Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA POLINOMI

Polinomi – zadaci

[inlmath]P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0[/inlmath]

Polinomi – zadaci

Postod sevdah baby » Petak, 14. Jun 2013, 02:13

1. Jednačina [inlmath]2x^3+3x^2-12x=a,\;a\in\mathbb{R}[/inlmath] ima sva tri rešenja realna i međusobno različita, ako i samo ako vrednost realnog parametra [inlmath]a[/inlmath] pripada?
2. Proizvod svih rešenja jednačine [inlmath]\frac{x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)}{x-2+\left|x-2\right|}=0[/inlmath] je?
3. Zbir svih rešenja jednačine [inlmath]\frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\left(x-5\right)\left(x-6\right)}{\log\left(\frac{x}{3}-1\right)}=0[/inlmath] je?
4. Ako polinom [inlmath]x^4-x^3+ax^2+bx+c[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath]x^3+2x^2-3x+1[/inlmath] daje ostatak [inlmath]3x^2-2x+1[/inlmath] tada je [inlmath]\left(a+b\right)c[/inlmath]?
5. Realan broj [inlmath]a[/inlmath] za koji je polinom [inlmath]P\left(x\right)=x^4+ax^2+x-6[/inlmath] deljiv sa polinomom [inlmath]x+2[/inlmath] je?
6. Ako je jedan koren polinoma [inlmath]x^3-2x+a,\;a\in\mathbb{R}[/inlmath] kompleksan broj [inlmath]1+i,\;i^2=-1[/inlmath], onda je realan koren tog polinoma jednak?
7. Jednačina [inlmath]x^3+x^2+ax+b=0,\;\left(a,b\in\mathbb{R}\right)[/inlmath], ima rešenja [inlmath]1-\sqrt 2[/inlmath] i [inlmath]1+\sqrt 2[/inlmath]. Proizvod svih rešenja date jednačine je?
8. Ako je broj [inlmath]3[/inlmath] ostatak pri deljenju polinoma [inlmath]P\left(x\right)=x^5+6x^3+12x^2+ax+b[/inlmath] polinomom [inlmath]Q\left(x\right)=x^2+x-2[/inlmath], onda je [inlmath]a+3b[/inlmath]?

isto vise zadataka :D
 
Postovi: 40
Zahvalio se: 6 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Polinomi – zadaci

Postod Milovan » Subota, 15. Jun 2013, 06:22

1. Pročitaj ovaj tutorijal. Treba diskriminanta da bude manja od nule.
2. Jednačina je zadovljena ako je brojilac nula, a imenilac definisan. Nule iz brojioca se same nameću, [inlmath]0,1,2,3,4[/inlmath]. Proveri da li je imenilac definisan za sve te brojeve (ne sme biti nula).
3. Potpuno isto, samo su vrednosti [inlmath]2,3,4,5,6[/inlmath] i paziš da li je logaritam definisan za sve to.
4. Podeli, i uporedi koeficijente.
5. [inlmath]P(-2)=0[/inlmath]. Dobijaš lineranu jednačinu sa jednom nepoznatom po [inlmath]a[/inlmath].
6. Imaš onu formulu za proizvod nula polinoma... Ima ih tri, jedna data, a pošto je kompleksno rešenje u pitanju, onda je [inlmath]\overline{z}[/inlmath] (konjugovano [inlmath]z[/inlmath]) rešenje. Dva imaš, proizvod znaš dva i sva tri, nađeš treće...
7. [inlmath]P\left(1-\sqrt{2}\right)=0,\;P\left(1+\sqrt{2}\right)=0[/inlmath] i odatle dobijaš sistem sa dve jednačine i dve nepoznate.
8. Podeli, uporedi koeficijente.
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 698 puta

Re: Polinomi – zadaci

Postod ivzo » Subota, 15. Jun 2013, 16:17

U 3. zadatku koja je definisanost za logaritam?
Ja dobijem da je [inlmath]x>3[/inlmath] i to bi bilo rešenje [inlmath]4+5+6=15[/inlmath],
ali nije tako, rešenje je [inlmath]9[/inlmath].
Gde grešim? :)
ivzo  OFFLINE
 
Postovi: 60
Zahvalio se: 36 puta
Pohvaljen: 10 puta

  • +2

Re: Polinomi – zadaci

Postod Daniel » Nedelja, 16. Jun 2013, 00:26

Definisanost za sam logaritam jeste [inlmath]x>3[/inlmath], ali treba još uzeti u obzir i to, da imenilac ne sme biti nula, tj. da argument logaritma ne sme biti [inlmath]1[/inlmath], tj. [inlmath]\frac{x}{3}-1\ne 1[/inlmath]. Tako da se dobije uslov [inlmath]x>3,\;x\ne 6[/inlmath]. Znači, rešenja su [inlmath]x=4[/inlmath] i [inlmath]x=5[/inlmath].

A za [inlmath]7.[/inlmath] zadatak mislim da bi lakši način bio da se polinom napiše u obliku [inlmath]\left(x-1+\sqrt 2\right)\left(x-1-\sqrt 2\right)\left(x-x_3\right)[/inlmath], pa je to [inlmath]\left[\left(x-1\right)^2-2\right]\left(x-x_3\right)[/inlmath], to se zatim razvije i uporede koeficijenti uz odgovarajuće članove...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7936
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4141 puta
Pohvaljen: 4220 puta

  • +1

Re: Polinomi – zadaci

Postod stevan95 » Subota, 12. April 2014, 18:39

sevdah baby je napisao:7. Jednačina [inlmath]x^3+x^2+ax+b=0,\;\left(a,b\in\mathbb{R}\right)[/inlmath], ima rešenja [inlmath]1-\sqrt 2[/inlmath] i [inlmath]1+\sqrt 2[/inlmath]. Proizvod svih rešenja date jednačine je?

Milovan je napisao:7. [inlmath]P\left(1-\sqrt{2}\right)=0,\;P\left(1+\sqrt{2}\right)=0[/inlmath] i odatle dobijaš sistem sa dve jednačine i dve nepoznate.

Pre nego što sam video ovu temu, probao sam ovaj zadatak da uradim preko Vijetovih veza:
[dispmath]x^3+x^2+ax+b=0[/dispmath][dispmath]a_0=1\\
a_1=1\\
a_2=a\\
a_3=b[/dispmath][dispmath]x_1+x_2+x_3=-\frac{1}{1}\\
1-\cancel{\sqrt2}+1+\cancel{\sqrt2}+x_3=-1\\
2+x_3=-1\\
x_3=-3\\
\\
x_1x_2x_3=\left(1-\sqrt 2\right)\left(1+\sqrt 2\right)(-3)=\left(1^2-\left(\sqrt 2\right)^2\right)(-3)=(1-2)(-3)=3[/dispmath]
A rešenje je [inlmath]-3[/inlmath].
Uključite logiku i uživajte u matematici! :D
stevanpetrov.wordpress.com
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 140
Lokacija: Vršac
Zahvalio se: 166 puta
Pohvaljen: 70 puta

  • +1

Re: Polinomi – zadaci

Postod Daniel » Subota, 12. April 2014, 19:27

Ne, rešenje upravo i jeste [inlmath]3[/inlmath], kao što si i dobio. ;)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7936
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4141 puta
Pohvaljen: 4220 puta

Re: Polinomi – zadaci

Postod stevan95 » Subota, 12. April 2014, 20:48

Aha, greska u zbirci.
Postaviću jedan zadatak ovde, pošto je iz iste zbirke.


Zadatak:
Ako je polinom [inlmath]x^3+x^2+ax+b[/inlmath] deljiv polinomom [inlmath]x^2+x+ab[/inlmath], onda je [inlmath]a+b[/inlmath] jednako?


Ovo je jedini zadatak na koji sam naleteo da ima više nepoznatih u deliocu, pa mi treba makar neka naznaka kako se rešava.
Uključite logiku i uživajte u matematici! :D
stevanpetrov.wordpress.com
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 140
Lokacija: Vršac
Zahvalio se: 166 puta
Pohvaljen: 70 puta

  • +1

Re: Polinomi – zadaci

Postod Daniel » Subota, 12. April 2014, 20:56

Podeliš [inlmath]x^3+x^2+ax+b[/inlmath] sa [inlmath]x^2+x+ab[/inlmath] i ostatak tog deljenja izjednačiš s nulom. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7936
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4141 puta
Pohvaljen: 4220 puta

Re: Polinomi – zadaci

Postod stevan95 » Nedelja, 13. April 2014, 18:17

Napravio sam malu grešku, u zadatku je [inlmath]2x^2[/inlmath], a ne [inlmath]x^2[/inlmath].
Krenuo sam ovako da radim:
[dispmath]\begin{array}{l}
-\begin{cases}\left(x^3+2x^2+ax+b\right):\left(x^2+x+ab\right)=x+1\\
\underline{x^3+x^2+abx}\end{cases}\\
\hspace{1cm}-\begin{cases}x^2-abx+ax+b\\
\underline{x^2+x+ab}\\
\end{cases}\\
\hspace{2.4cm}-x-ab-abx+ax+b
\hspace{0.5cm}
\Longrightarrow\hspace{0.5cm}\enclose{box}{x(-1-ab+a)+(b-ab)}
\end{array}[/dispmath]
E, sad, pošto je delilac drugog stepena, ostatak treba biti prvog stepena, tj. oblika [inlmath]ax+b[/inlmath], pa pretpostavljam da se tu zaustavljamo i uzimamo ovo gore kao ostatak. Je l' sam u pravu? Pitam, jer ne vidim šta bih iz ovoga mogao da izvučem kad ga izjednačim sa nulom. :unsure:
Uključite logiku i uživajte u matematici! :D
stevanpetrov.wordpress.com
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 140
Lokacija: Vršac
Zahvalio se: 166 puta
Pohvaljen: 70 puta

  • +1

Re: Polinomi – zadaci

Postod Daniel » Nedelja, 13. April 2014, 19:56

Da, ostatak ti je ovo što si uokvirio. E, sad, ostatak treba da je jednak nuli, tj. treba da je nula-polinom, a to je polinom kod koga su svi koeficijenti jednaki nuli. Kod polinoma koji si dobio, [inlmath]-1-ab+a[/inlmath] predstavlja koeficijent uz linearni član, tj. uz prvi stepen, a [inlmath]b-ab[/inlmath] predstavlja koeficijent uz nulti stepen, tj. slobodan koeficijent. Da bi taj ostatak koji si dobio bio nula-polinom, potrebno je da oba ta koeficijenta budu jednaka nuli. Znači, sistem od dve jednačine s dve nepoznate.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7936
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4141 puta
Pohvaljen: 4220 puta

Sledeća

Povratak na POLINOMI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 04. April 2020, 00:53 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs