Stranica 1 od 2

Odrediti koeficijent uz x

PostPoslato: Sreda, 05. Jun 2013, 12:53
od blake
Ovo ne znan i dalje :zvrko:

15. Polinom [inlmath]f\left(x\right)=\left(3x+2\right)^7\left(x-1\right)^7[/inlmath] zapisan je u standardnome obliku.
Koliko iznosi koeficijent uz [inlmath]x[/inlmath] u tome zapisu?
Napomena: Standardan oblik polinoma je [inlmath]f\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_2x^2+a_1x+a_0[/inlmath],
gdje su koeficijenti [inlmath]a_0,a_1,\dots,a_n[/inlmath] realni brojevi.

[inlmath]A.\;-1307\\
\enclose{box}{B.\;-448}\\
C.\;348\\
D.\;1207[/inlmath]

Re: Odrediti koeficijent uz x

PostPoslato: Sreda, 05. Jun 2013, 18:53
od Daniel
Kad imamo proizvod dva polinoma
[dispmath]\left(a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots +a_2x^2+a_1x+a_0\right)\left(b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots +b_2x^2+b_1x+b_0\right)[/dispmath]dobijamo, naravno, novi polinom[dispmath]\left(c_{m+n}x^{m+n}+c_{{m+n}-1}x^{{m+n}-1}+\cdots +c_2x^2+c_1x+c_0\right)[/dispmath]kod kojeg će koeficijent uz linearni član, [inlmath]c_1[/inlmath], biti jednak [inlmath]a_1b_0+a_0b_1[/inlmath]. Potrebno je, znači, odrediti [inlmath]a_0[/inlmath], [inlmath]a_1[/inlmath], [inlmath]b_0[/inlmath] i [inlmath]b_1[/inlmath].[dispmath]a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots +a_2x^2+a_1x+a_0=\left(3x+2\right)^7[/dispmath][dispmath]a_k={7\choose{7-k}}3^k2^{7-k}[/dispmath][dispmath]a_0={7\choose 7}3^0\cdot 2^7\mathop=1\cdot 1\cdot 128\mathop=128[/dispmath][dispmath]a_1={7\choose 6}3^1\cdot 2^6\mathop=7\cdot 3\cdot 64\mathop=1344[/dispmath][dispmath]b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots +b_2x^2+b_1x+b_0=\left(x-1\right)^7[/dispmath][dispmath]b_k={7\choose{7-k}}1^k\left(-1\right)^{7-k}={7\choose{7-k}}\left(-1\right)^{7-k}[/dispmath][dispmath]b_0={7\choose 7}\left(-1\right)^7=-1[/dispmath][dispmath]b_1={7\choose 6}\left(-1\right)^6\mathop=7[/dispmath][dispmath]c_1=a_1b_0+a_0b_1[/dispmath][dispmath]c_1\mathop=1344\cdot\left(-1\right)+128\cdot 7[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{c_1=-448}[/dispmath]

Re: Odrediti koeficijent uz x

PostPoslato: Petak, 07. Jun 2013, 15:26
od vasto
hahahh ovaj sam odokativno pogodio ali onaj 14 nisam sa konveksnim cetverokutom , tu sam malo zeznuo :D

Re: Odrediti koeficijent uz x

PostPoslato: Petak, 07. Jun 2013, 21:00
od blake
:laughing-rolling:
J*bi se, zašto ja ne mogu točno pogodit :crying-blue: :mrgreen:

Daniel je napisao:[dispmath]b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots +b_2x^2+b_1x+b_0=\left(3x+2\right)^7[/dispmath][dispmath]b_k={7\choose{7-k}}1^k\left(-1\right)^{7-k}={7\choose{7-k}}\left(-1\right)^{7-k}[/dispmath]

Ovo smo gledali za [inlmath](x-1)^7[/inlmath] zapravo?
I dosta je zeznuto ovo :slin:

Re: Odrediti koeficijent uz x

PostPoslato: Petak, 07. Jun 2013, 21:12
od Daniel
blake je napisao:Ovo smo gledali za [inlmath](x-1)^7[/inlmath] zapravo?

Da, da... greška u kucanju... Posledica toga što većinu radim s copy/paste... :P :bonk:
Hvala na opasci, sad ću ispraviti.

Re: Odrediti koeficijent uz x

PostPoslato: Petak, 07. Jun 2013, 21:46
od blake
Daniel je napisao:kod kojeg će koeficijent uz linearni član, [inlmath]c_1[/inlmath], biti jednak [inlmath]a_1b_0+a_0b_1[/inlmath]. Potrebno je, znači, odrediti [inlmath]a_0[/inlmath], [inlmath]a_1[/inlmath], [inlmath]b_0[/inlmath] i [inlmath]b_1[/inlmath].

Zašto ovako unakrsno? Ne mogu baš zadržat koncenctraciju pa da pogledom sve skužim, ja bi naivno stavia [inlmath]a_0b_0+a_1b_1[/inlmath]

Re: Odrediti koeficijent uz x

PostPoslato: Petak, 07. Jun 2013, 22:11
od Daniel
Polinome, kao što znaš, množimo tako što svaki član jednog polinoma množimo svakim članom drugog polinoma.
E sad, kad kvadratni član nekog polinoma (onaj što sadrži [inlmath]x^2[/inlmath]) množimo bilo kojim članom drugog polinoma, ne možemo nikada dobiti linearni član (onaj što sadrži [inlmath]x[/inlmath]), već samo možemo dobiti članove [inlmath]2.[/inlmath] ili višeg stepena.
Takođe, linearni član ne možemo dobiti ni kada član [inlmath]3.[/inlmath] stepena prvog polinoma množimo bilo kojim članom drugog polinoma.
Isto važi i za članove četvrtog, petog itd. stepena.
Znači, kao „kandidati“ među članovima prvog polinoma koji bi, množenjem nekim od članova drugog polinoma mogli dati linearan član, ostaju samo linearan (ako bi se množio slobodnim članom drugog polinoma) i slobodan član (ako bi se množio linearnim članom drugog polinoma).
Pošto su ovde
[inlmath]a_1[/inlmath] – koeficijent uz linearan član prvog polinoma
[inlmath]a_0[/inlmath] – slobodan član prvog polinoma
[inlmath]b_1[/inlmath] – koeficijent uz linearan član drugog polinoma
[inlmath]b_0[/inlmath] – slobodan član drugog polinoma
tada će jedine dve kombinacije koje će dati linearan član biti [inlmath]a_1b_0[/inlmath] i [inlmath]a_0b_1[/inlmath]. Kad se te dve vrednosti saberu, dobije se taj, što ti kažeš, „unakrsni“ izraz [inlmath]a_1b_0+a_0b_1[/inlmath].

Kombinacija u kojoj bismo linearan član jednog polinoma množili linearnim članom drugog otpada, jer bismo tada dobili kvadratni član, koji nam ovde nije od značaja. Zato nam proizvod [inlmath]a_1b_1[/inlmath] ne znači ništa. Isto važi i za kombinaciju u kojoj bismo slobodan član jednog polinoma množili slobodnim članom drugog, jer bismo tada opet dobili slobodan član. Zato nam ni proizvod [inlmath]a_0b_0[/inlmath] nije od interesa.

Re: Odrediti koeficijent uz x

PostPoslato: Sreda, 10. Jul 2019, 15:27
od ivaivaiva
Kako bi se radilo da je trazen koeficijent nekog veceg stepena [inlmath]x[/inlmath]?

Re: Odrediti koeficijent uz x

PostPoslato: Sreda, 10. Jul 2019, 16:00
od ivaivaiva
Polinom [inlmath]f\left(x\right)=\left(1-4x\right)^6\left(1+3x^2\right)^8[/inlmath]
Koliko iznosi koeficijent uz [inlmath]x^9[/inlmath] u tome zapisu?
Kad pokusam da resim kao ovaj gore zadatak,imam nesto puno brojeva.. tj kad pravim kombinacije [inlmath]x^9[/inlmath] :o

Re: Odrediti koeficijent uz x

PostPoslato: Sreda, 10. Jul 2019, 20:15
od Jovan111
Pozdrav! Da, zaista se i dobija veliki broj, i to [inlmath]-3\:619\:728[/inlmath], što bi trebalo da je rešenje (ako ti imaš rešenje, trebalo bi da ga podeliš ovde). Da li si i ti dobila ovaj broj?