Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA POLINOMI

Minimalna vrijednost izraza

[inlmath]P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0[/inlmath]

Moderatori: Corba248, Jovan111

Minimalna vrijednost izraza

Postod kruznica14 » Petak, 08. Mart 2019, 14:03

Cini mi se da rjesenje ovog zadatka u mojoj zbirci nije tacno pa vas moram pitati... Zadatak glasi: "Za koje vrijednosti promjenljivih izraz [inlmath]2x^2+2xy+y^2-2x+2y+2[/inlmath] ima najmanju vrijednost?" Hvala vam na svoj pomoci koju ste mi pruzili obecavam da vise necu smarati :lol: (sto se zadatka tice ja bih ga uradila ovako: [inlmath](x-1)^2+(y+1)^2+(x+y)^2[/inlmath] i onda bih za [inlmath]x-1=0\;\Longrightarrow\;x=1[/inlmath] te tako i za [inlmath]y[/inlmath] i izraz bi bio jednak nuli. No, u mojoj zbirci su uradili ovo: [inlmath](x+y+1)^2+(x-2)^2-3[/inlmath] i dobili vrijednost izraza [inlmath]-3[/inlmath]. Je li to tacno?
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Minimalna vrijednost izraza

Postod Miladin Jovic » Petak, 08. Mart 2019, 16:37

[dispmath](x-1)^2+(y+1)^2+(x+y)^2=\\
=x^2-2x+1+y^2+2y+1+x^2+2xy+y^2=\\
=2x^2+2xy+{\color{red}2}y^2-2x+2y+2[/dispmath]
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 243 puta
Pohvaljen: 123 puta

Re: Minimalna vrijednost izraza

Postod kruznica14 » Petak, 08. Mart 2019, 18:46

daa i kako predlazete da ga uradim?
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Minimalna vrijednost izraza

Postod Jovan111 » Petak, 08. Mart 2019, 22:05

Pozdrav! Ako je dat izraz:
[dispmath]2x^2+2xy+y^2-2x+2y+2[/dispmath] onda očigledno treba taj izraz srediti tako da se neposredno uoče vrednosti za [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] tako da dati izraz zauzme najmanju vrednost. E sad, to nije svima tako lako pa ću pokazati dva načina kako da dođeš do zaključka da ovaj polinom ima najmanju vrednost [inlmath]-3[/inlmath].



Prvi način je više empirijski te kao takav podrazumeva određenu ideju i iskustvo, tako da bih ja uradio sledeće: uočio bih članove [inlmath]2xy[/inlmath], [inlmath]-2x\cdot1[/inlmath], [inlmath]2y\cdot1[/inlmath] i primetio da uz članove [inlmath]x^2[/inlmath] i [inlmath]y^2[/inlmath] lako možemo obrazovati kvadrat trinoma po formuli:
[dispmath](a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc[/dispmath] a ostalo bi se lako sredilo. Sledi postupak.
[dispmath]x^2+{\color{red}x^2+y^2+1}-1{\color{red}+2xy+}({\color{red}2x}-2x)-2x+{\color{red}2y}+2[/dispmath][dispmath]=(x+y+1)^2+x^2-4x+1[/dispmath][dispmath]=(x+y+1)^2+{\color{red}x^2-2\cdot2\cdot x+}({\color{red}4}-4)+1[/dispmath][dispmath]=(x+y+1)^2+(x-2)^2-4+1[/dispmath][dispmath]=(x+y+1)^2+(x-2)^2-3[/dispmath] Pošto smo došli do ovog oblika, kako znamo da imamo dva izraza koji su kvadrati nekog broja (nenegativni) i jedan slobodan član (broj [inlmath]-3[/inlmath]) koji dalje ne možemo transformisati, vidimo da je najmanja vrednost binoma [inlmath](x-2)^2[/inlmath] za [inlmath]x=2[/inlmath], odakle je trinom [inlmath](x+y+1)^2[/inlmath] oblika [inlmath](2+y+1)^2[/inlmath] gde najmanju vrednost ima za [inlmath]y=-3[/inlmath] i da je najmanja vrednost polaznog izraza:
[dispmath](2-3+1)^2+(2-2)^2-3=-3[/dispmath]


Drugi način koji mi je pao na pamet je da izraz označimo sa [inlmath]u[/inlmath], te imamo:
[dispmath]u=2x^2+2xy+y^2-2x+2y+2[/dispmath] nakon čega [inlmath]u[/inlmath] "prebacimo" na drugu stranu jednakosti i sve predstavimo kao kvadratnu jednačinu po [inlmath]x[/inlmath].
[dispmath]2x^2+2x(y-1)+y^2+2y+2-u=0[/dispmath] Pošto je [inlmath]x[/inlmath] realno, onda diskriminanta jednačine treba da bude veća ili jednaka nuli, to jest
[dispmath][2(y-1)]^2-4\cdot2\cdot\left(y^2+2y+2-u\right)\ge0[/dispmath][dispmath](y-1)^2-2\cdot\left(y^2+2y+2-u\right)\ge0[/dispmath][dispmath]2u\ge y^2+6y+3[/dispmath][dispmath]2u\ge(y+3)^2-6[/dispmath] Sada vidimo da je izraz sa desne strane nejednakosti najmanji za [inlmath](y+3)^2=0[/inlmath], kada je (pošto je to najmanja vrednost sa desne strane)
[dispmath]2u=0-6[/dispmath][dispmath]u=-3[/dispmath]
Korisnikov avatar
Moderator
 
Postovi: 135
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 156 puta

  • +1

Re: Minimalna vrijednost izraza

Postod Daniel » Utorak, 12. Mart 2019, 00:03

Prvi način je sasvim u redu, a za drugi imam dva pitanja:

Jovan111 je napisao:[dispmath]u=2x^2+2xy+y^2-2x+2y+2[/dispmath] nakon čega [inlmath]u[/inlmath] "prebacimo" na drugu stranu jednakosti i sve predstavimo kao kvadratnu jednačinu po [inlmath]x[/inlmath].
[dispmath]2x^2+2x(y-1)+y^2+2y+2-u=0[/dispmath]

Jesi li siguran da [inlmath]u[/inlmath] smemo grupisati unutar slobodnog člana (onog koji ne zavisi od [inlmath]x[/inlmath]), ako si [inlmath]u[/inlmath] prethodno definisao kao funkciju od [inlmath]x[/inlmath]?

Jovan111 je napisao:[dispmath]2u{\color{red}\ge}(y+3)^2-6[/dispmath] Sada vidimo da je izraz sa desne strane nejednakosti najmanji za [inlmath](y+3)^2=0[/inlmath], kada je (pošto je to najmanja vrednost sa desne strane)
[dispmath]2u{\color{red}=}0-6[/dispmath]

Kako si od znaka [inlmath]\ge[/inlmath] dobio znak [inlmath]=[/inlmath]?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7683
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

  • +1

Re: Minimalna vrijednost izraza

Postod Jovan111 » Utorak, 12. Mart 2019, 16:23

Daniel je napisao:Kako si od znaka [inlmath]\ge[/inlmath] dobio znak [inlmath]=[/inlmath]?

Hvala na ispravci. Tu postoji mala nepreciznost, jer bi trebalo gde god je znak [inlmath]=[/inlmath] da stoji [inlmath]u_\text{min}[/inlmath], što predstavlja minimum za [inlmath]u[/inlmath], za koje zapravo važi [inlmath]u\ge-3[/inlmath], a jednakost se postiže akko je [inlmath]x=2[/inlmath] i [inlmath]y=-3[/inlmath].

Daniel je napisao:Jesi li siguran da [inlmath]u[/inlmath] smemo grupisati unutar slobodnog člana (onog koji ne zavisi od [inlmath]x[/inlmath]), ako si [inlmath]u[/inlmath] prethodno definisao kao funkciju od [inlmath]x[/inlmath]?

Da, mislim da takva vrsta postavke s moje strane nije dobra, jer zaista [inlmath]u[/inlmath] zavisi od [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]. Svakako, nisam siguran da bih mogao opravdati u potpunosti tu zamerku postupku, pa ukoliko smatrate da nije tačan slobodno ga obrišite, a ja se izvinjavam zbog greške :D
Korisnikov avatar
Moderator
 
Postovi: 135
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 156 puta

  • +1

Re: Minimalna vrijednost izraza

Postod Daniel » Sreda, 13. Mart 2019, 18:22

Jovan111 je napisao:Svakako, nisam siguran da bih mogao opravdati u potpunosti tu zamerku postupku, pa ukoliko smatrate da nije tačan slobodno ga obrišite, a ja se izvinjavam zbog greške :D

Nema potrebe za brisanjem (kao što nema potrebe ni za persiranjem), upravo i jeste svrha foruma to da predlažemo razna rešenja i da diskutujemo o njihovoj ispravnosti. :)

Može se uraditi i preko izjednačavanja s nulom izvoda po [inlmath]x[/inlmath] i izvoda po [inlmath]y[/inlmath]:
[dispmath]4x+2y-2=0\\
2x+2y+2=0[/dispmath] (što je zapravo ekvivalentno izjednačavanju totalnog diferencijala s nulom).
Ovime se dobije linearan sistem dve jednačine s dve nepoznate. Nalaženjem drugih izvoda po [inlmath]x[/inlmath] i po [inlmath]y[/inlmath], koji iznose [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath] respektivno, tj. pozitivni su, uveravamo se da je u pitanju minimum.
Rešenje sistema je [inlmath](x,y)=(2,-3)[/inlmath], koje, kad se uvrsti u početni izraz, daje vrednost [inlmath]-3[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7683
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta


Povratak na POLINOMI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 25. Avgust 2019, 22:30 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs