Dvostruke nule polinoma

PostPoslato: Utorak, 14. Novembar 2017, 14:48
od markoskoric916
Odrediti brojeve [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] tako da polinom [inlmath]P(x)=x^4+a\cdot x^3+b\cdot x^2-8\cdot x+4[/inlmath] ima dvostruke nule i odrediti ih, mene interesuje viste tekst zadatka. Kada kaze dvostruke nule da li se misli da ima dvije dvostruke nule odnosno, [inlmath]x_1=x_2[/inlmath] i [inlmath]x_3=x_4[/inlmath], ako ovo vazi lako je uraditi zadatak, ali ako vazi da je [inlmath]x_1=x_2[/inlmath], dosta teze.

Re: Dvostruke nule polinoma

PostPoslato: Utorak, 14. Novembar 2017, 17:21
od miletrans
Opet LaTex... Bar je za ovakve stvari jednostavno. Samo staviš svoj polinom između odgovarajućih tagova i to je to.

Što se tiče teksta zadatka, ja ga shvatam kao da polinom ima dve dvostruke nule, odnosno da je [inlmath]x_1=x_2[/inlmath] i [inlmath]x_3=x_4[/inlmath]. U tekstu piše da polinom "...ima dvostrukE nulE...", što znači da mora da ih ima bar dve. Pošto je polinom četvrtog stepena, on će imati četiri nule, odnosno sa ovako definisanim zadatkom "dva para" dvostrukih nula.

Re: Dvostruke nule polinoma

PostPoslato: Utorak, 14. Novembar 2017, 17:24
od markoskoric916
Pa i ja sam tako shvatio zadatak, ali znas i sam nikada nisi siguran sta su oni mislili a kada ih pitas na ispitu, kazu sve ti pise, i inace hvala!

Re: Dvostruke nule polinoma

PostPoslato: Utorak, 14. Novembar 2017, 18:46
od Subject
Ako sam dobro uradio zadatak trazene nule polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath] su: [inlmath]x_{12}=1+i[/inlmath] i [inlmath]x_{34}=1-i[/inlmath] odakle su i konstante [inlmath]a=-4[/inlmath] i [inlmath]b=8[/inlmath] za vrednost [inlmath]x_1x_2=2[/inlmath] jer primenom Vijetovih formula, iz zadnjeg izraza bice: [inlmath]x_1x_2=2[/inlmath] i [inlmath]x_1x_2=-2[/inlmath]. Ostale Vijetove formule su u obliku:
[dispmath]2x_1+2x_2=-a[/dispmath][dispmath]x_1x_2+x_1^2+x_1x_2+x_1x_2+x_2^2+x_1x_2=b[/dispmath][dispmath]x_1^2x_2+x_1x_2^2+x_1^2x_2+x_1x_2^2=8[/dispmath][dispmath]x_1^2x_2^2=4[/dispmath] gde ocigledno vazi [inlmath]x_1=x_3[/inlmath] i [inlmath]x_2=x_4[/inlmath] po uslovu zadatka. Treba samo da se resi sistem jednacina.
Inace za [inlmath]x_1x_2=-2[/inlmath] dobija se [inlmath]a=4[/inlmath] i [inlmath]b=0[/inlmath] odakle su nule polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath]: [inlmath]x_{12}=-1-\sqrt3[/inlmath] i [inlmath]x_{34}=-1+\sqrt3[/inlmath]

Re: Dvostruke nule polinoma

PostPoslato: Utorak, 14. Novembar 2017, 19:14
od Subject
Upravo sam uvideo gresku... u zadnjem izrazu se dobija [inlmath]x_1^2x_2^2=-4[/inlmath], pa su onda vrednosti [inlmath]x_1x_2=2i[/inlmath], [inlmath]x_1x_2=-2i[/inlmath]. Inace princip resavanja sistema jednacina je isti, samo ima drugacije vrednosti za [inlmath]x_1x_2[/inlmath], a naravno i drugacije vrednosti nula i koeficijenata [inlmath]a,b[/inlmath].
Srednjvanjem, sistem postaje:
[dispmath]x_1+x_2=\frac{-a}{2}[/dispmath][dispmath]4x_1x_2+x_1^2+x_2^2=b[/dispmath][dispmath]x_1x_2(x_1+x_2)=4[/dispmath] odakle se traze resenja.

Re: Dvostruke nule polinoma

PostPoslato: Utorak, 14. Novembar 2017, 20:45
od Daniel
Subject je napisao:Upravo sam uvideo gresku... u zadnjem izrazu se dobija [inlmath]x_1^2x_2^2=-4[/inlmath],

Ne, ne, dobro ti je onako kako si prvobitno uradio. U opštem slučaju [inlmath]x_1x_2\cdots x_n=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}[/inlmath], tj. ovde je [inlmath]x_1x_2x_3x_4=x_1^2x_2^2=(-1)^4\cdot\frac{4}{1}=4[/inlmath].



@markoskoric916, budući da ti je već rečeno da treba da koristiš Latex, a da to pravilo i dalje uporno ignorišeš, dobio si trodnevni ban upozorenja (do 18.11.2017). Ukoliko i nakon toga budeš nastavio s kršenjem forumskih pravila, sledeći ban biće trajan.

Re: Dvostruke nule polinoma

PostPoslato: Utorak, 14. Novembar 2017, 20:53
od Subject
Daniel je napisao:Ne, ne, dobro ti je onako kako si prvobitno uradio. U opštem slučaju [inlmath]x_1x_2\cdots x_n=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}[/inlmath], tj. ovde je [inlmath]x_1x_2x_3x_4=x_1^2x_2^2=(-1)^4\cdot\frac{4}{1}=4[/inlmath].

ehh...Pa da, to sam imao u vidu kad sam prvi put radio zadatak, ali sam nesto izgleda prebacio posle. :unsure:
Nema veze, vazno mi da sam bio razumljiv... :lol:

Re: Dvostruke nule polinoma

PostPoslato: Četvrtak, 16. Novembar 2017, 15:45
od Daniel
Predložio bih i način bez Vietovih formula (od viška načina ne boli glava – bar ne bi trebalo). Pošto su dve nule dvostruke, a koeficijent uz vodeći član jednak jedinici, polinom [inlmath]P(x)[/inlmath] se može faktorisati kao:
[dispmath]P(x)=\left(x^2+px+q\right)^2[/dispmath] a zatim se, razvijanjem ovog izraza i upoređivanjem koeficijenata s onima u zadatom obliku, dolazi do sistema jednačina
[dispmath]2p=a\\
p^2+2q=b\\
2pq=-8\\
q^2=4[/dispmath] koji se sasvim lako rešava. Potrebno je samo pretpostaviti dva slučaja, za [inlmath]q=-2[/inlmath] i za [inlmath]q=2[/inlmath].

[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]q=-2[/inlmath]
Dobijaju se rešenja [inlmath](a,b,p,q)=(4,0,2,-2)[/inlmath], pa je traženi polinom jednak [inlmath]P(x)=x^2+4x^3-8x+4[/inlmath], a pošto će njegov oblik [inlmath]P(x)=\left(x^2+px+q\right)^2[/inlmath] sada glasiti [inlmath]P(x)=\left(x^2+2x-2\right)^2[/inlmath], njegove dvostruke nule se mogu odrediti rešavanjem kvadratne jednačine [inlmath]x^2+2x-2=0[/inlmath] i one iznose [inlmath]-1\pm\sqrt3[/inlmath].

[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]q=2[/inlmath]
Dobijaju se rešenja [inlmath](a,b,p,q)=(-4,8,-2,2)[/inlmath], pa je traženi polinom jednak [inlmath]P(x)=x^2-4x^3+8x^2-8x+4[/inlmath], a pošto će njegov oblik [inlmath]P(x)=\left(x^2+px+q\right)^2[/inlmath] sada glasiti [inlmath]P(x)=\left(x^2-2x+2\right)^2[/inlmath], njegove dvostruke nule se mogu odrediti rešavanjem kvadratne jednačine [inlmath]x^2-2x+2=0[/inlmath] i one iznose [inlmath]1\pm i[/inlmath].