2(-i)^2+a_1(-i)+a_0\\
P(-i)=(-1)^na_ni^n+(-1)^{n-1}a_{n-1}i^{n-1}+\cdots-a_3i^3+a_2i^2-a_1i+a_0[/dispmath] odakle se vidi da će svi sabirci s parnim indeksima i eksponentima biti jednaki odgovarajućim sabircima u [inlmath]P(i)[/inlmath] i biće realni, dok će svi sabirci s neparnim indeksima i eksponentima biti suprotnog znaka u odnosu na odgovarajuće sabirke u [inlmath]P(i)[/inlmath] i biće imaginarni. Ako se sad isto ovo razmišljanje primeni i na [inlmath]R(x)[/inlmath], zaključujemo da ćemo izjednačavanjem [inlmath]P(i)=R(i)[/inlmath] i izjednačavanjem [inlmath]P(-i)=R(-i)[/inlmath] dobiti dve jednačine čijim ćemo rastavljanjem na realne i imaginarne jednačine dobiti dve realne jednačine koje su identične, i dve imaginarne jednačine koje se međusobno razlikuju po znaku, a koje će takođe postati identične ako jednu od njih pomnožimo sa [inlmath](-1)[/inlmath].
Nađa je napisao:Nisam dobila baš potpuno iste jednačine, razlikuju se po znaku...
E, ova ti je dobra.
'Ajde, ako ćemo da cepidlačimo, nisu baš potpuno iste, razlikuju se po znaku, ali ako bilo koju od te dve jednačine pomnožiš sa [inlmath](-1)[/inlmath] dobićeš dve potpuno iste jednačine, zar ne?
Drugim rečima, te dve jednačine su linearno zavisne, što znači da druga ne daje nikakvu novu informaciju u odnosu na prvu.
Nađa je napisao:Ako umesto [inlmath]x_3[/inlmath] napišem [inlmath]0[/inlmath]
Sistem postaje
[dispmath]x_4+x_5=0\\
-x_4\enclose{box}{-x_5}=0\\
x_4x_5=4\\
-x_4x_5=-4[/dispmath] Sad kao marker uzela sam [inlmath]-x_5[/inlmath]
Kada se sabere druga jednačina sa prvom dobije se [inlmath]0=0[/inlmath] što je uvek tačno, sistem je neodređen?
Pa dobro, zar ne vidiš odmah da je druga jednačina ista kao prva (samo pomnožena s [inlmath](-1)[/inlmath]) i da je četvrta jednačina ista kao treća (samo pomnožena s [inlmath](-1)[/inlmath]), i da, samim tim, drugu i četvrtu možeš eliminisati? Naravno da ćeš sabiranjem prve i druge dobiti [inlmath]0=0[/inlmath] (što bi takođe dobila i sabiranjem treće i četvrte).
Molim te, razmisli dobro pre nego što javno, na forumu, napišeš... ovako nešto.
Sistem
nije neodređen, jer, nakon eliminacije druge i četvrte jednačine, ostaju prva i treća koje su međusobno nezavisne i imaš sistem od dve jednačine s dve nepoznate, koji se može rešiti.
Nađa je napisao:Kada saberem drugu jednačinu sa trećom a potom četvrtom dobijem
[dispmath]-x_4-x_5+\enclose{box}{x_4x_5}=4\\
-x_4-x_5-x_4x_5=-4[/dispmath] Sada kada te dve jednačine saberem dobijem da je [inlmath]x_4=-x_5[/inlmath]
To bi isto dobila i iz prve jednačine sistema, [inlmath]x_4+x_5=0[/inlmath], ako bi [inlmath]x_5[/inlmath] prebacila na desnu stranu.
Nađa je napisao:Uradila sam kako je Corba248 predložio preko bikvadratne jednačine, i treba za četvrto i peto rešenje da se dobije [inlmath]2i[/inlmath] i [inlmath]-2i[/inlmath].
Sad
[dispmath]x_4=-x_5\\
-x_4-x_5+x_4x_5=4[/dispmath] Zameniću [inlmath]x_4[/inlmath] sa [inlmath]-x_5[/inlmath] i dobije se [inlmath]x^2_5=-4[/inlmath] i sad [inlmath]x_5[/inlmath] je ili [inlmath]2i[/inlmath] ili [inlmath]-2i[/inlmath].
Šta da radim sa [inlmath]0=0[/inlmath]?
Ništa. Dobila si da je [inlmath]x_1=1[/inlmath], [inlmath]x_2=-1[/inlmath], [inlmath]x_3=0[/inlmath], za [inlmath]x_5[/inlmath] si dobila [inlmath]\pm2i[/inlmath]. Ako za [inlmath]x_5[/inlmath] uzmeš [inlmath]2i[/inlmath] tada će [inlmath]x_4[/inlmath] biti [inlmath]-2i[/inlmath] i obratno, ako za [inlmath]x_5[/inlmath] uzmeš [inlmath]-2i[/inlmath] tada će [inlmath]x_4[/inlmath] biti [inlmath]2i[/inlmath]. Potpuno svejedno. Nisu bitne oznake rešenja, bitna su rešenja, a ovde će konjugovano kompleksni par rešenja svakako biti [inlmath]2i[/inlmath] i [inlmath]-2i[/inlmath].
Opet kažem, ovaj zadatak zaista nema potrebe raditi preko Vietovih formula, osim ako ne želimo da namerno iskomplikujemo.