Polinomi – zadaci

PostPoslato: Petak, 14. Jun 2013, 02:13
od sevdah baby
1. Jednačina [inlmath]2x^3+3x^2-12x=a,\;a\in\mathbb{R}[/inlmath] ima sva tri rešenja realna i međusobno različita, ako i samo ako vrednost realnog parametra [inlmath]a[/inlmath] pripada?
2. Proizvod svih rešenja jednačine [inlmath]\frac{x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)}{x-2+\left|x-2\right|}=0[/inlmath] je?
3. Zbir svih rešenja jednačine [inlmath]\frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\left(x-5\right)\left(x-6\right)}{\log\left(\frac{x}{3}-1\right)}=0[/inlmath] je?
4. Ako polinom [inlmath]x^4-x^3+ax^2+bx+c[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath]x^3+2x^2-3x+1[/inlmath] daje ostatak [inlmath]3x^2-2x+1[/inlmath] tada je [inlmath]\left(a+b\right)c[/inlmath]?
5. Realan broj [inlmath]a[/inlmath] za koji je polinom [inlmath]P\left(x\right)=x^4+ax^2+x-6[/inlmath] deljiv sa polinomom [inlmath]x+2[/inlmath] je?
6. Ako je jedan koren polinoma [inlmath]x^3-2x+a,\;a\in\mathbb{R}[/inlmath] kompleksan broj [inlmath]1+i,\;i^2=-1[/inlmath], onda je realan koren tog polinoma jednak?
7. Jednačina [inlmath]x^3+x^2+ax+b=0,\;\left(a,b\in\mathbb{R}\right)[/inlmath], ima rešenja [inlmath]1-\sqrt 2[/inlmath] i [inlmath]1+\sqrt 2[/inlmath]. Proizvod svih rešenja date jednačine je?
8. Ako je broj [inlmath]3[/inlmath] ostatak pri deljenju polinoma [inlmath]P\left(x\right)=x^5+6x^3+12x^2+ax+b[/inlmath] polinomom [inlmath]Q\left(x\right)=x^2+x-2[/inlmath], onda je [inlmath]a+3b[/inlmath]?

isto vise zadataka :D

Re: Polinomi – zadaci

PostPoslato: Subota, 15. Jun 2013, 06:22
od Milovan
1. Pročitaj ovaj tutorijal. Treba diskriminanta da bude manja od nule.
2. Jednačina je zadovljena ako je brojilac nula, a imenilac definisan. Nule iz brojioca se same nameću, [inlmath]0,1,2,3,4[/inlmath]. Proveri da li je imenilac definisan za sve te brojeve (ne sme biti nula).
3. Potpuno isto, samo su vrednosti [inlmath]2,3,4,5,6[/inlmath] i paziš da li je logaritam definisan za sve to.
4. Podeli, i uporedi koeficijente.
5. [inlmath]P(-2)=0[/inlmath]. Dobijaš lineranu jednačinu sa jednom nepoznatom po [inlmath]a[/inlmath].
6. Imaš onu formulu za proizvod nula polinoma... Ima ih tri, jedna data, a pošto je kompleksno rešenje u pitanju, onda je [inlmath]\overline{z}[/inlmath] (konjugovano [inlmath]z[/inlmath]) rešenje. Dva imaš, proizvod znaš dva i sva tri, nađeš treće...
7. [inlmath]P\left(1-\sqrt{2}\right)=0,\;P\left(1+\sqrt{2}\right)=0[/inlmath] i odatle dobijaš sistem sa dve jednačine i dve nepoznate.
8. Podeli, uporedi koeficijente.

Re: Polinomi – zadaci

PostPoslato: Subota, 15. Jun 2013, 16:17
od ivzo
U 3. zadatku koja je definisanost za logaritam?
Ja dobijem da je [inlmath]x>3[/inlmath] i to bi bilo rešenje [inlmath]4+5+6=15[/inlmath],
ali nije tako, rešenje je [inlmath]9[/inlmath].
Gde grešim? :)

Re: Polinomi – zadaci

PostPoslato: Nedelja, 16. Jun 2013, 00:26
od Daniel
Definisanost za sam logaritam jeste [inlmath]x>3[/inlmath], ali treba još uzeti u obzir i to, da imenilac ne sme biti nula, tj. da argument logaritma ne sme biti [inlmath]1[/inlmath], tj. [inlmath]\frac{x}{3}-1\ne 1[/inlmath]. Tako da se dobije uslov [inlmath]x>3,\;x\ne 6[/inlmath]. Znači, rešenja su [inlmath]x=4[/inlmath] i [inlmath]x=5[/inlmath].

A za [inlmath]7.[/inlmath] zadatak mislim da bi lakši način bio da se polinom napiše u obliku [inlmath]\left(x-1+\sqrt 2\right)\left(x-1-\sqrt 2\right)\left(x-x_3\right)[/inlmath], pa je to [inlmath]\left[\left(x-1\right)^2-2\right]\left(x-x_3\right)[/inlmath], to se zatim razvije i uporede koeficijenti uz odgovarajuće članove...

Re: Polinomi – zadaci

PostPoslato: Subota, 12. April 2014, 18:39
od stevan95
sevdah baby je napisao:7. Jednačina [inlmath]x^3+x^2+ax+b=0,\;\left(a,b\in\mathbb{R}\right)[/inlmath], ima rešenja [inlmath]1-\sqrt 2[/inlmath] i [inlmath]1+\sqrt 2[/inlmath]. Proizvod svih rešenja date jednačine je?

Milovan je napisao:7. [inlmath]P\left(1-\sqrt{2}\right)=0,\;P\left(1+\sqrt{2}\right)=0[/inlmath] i odatle dobijaš sistem sa dve jednačine i dve nepoznate.

Pre nego što sam video ovu temu, probao sam ovaj zadatak da uradim preko Vijetovih veza:
[dispmath]x^3+x^2+ax+b=0[/dispmath][dispmath]a_0=1\\
a_1=1\\
a_2=a\\
a_3=b[/dispmath][dispmath]x_1+x_2+x_3=-\frac{1}{1}\\
1-\cancel{\sqrt2}+1+\cancel{\sqrt2}+x_3=-1\\
2+x_3=-1\\
x_3=-3\\
\\
x_1x_2x_3=\left(1-\sqrt 2\right)\left(1+\sqrt 2\right)(-3)=\left(1^2-\left(\sqrt 2\right)^2\right)(-3)=(1-2)(-3)=3[/dispmath]
A rešenje je [inlmath]-3[/inlmath].

Re: Polinomi – zadaci

PostPoslato: Subota, 12. April 2014, 19:27
od Daniel
Ne, rešenje upravo i jeste [inlmath]3[/inlmath], kao što si i dobio. ;)

Re: Polinomi – zadaci

PostPoslato: Subota, 12. April 2014, 20:48
od stevan95
Aha, greska u zbirci.
Postaviću jedan zadatak ovde, pošto je iz iste zbirke.


Zadatak:
Ako je polinom [inlmath]x^3+x^2+ax+b[/inlmath] deljiv polinomom [inlmath]x^2+x+ab[/inlmath], onda je [inlmath]a+b[/inlmath] jednako?


Ovo je jedini zadatak na koji sam naleteo da ima više nepoznatih u deliocu, pa mi treba makar neka naznaka kako se rešava.

Re: Polinomi – zadaci

PostPoslato: Subota, 12. April 2014, 20:56
od Daniel
Podeliš [inlmath]x^3+x^2+ax+b[/inlmath] sa [inlmath]x^2+x+ab[/inlmath] i ostatak tog deljenja izjednačiš s nulom. :)

Re: Polinomi – zadaci

PostPoslato: Nedelja, 13. April 2014, 18:17
od stevan95
Napravio sam malu grešku, u zadatku je [inlmath]2x^2[/inlmath], a ne [inlmath]x^2[/inlmath].
Krenuo sam ovako da radim:
[dispmath]\begin{array}{l}
-\begin{cases}\left(x^3+2x^2+ax+b\right):\left(x^2+x+ab\right)=x+1\\
\underline{x^3+x^2+abx}\end{cases}\\
\hspace{1cm}-\begin{cases}x^2-abx+ax+b\\
\underline{x^2+x+ab}\\
\end{cases}\\
\hspace{2.4cm}-x-ab-abx+ax+b
\hspace{0.5cm}
\Longrightarrow\hspace{0.5cm}\enclose{box}{x(-1-ab+a)+(b-ab)}
\end{array}[/dispmath]
E, sad, pošto je delilac drugog stepena, ostatak treba biti prvog stepena, tj. oblika [inlmath]ax+b[/inlmath], pa pretpostavljam da se tu zaustavljamo i uzimamo ovo gore kao ostatak. Je l' sam u pravu? Pitam, jer ne vidim šta bih iz ovoga mogao da izvučem kad ga izjednačim sa nulom. :unsure:

Re: Polinomi – zadaci

PostPoslato: Nedelja, 13. April 2014, 19:56
od Daniel
Da, ostatak ti je ovo što si uokvirio. E, sad, ostatak treba da je jednak nuli, tj. treba da je nula-polinom, a to je polinom kod koga su svi koeficijenti jednaki nuli. Kod polinoma koji si dobio, [inlmath]-1-ab+a[/inlmath] predstavlja koeficijent uz linearni član, tj. uz prvi stepen, a [inlmath]b-ab[/inlmath] predstavlja koeficijent uz nulti stepen, tj. slobodan koeficijent. Da bi taj ostatak koji si dobio bio nula-polinom, potrebno je da oba ta koeficijenta budu jednaka nuli. Znači, sistem od dve jednačine s dve nepoznate.

Re: Polinomi – zadaci

PostPoslato: Petak, 30. Januar 2015, 16:18
od zlatna ribica
mozete li postupno da objasnite ovaj 4.zadatak od sevdah? :)

Re: Polinomi – zadaci

PostPoslato: Petak, 30. Januar 2015, 19:02
od ubavic
[inlmath]4.[/inlmath] Ako polinom [inlmath]x^4-x^3+ax^2+bx+c[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath]x^3+2x^2-3x+1[/inlmath] daje ostatak [inlmath]3x^2-2x+1[/inlmath] tada je [inlmath]\left(a+b\right)c[/inlmath]?
Prvo podelimo polinome:
[dispmath]\begin{array}{l} -\begin{cases}\left(x^4-x^3+ax^2+bx+c\right):\left(x^3+2x^2-3x+1\right)=x-3\\ \;\;\underline{x^4+2x^3-3x^2+x}\end{cases}\\ \hspace{1cm}-\begin{cases}-3x^3+(a+3)x^2+(b-1)x+c\\ \underline{-3x^3-6x^2+9x-3}\\ \end{cases}\\ \hspace{2cm} (a+9)x^2+(b-10)x+c+3 \end{array}[/dispmath]
Nadam se da nisam omašio u računu. Kako je ostatak [inlmath]3x^2-2x+1[/inlmath] oblika [inlmath](a+9)x^2+(b-10)x+c+3[/inlmath], zaključujemo da je [inlmath]a=-6,\;b=8,\;c=-2[/inlmath], pa je i [inlmath](a+b)c=(-6+8)\times(-2)=-4[/inlmath]

Re: Polinomi – zadaci

PostPoslato: Petak, 30. Januar 2015, 19:18
od zlatna ribica
sjajno! Hvala :D

Re: Polinomi – zadaci

PostPoslato: Nedelja, 01. Februar 2015, 15:39
od zlatna ribica
sevdah baby je napisao:6. Ako je jedan koren polinoma [inlmath]x^3-2x+a,\;a\in\mathbb{R}[/inlmath] kompleksan broj [inlmath]1+i,\;i^2=-1[/inlmath], onda je realan koren tog polinoma jednak?

kako ovo? Nikako ne mogu da se snadjem. Dobijem da je proizvod resenja [inlmath]-a[/inlmath] i ne znam sta dalje...

Re: Polinomi – zadaci

PostPoslato: Nedelja, 01. Februar 2015, 22:28
od zlatna ribica
mislim da sad znam kako, drugi kompleksan koren je [inlmath]1-i[/inlmath], ako ne gresim :)

Re: Polinomi – zadaci

PostPoslato: Nedelja, 01. Februar 2015, 22:47
od Daniel
To ti je i rečeno u ovom postu (prethodna strana):
Milovan je napisao:6. Imaš onu formulu za proizvod nula polinoma... Ima ih tri, jedna data, a pošto je kompleksno rešenje u pitanju, onda je [inlmath]\overline{z}[/inlmath] (konjugovano [inlmath]z[/inlmath]) rešenje. Dva imaš, proizvod znaš dva i sva tri, nađeš treće...

Primeniš Vietove formule, koje u opštem slučaju, za kubnu jednačinu [inlmath]a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=0[/inlmath], glase
[dispmath]x_1+x_2+x_2=-\frac{a_1}{a_0}\\
x_1x_2+x_1x_3+x_2x_2=\frac{a_2}{a_0}\\
x_1x_2x_3=-\frac{a_3}{a_0}[/dispmath]


Može i bez Vietovih formula (ali uz malo više posla), tako što polazni polinom napišeš u faktorisanom obliku, [inlmath]\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)=0[/inlmath], zatim umesto [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] uvrstiš poznate nule tog polinoma, izmnožiš sve to, grupišeš članove uz [inlmath]x^3[/inlmath], uz [inlmath]x^2[/inlmath], uz [inlmath]x[/inlmath], kao i slobodan član, pa zatim uporediš koeficijente s koeficijentima zadatog polinoma...

Re: Polinomi – zadaci

PostPoslato: Nedelja, 01. Februar 2015, 22:56
od zlatna ribica
hvala, snasla sam se vec :D

Re: Polinomi – zadaci

PostPoslato: Utorak, 14. April 2015, 23:36
od Gistro
Moze li neko da postavi izradu za prvi zadatak i uslove za drugi? Posto se resenja u drugom već nameću u brojiocu, sad imenilac i te apsolutne vrednosti mi predstavljaju problem ocito... Ostale zadatke sam odradio i skapirao.
Za prvi zadatak neko je stavio da [inlmath]D[/inlmath] treba da bude manje od [inlmath]0[/inlmath], mada ako su rešenja realna i različita zar ne bi trebalo [inlmath]D[/inlmath] da bude veće od [inlmath]0[/inlmath]?
Pozdrav od novog člana :)

Re: Polinomi – zadaci

PostPoslato: Sreda, 15. April 2015, 01:05
od desideri
Pozdrav i tebi, dobro došao na forum :thumbup: .
Gistro je napisao:Moze li neko da postavi izradu za prvi zadatak i uslove za drugi?

Molim te da pročitaš odgovore koje je dao @Milovan, u okviru ove teme.
Gistro je napisao:Za prvi zadatak neko je stavio da [inlmath]D[/inlmath] treba da bude manje od [inlmath]0[/inlmath], mada ako su rešenja realna i različita zar ne bi trebalo [inlmath]D[/inlmath] da bude veće od [inlmath]0[/inlmath]?

Nije "neko", to je stavio @Milovan i u pravu je, još jednom te molim da pročitaš tutorijal koji je preporučen.

Re: Polinomi – zadaci

PostPoslato: Sreda, 15. April 2015, 09:56
od Daniel
I od mene dobrodošlica. :)

Što se tiče 1. zadatka – rešenje koje je dao @Milovan zahteva poznavanje rešavanja kubne jednačine, ali ovaj zadatak se može rešiti i mnogo jednostavnije, ako se posmatra grafička interpretacija:

grafik.png
grafik.png (2.18 KiB) Pogledano 389 puta

Levu stranu jednačine posmatramo kao jednu funkciju, [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath], a desnu stranu kao drugu funkciju, [inlmath]g\left(x\right)[/inlmath]. Jednačina [inlmath]f\left(x\right)=g\left(x\right)[/inlmath] imaće onoliko realnih i različitih rešenja koliko grafici te dve funkcije imaju zajedničkih tačaka.

Funkcija [inlmath]g\left(x\right)[/inlmath] je nepromenljiva pri promeni [inlmath]x[/inlmath] i njena vrednost je jednaka parametru [inlmath]a[/inlmath], tj. [inlmath]g\left(x\right)=a[/inlmath]. Njen grafik je horizontalna prava (prava paralelna s [inlmath]x[/inlmath]-osom) i s porastom parametra [inlmath]a[/inlmath] ta prava se translira nagore i obratno. Da bi funkcije [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] i [inlmath]g\left(x\right)[/inlmath] imale tri zajedničke tačke (i time jednačina [inlmath]f\left(x\right)=g\left(x\right)[/inlmath] imala tri realna i različita rešenja), sa grafika je očigledno da se parametar [inlmath]a[/inlmath] mora nalaziti između minimalne i maksimalne vrednosti funkcije [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath]. Potrebno je, znači, odrediti [inlmath]f_\min\left(x\right)[/inlmath] i [inlmath]f_\max\left(x\right)[/inlmath], a to se postiže uobičajenim traženjem ekstrema – izjednačavanjem prvog izvoda funkcije [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] s nulom...



Za 2. zadatak je @Milovan dao sasvim korektno, a i vrlo jasno i detaljno uputstvo. Ako ti nešto iz tog uputstva ipak nije jasno, napiši nam ovde dokle si stigao s postupkom i pomoći ćemo ti da nastaviš...

Re: Polinomi – zadaci

PostPoslato: Sreda, 15. April 2015, 14:05
od Gistro
Okej, znači kod kubne jednačine horizontalna prava [inlmath]g(x)[/inlmath] na tri mesta dodiruje funkciju [inlmath]f(x)[/inlmath] samo kada se nalazi između min i max te f-je. I nije neophodno da znam grafik, odmah radim izvod, tražim nule i menjam u početnoj dobijena rešenja?
Pročito sam i Milovanovo objašnjenje drugog zadatka.
[dispmath]x-2+|x-2|\ne0[/dispmath]
Dobijem da [inlmath]x[/inlmath] ne sme biti [inlmath]2[/inlmath], ali za [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] ne znam kako da dobijem jer je rešenje [inlmath]12[/inlmath], pošto se traži proizvod svih rešenja jednačine. :unsure:
Zahvaljujem :)

Re: Polinomi – zadaci

PostPoslato: Sreda, 15. April 2015, 16:02
od desideri
Milovan je napisao:2. Jednačina je zadovljena ako je brojilac nula, a imenilac definisan. Nule iz brojioca se same nameću, [inlmath]0,1,2,3,4[/inlmath]. Proveri da li je imenilac definisan za sve te brojeve (ne sme biti nula).

E sad ti si napisao:
Gistro je napisao:[dispmath]x-2+|x-2|\ne0[/dispmath]

Da ponovim ovo Milovanovo:
Menjaj redom [inlmath]0,1,2,3,4[/inlmath]
uslov ti je zadovoljen samo za [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath].
Ja koliko znam:
[dispmath]3\cdot4=12[/dispmath]
Toliko od mene, pozdrav.

Re: Polinomi – zadaci

PostPoslato: Sreda, 15. April 2015, 23:40
od Gistro
Jašta, sta li sam ja pokušavao Gaus će ga znati... :mhm:
Zahvaljujem se puno na brzim, jasnim i tačnim odgovorima, i sad pošto su polinomi kompletirani mogu na iracionalne da se bacim ;)
Uzdravlje :rozi: