Najveći zajednički delilac polinoma P(x) i Q(x)

PostPoslato: Nedelja, 26. Maj 2019, 12:11
od Mire35
Imam tri realna polinoma:
[dispmath]P(x)=x^5-sx^3+2tx^2+4\\
Q(x)=x^4+2x^3-x-2\\
R(x)=x^2+x-2[/dispmath] i sada u zadatku se trazi da odredim da li postoje realni brojevi [inlmath]s[/inlmath] i [inlmath]t[/inlmath] takvi da polinom [inlmath]R(x)[/inlmath] bude NZD polinima [inlmath]P(x)[/inlmath] i [inlmath]Q(x)[/inlmath].
Prvo sto mi padne na pamet je da faktorisem polinome [inlmath]Q(x)[/inlmath] i [inlmath]R(x)[/inlmath]
[dispmath]Q(x)=x^4+2x^3-x-2=\left(x^2+x+1\right)(x-1)(x+2)\\
R(x)=x^2+x-2=(x-1)(x+2)[/dispmath] Vidim da je polinom [inlmath]Q(x)[/inlmath] deljiv polinomom [inlmath]R(x)[/inlmath].
I sada posto mi se trazi da [inlmath]R(x)[/inlmath] bude NZD polinoma [inlmath]Q(x)[/inlmath] i [inlmath]P(x)[/inlmath] zar to ne znaci da ja samo trebam da odredim [inlmath]s[/inlmath] i [inlmath]t[/inlmath] iz uslova da [inlmath]P(x)[/inlmath] mora da bude deljivo sa [inlmath]R(x)[/inlmath], odnosno:
[dispmath]P(1)=0\\
P(-2)=0[/dispmath] iz ta dva "uslova" dobijem da su:
[dispmath]s=4[/dispmath] i
[dispmath]t=-\frac{1}{2}[/dispmath] I sad dolazi deo koji mi nije jasam, resenje je da ne postoje [inlmath]s[/inlmath] i [inlmath]t[/inlmath] takvi da polinom [inlmath]R(x)[/inlmath] bude NZD polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath] i [inlmath]Q(x)[/inlmath], uz obrazlozenje da polinom [inlmath]P(x)[/inlmath] NE SME da bude deljiv sa
[dispmath]\left(x^2+x+1\right)[/dispmath] Da li moze neko da mi objasni zasto?

Re: Najveći zajednički delilac polinoma P(x) i Q(x)

PostPoslato: Nedelja, 26. Maj 2019, 14:14
od miletrans
Pozdrav, dobro nam došao!

Svaka čast i za LaTex i za postavljeno pitanje! Nije baš često da novi članovi "iz prve" ispoštuju sva pravila.

Što se tiče tvog pitanja, uslov koji te buni je zbog toga što po zadataku [inlmath]R(x)[/inlmath] mora da bude najveći zajednički delilac polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath] i [inlmath]Q(x)[/inlmath]. Ako ne bi bilo ovog poslednjeg uslova koji tebe buni, polinom [inlmath]P(x)[/inlmath] bi bio deljiv polinomom [inlmath]Q(x)[/inlmath]. Drugim rečima, polinom [inlmath]R(x)[/inlmath] bi bio zajednički delilac polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath] i [inlmath]Q(x)[/inlmath], ali ne bi bio najveći zajednički delilac. Ako bi se u zadatku tražilo da se odrede [inlmath]s[/inlmath] i [inlmath]t[/inlmath] tako da [inlmath]R(x)[/inlmath] bude zajednički delilac za [inlmath]P(x)[/inlmath] i [inlmath]Q(x)[/inlmath] (ali ne i najveći!), tada bi tvoje rešenje blo tačno bez ikakvih uslova.