Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA POLINOMI

Deljenje polinoma – prijemni FON 2018.

[inlmath]P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0[/inlmath]

Moderatori: Corba248, Jovan111

Deljenje polinoma – prijemni FON 2018.

Postod NaniSore » Nedelja, 17. Februar 2019, 14:51

Prijemni ispit FON – 26. jun 2018.
5. zadatak


Ako je ostatak pri deljenju polinoma [inlmath]x^{2018}−ax^{2017}+bx^{2015}+c[/inlmath] polinomom [inlmath]x^3−x^2+x−1[/inlmath] jednak [inlmath]ax+b[/inlmath], gde su [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] realni brojevi, onda je vrednost izraza [inlmath]a−b+c[/inlmath] jednaka:
[inlmath]A)\;\frac{5}{2};\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;0;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{C)}\;\frac{3}{2};\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;1;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;−\frac{3}{2}.[/inlmath]

Pripremam se za prijemni na FON-u. Ovaj zadatak je sličan kombinacji zadaka 807 i 818 (venova zbika 1) ali ja znam da resim ova dva ali ne i ovaj.

Hvala.
Poslednji put menjao Daniel dana Ponedeljak, 18. Februar 2019, 01:15, izmenjena samo jedanput
Razlog: Prekucavanje zadatka sa linka
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Deljenje polinoma – prijemni FON 2018.

Postod miletrans » Nedelja, 17. Februar 2019, 16:47

Pozdrav i dobrodošlica. Ovo je jedan od tipičnih zadataka u kome je potrebno iskoristiti Bezuov stav. Pretpostavimo da polinom [inlmath]P(x)[/inlmath] delimo polinomom [inlmath]Q(x)[/inlmath] i pri tome kao ostatak dobijemo polinom [inlmath]R(x)[/inlmath]. U kakvoj su vezi nule polinoma [inlmath]Q(x)[/inlmath] i polinom [inlmath]P(x)[/inlmath]? Drugim rečima, šta dobijemo ako u polinom [inlmath]P(x)[/inlmath] uvrstimo nule polinoma [inlmath]Q(x)[/inlmath]?

P.S. Autor verovatno najpoznatijih i najkorišćenijih srednjoškolskih zbirki zadataka iz matematike se zvao Vene, pa je pravilno reći Veneove zbirke, a ne Venove.
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 274
Zahvalio se: 36 puta
Pohvaljen: 288 puta

Re: Deljenje polinoma – prijemni FON 2018.

Postod NaniSore » Ponedeljak, 18. Februar 2019, 12:21

miletrans je napisao:Pozdrav i dobrodošlica.

Hvala.

miletrans je napisao:Ovo je jedan od tipičnih zadataka u kome je potrebno iskoristiti Bezuov stav.

Ja ne znam kako da ovde primenim Bezuov stav posto [inlmath]Q(x)[/inlmath] nije u formi [inlmath]x-a[/inlmath].

miletrans je napisao:U kakvoj su vezi nule polinoma [inlmath]Q(x)[/inlmath] i polinom [inlmath]P(x)[/inlmath]? Drugim rečima, šta dobijemo ako u polinom [inlmath]P(x)[/inlmath] uvrstimo nule polinoma [inlmath]Q(x)[/inlmath]?

[inlmath]x^3-x^2+x-1[/inlmath] rastavim na cinioce pa imam [inlmath](x-1)\left(x^2+1\right)[/inlmath]. Odatle imam tri nule posto je polinom treceg stepena: [inlmath]x=1[/inlmath], [inlmath]x=i[/inlmath], [inlmath]x=-i[/inlmath]. Onda imam [inlmath]p(-1)=1+a-b+c[/inlmath], [inlmath]P(i)=-1-ai-bi+c[/inlmath], [inlmath]P(-i)=-1-ai+bi+c[/inlmath] (ovo sam racuno pre dorucka vrv sam negde pogresio u znaku). I ne znam sta sada. Blizu sam samo mi treba ta jedna jednakost za koju ne znam i da se sracuna. Hvala.
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Deljenje polinoma – prijemni FON 2018.

Postod Jovan111 » Ponedeljak, 18. Februar 2019, 15:21

Pošto si našao nule, trebalo bi da znaš da za deljenje polinoma važi teorema o ostatku (s kojom si, nadam se, upoznat) i to (u našem slučaju) u obliku:
[dispmath]x^{2018}-a\cdot x^{2017}+b\cdot x^{2015}+c=\left(x^3-x^2+x-1\right)\cdot Q(x)+ax+b[/dispmath] gde je [inlmath]Q(x)[/inlmath] količnik pri deljenju [inlmath]x^{2018}-a\cdot x^{2017}+b\cdot x^{2015}+c[/inlmath] sa [inlmath]x^3-x^2+x-1[/inlmath]. Pošto [inlmath]Q(x)[/inlmath] ne znamo (a i kad bismo ga našli, bio bi to polinom stepena [inlmath]2015[/inlmath]), tražimo nule polinoma [inlmath]x^3-x^2+x-1[/inlmath] (koje si ti već našao) i njihovim uvrštavanjem dobijamo sistem (napominjem da je za tako nešto dovoljno uvrstiti realnu nulu i samo jednu od dve konjugovano-kompleksne, jer bi obe dale iste jednačine).
[dispmath]x_1=1:\hspace{5mm}1-a+b+c=0\cdot Q(x)+a+b[/dispmath][dispmath]x_2=i:\hspace{5mm}i^{2018}-a\cdot i^{2017}+b\cdot i^{2015}+c=0\cdot Q(x)+ai+b[/dispmath] Iz osobine jednakosti kompleksnih brojeva dobija se sistem od tri jednačine sa tri nepoznate:
[dispmath]2a-c=1\;\land\;b+1-c=0\;\land\;2a+b=0[/dispmath][dispmath]\vdots[/dispmath][dispmath]a=\frac{1}{2},\;b=-1,\;c=0[/dispmath] Konačno je odgovor na pitanje zadatka da je vrednost izraza:
[dispmath]a-b+c=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}[/dispmath]
Korisnikov avatar
Moderator
 
Postovi: 135
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 156 puta

Re: Deljenje polinoma – prijemni FON 2018.

Postod NaniSore » Ponedeljak, 18. Februar 2019, 16:09

Hvala.
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na POLINOMI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 25. Avgust 2019, 22:46 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs